1、1课时跟踪训练(十五) 离散型随机变量的方差(时间 45分钟)题型对点练(时间 20分钟)题组一 求离散型随机变量的方差1已知 X的分布列为X 1 2 3 4P 14 13 16 14则 D(X)的值为( )A. B. C. D.2912 121144 179144 1712解析 E(X)1 2 3 4 ， D(X)14 13 16 14 2912 2 2 2 2 .(12912) 14 (2 2912) 13 (3 2912) 16 (4 2912) 14 179144答案 C2抛掷一枚硬币，规定正面向上得 1分，反面向上得1 分，则得分 X的均值与方差分别为( )A E(X)0， D(X)
2、1B E(X) ， D(X)12 12C E(X)0， D(X)12D E(X) ， D(X)1.12解析 由题意知，随机变量 X的分布列为X 1 1P 12 12 E(X)(1) 1 0， D(X) (10) 2 (10) 21.12 12 12 12答案 A3有 10张卡片，其中 8张标有数字 2,2张标有数字 5，从中随机地抽取 3张卡片，设 3张卡片上的数字之和为 X，求 D(X)解 由题知 X6,9,12.P(X6) ， P(X9) ， P(X12) .C38C310 715 C28C12C310 715 C18C2C310 1152 X的分布列为X 6 9 12P 715 715
3、115 E(X)6 9 12 7.8.715 715 115D(X)(67.8) 2 (97.8) 2 (127.8) 2 3.36.715 715 115题组二 离散型随机变量方差的性质4已知随机变量 的分布列如下： m nP 13 a若 E( )2，则 D( )的最小值等于( )A0 B2 C1 D.12解析 由题意得 a1 ，所以 E( ) m n2，即 m2 n6.又 D( )13 23 13 23 (m2) 2 (n2) 22( n2) 2，所以当 n2 时， D( )取最小值为 0.13 23答案 A5已知随机变量 X Y8，若 X B(10,0.6)，则 E(Y)， D(Y)分别
4、是( )A6,2.4 B2,2.4 C2,5.6 D6,5.6解析 若两个随机变量 Y， X满足一次关系式 Y aX b(a， b为常数)，当已知 E(X)，D(X)时，则有 E(Y) aE(X) b， D(Y) a2D(X)由已知随机变量 X Y8，所以有Y8 X.因此，求得 E(Y)8 E(X)8100.62， D(Y)(1) 2D(X)100.60.42.4.答案 B6若 X是离散型随机变量， P(X x1) ， P(X x2) ，且 x10， y0，随机变量 X的方差 D(X) ，则12x y_.X 1 2 3P x y x解析 由题意，得 2x y1.E(X) x2 y3 x4 x2
5、 y4 x2(12 x)2，D(X) (12) 2x(22) 2(12 x)(32) 2x，12即 2x ，解得 x .12 14 y12 ，14 12 x y .14 12 34答案 345一次数学测验由 25道选择题构成，每个选择题有 4个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每个答案选择正确得 4分，不作出选择或选错不得分，满分 100分，某学生选对任一题的概率为 0.6，则此学生在这一次测验中成绩的均值与方差分别为_解析 设该学生在这次数学测验中选对答案的题目的个数为 X，所得的分数(成绩)为 Y，则 Y4 X.由题意知 X B(25,0.6)，所以 E(X)250.615， D(X)2
6、50.60.46， E(Y) E(4X)4 E(X)60， D(Y) D(4X)4 2D(X)16696，所以该学生在这次测验中成绩的均值与方差分别是 60与 96.答案 60,96三、解答题66设在 12个同类型的零件中有 2个次品，抽取 3次进行检验，每次抽取一个，并且取出不再放回，若以 X和 Y分别表示取出次品和正品的个数(1)求 X的分布列、均值及方差；(2)求 Y的分布列、均值及方差解 (1) X的可能值为 0,1,2.若 X0，表示没有取出次品，其概率为 P(X0) ，C02C310C312 611同理，有 P(X1) ，C12C210C312 922P(X2) .C2C10C31
7、2 122 X的分布列为X 0 1 2P 611 922 122 E(X)0 1 2 .611 922 122 12D(X) 2 2 2 .(012) 611 (1 12) 922 (2 12) 122 1544(2)Y的可能值为 1,2,3，显然 X Y3.P(Y1) P(X2) ，122P(Y2) P(X1) ，922P(Y3) P(X0) .611 Y的分布列为Y 1 2 3P 122 922 611 Y X3， E(Y) E(3 X)3 E(X)3 ，12 52 D(Y)(1) 2D(X) .15447设袋子中装有 a个红球、 b个黄球、 c个蓝球，且规定：取出 1个红球得 1分，取出
8、 1个黄球得 2分，取出 1个蓝球得 3分7(1)当 a3， b2， c1 时，从该袋子中任取(有放回，且每个球取到的机会均等)2个球，记随机变量 为取出此 2球所得分数之和，求 的分布列(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1 个球，记随机变量 为取出此球所得分数若 E( ) ， D( ) ，求 a b c.53 59解 (1)根据题意，得 的所有可能取值为 2,3,4,5,6.故 P( 2) ，3366 14P( 3) ，23266 13P( 4) ，231 2266 518P( 5) ，22166 19P( 6) .1166 136所以 的分布列为 2 3 4 5 6P 14 13 518 19 136(2)根据题意，知 的分布列为 1 2 3P aa b c ba b c ca b c所以 E( ) ，aa b c 2ba b c 3ca b c 53D( ) 2 2 2 ，(153) aa b c (2 53) ba b c (3 53) ca b c 59化简Error!解得 a3 c， b2 c，故 a b c321.8
