1、怀化市中小学课程改革教育质量监测试卷 2019 届高三一 模 理 科数学 参考答案 一、选择题 （ 12 5 60 ） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A A D C D C B B C A B 9提示 ：当 n = 12 时 ， S = 12 12sin30 = 3，输出 S = 3； 当 n = 24 时， S = 12 24sin15 120.2588 = 3.1056，输出 S = 3.1056； 当 n = 48 时 ， S = 12 48sin7.5 240.1305 = 3.1320，输出 S = 3.1320. 故选 B. 10提示 ：显然
2、焦点 F 的坐标为 （ 1,0） ，所以可设直线 AB的方程为 = ( 1)，代入 2 = 4并整理得 22 (22 +4) +2 = 0， 所以 1 +2 = 2+ 42， | |=AB 1 +2 +2 = 4 + 42， 同理可得 | |=CD 4+ 42，所以 2 2 2222 2 21 1 4( +1) ( +1) 1| | | 4( +1) 8 8( 2) 3222kkS AB CD k kk k k 故选 C. 11提示 ：显然几何体是一个四棱锥，将它放到棱长为 2的正方体中 显然 2R = 23，所以 R = 3，所以选 A. 12提示 ：设 00( , )P x y ，由于点
3、P为切点，则 2001 22 x ax = 2 03 lna x b ， 又点 P的切线相同，则 0()fx = 0()gx ，即20032 axax ，即 00( 3 )( ) 0x a x a , 又 000, 0,a x x a ，于是 225 3 ln ( 0)2b a a a a ，设 225( ) 3 ln ( 0)2h x x x x x ， 则 ( ) 2 (1 3ln )( 0)h x x x x ，所以1133( ) 0 +h x e e 在 （ ， ） 单 调 递 增 ， 在 （ ， ） 单 调 递 减 ， b 的最大值为12333(e )2he ,故选 B 二、填空题
4、（ 4 5 20 ）： 13.32; 14.12； 15.4 ； 16.212 + ,2 )eee （ . BACDPSONE16提示 ：图略，由 ( ) ( )= ( )f a f b f c ，得 |ln | |ln |=2 ln ,a b c 显然 21 1a b e c ee 所以 ln ln 2 lna b c ，故 ln ln 0,ln ln 2abbc 从而 21,abbc e 所以2211eea b c b bb b b ，令21( ) (1 ),eg b b b eb 可得222(1 )( ) 0,begbb 所以 21( ) (1 )eg b b eb 在 ， 上 单 调
5、递 减 . 所以 212 + = ( ) ( ) (1) 2e g e g b g ee ，故 abc的取值范围为 212 + ,2 )eee （ 17解 ：（ I）设等差数列 na 的公差为 d，因为 3 105, 100aS， 所以 112510 45 100adad 2分 解得 112ad 4分 所以数列 na 的通项公式为 =2 1nan .6分 （ II）由（ I）可知 2 2 1 1 1 1()( 5) (2 4) ( 2) 2 2nnb n a n n n n n n 8分 121 1 1 1 1 1 1 1 1 1(1 ) ( )+( )+ +( ) ( )2 3 2 4 3
6、5 1 1 2nnT b b b n n n n 1 3 2 32 2 n+1)(n+2)n（ 10分 33,44nT m m 的 最 小 正 整 数 为 1 12分 18解法 一 ：（）连 BD交 AC 于 O，由题意 . 在正方形 ABCD中， ， 所以 ,得 3分 ( )设正方形边长 ，由题知 SO 平面 ABCD， 则 ， 又 ，所以 =30DSO 3分 SO ACAC BDAC SBD平 面 AC SDa2SD a 22OD aOxyzBACDPS连 ，由（）知 AC OS ，又 , 所以 ,所以 POS 是二面角 P AC S的平面角 5分 由 ,知 ,所以 =60POS, 即二面
7、角 的大小为 60 8分 （）在棱 SC 上存在一点 E，使 ， 由（）可得 ， 故可在 上取一点 ,使 , 过 作 的平行线与 的交点即为 . 连 BN ,在 中知 ，又由于 , 故平面 ，得 由于 ,故 即 : =3 2SC SE ： 12 分 解法二： （）同解法一 ( )由题设知，连 ,设 交于 于 ，由题意知 .以 O 为坐标原点，,OB OC OS 分别为 轴、 轴、 轴正方向，建立坐标系 如图 . 设底面边长为 ，则高 . 则 w.w 又 SD 平面 PAC ， 则 平面 的一个法向量 ， 平面 SAC 的一个法向量 2( ,0,0)2OD a ， 则 1cos , 2 DS O
8、DDS ODDS OD, 又二面角 为锐角，则二面角 为 60； （）在棱 上存在一点 使 .由（）知 DS 是平面 的一个法向量， 且 26( ,0, )22DS a a ， 26(0, , )22CS a a 设 CE tCS ， 0,1t w.w.w.k.s.5.u.c.o.m OP AC SBD平 面AC OPSD PAC平 面 SD OPP AC D/BE PAC平 面 24PD aSP N PN PDN PC SC EBDN /BN PO /NE PC/BEN PAC平 面 /BE PAC平 面21SN NP： ： 21SE EC ： ：BD AC BD O SO ABCD平 面x
9、 y z O xyza 62SO a62(0,0, ), ( ,0,0)22S a D a2(0, ,0)2CaPAC 26( ,0, )22DS a aP AC D P AC DSC E /BE PAC平 面 PAC则 2 2 6( , (1 ), )2 2 2BE BC CE BC tCS a a t at 又 ， 所以 0BE DS， 则 13t . 即当 : =3 2SC SE ： 时， BE DS w而 不在平面 内，故 . 19解 ：（ I）因为 A B C， ， 三镇分别有基层干部 60人， 60 人， 80人，共 200人， 利用分层抽样的方法选 40 人，则 C 镇应选取 4
10、080 =16200 （人）， 所以这 40 人中有 16 人来自 C 镇 2分 因为 =10 0.15 20 0.25 30 0.3 40 0.2 50 0.1 28.5x ， 所以三镇基层干部平均每人走访贫困户 28.5户 4分 （ II）由 直方图得，从三镇的所有基层干部中随机选出 1人，其工作出色的概率为 35 6分 显然 X 可取 0,1,2,3，且 33 5XB（ ， ） ，则 328( 0) ( )5 125PX ， 1 1 233 2 36( 1) ( ) ( )5 5 125P X C , 2 2 133 2 54( 2) ( ) ( )5 5 125P X C , 33 2
11、7( 3) ( )5 125PX 10 分 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 3 p 8125 36125 54125 27125 所以数学期望 ()EX0 8125+1 36125+2 54 27 93125 125 5 12 分 20解 ：（ I）由题设条件可得 1 ,32c aca ，解得 2, 1ac 2分 2 2 2 3b a c ,所以椭圆 C的方程为22143xy 4分 （ II）当矩形 ABCD的一组对边斜率不存在时，得矩形 ABCD的面积 S=83 5分 /BE PAC平 面BE PAC /BE PAC平 面当矩形 ABCD四边斜率都存在时，不妨设 AB,CD所在直线斜率
12、为 k，则 BC,AD斜率为 1k ， 设直线 AB的方程为 y=kx+m,与椭圆联立 22143y kx mxy 可得 2 2 24 3) 8 4 12 0k x kmx m （ , 由 2 2 2 2 2= 8 4 4 3)(4 12) 0, =4 3km k m m k （ ） （ 得 7分 显然直线 CD 的直线方程为 y=kx-m, 直线 AB,CD 间 的 距 离221 22| | 4 322111m m kdkkk , 同理可求得 BC,AD 间的距离为221 224 343221 11kkdkk 9分 所以四边形 ABCD面积为 2 2 4 2 212 2 2 4 2 4 23
13、 4 4 3 12 25 124 =4 4 121 1 2 1 2 1ABCDk k k k kS d dk k k k k k =22114 12 4 12 141 42kk （ =1等 号 当 且 仅 当 k 时 成 立 ） 11分 又 4 12 8 3ABCDS ， 故由以上可得外切矩形面积的取值范围是 83， 14 12分 21解 ：（ I）因为 ()xf x e ax a ，所以 ()xf x e a ， 当 0a 时， ( ) 0fx ，函数 ()fx在区间 （ - ， +)上单调递增； 当 0a 时， ( ) 0 lnxf x e a x a ， ( ) 0 lnxf x e a
14、 x a 所以 ()fx在 ( ,ln )a 上单调递减，在 (ln , )a 上单调递增 . 4分 （ II）因为对任意的 (0,2,x 不等式 ()f x x a恒成立， 即不等式 +1) xa x e（ 恒成立 . 即当 (0,2 ,x 时 1xea x恒成立 . 令( ) 1 (0,2),xegx x （ x则 2( 1)( ) .xxegxx 显然当 (0,1) , ( ) 0, (1,2 ( ) 0,g x g x x 时 x 时 , 所以 (0,1) , (1,2 1 1.xe g(x)在 上 单 调 递 减 在 上 单 调 递 增 . 时 g(x)取 最 小 值 所以实数 a的
15、取值范围是 1)e（ - ， 8分 （ III）在（ I）中，令 =1a 可知对任意实数 x都有 1 0,xex 即 1 ( =0xxe 等 号 当 且 仅 当 x 时 成 立 ） 令11= ( =1 2 3 ), ,knkkx k n enn ， ， ， 则即 ()kn k nnkeene 故 1 2 31 2 3 1 ( 1)( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( 1)nn n n n nnnn e e ee e e en n n n e e e e 12 分 22 解 （ ）曲线 C的参数方程为 为参数sin3cos2yx , 曲线 C的普通方程为 12分 直线 l的极坐标
16、方程是： 6 sincos21 6sincos2 .3分 直线 l的直角坐标方程为 062 yx .5分 （ ）点 P是曲线 C上的动点， 设 P（ 2cos， 3sin），则 P到直线 l的距离： 56sin5146sin3cos4 d ,tan34.8分 当 sin（ ） 1时，点 P到直线 l距离取最大值 dmax .9分当 sin（ ） 1时，点 P到直线 l距离取最小值 dmin 10分 23解 ：（ I）由已知可得1 2 , 0( ) 1,0 12 1, 1xxf x xxx ，所以 min( ) 1fx 5分 因为 ( ) | 1|f x m恒成立，所以 | 1| 1m，从而可得 02m 所以实数 m 的最大值 M=2 5分 （ II）由（ I）知， M=2，所以 222,ab 要证 2.a b ab ，只需证22( ) (2 ) ,a b ab即证222 2 4 ,ab a b即证222 1 0,a b ab 即 (2 1)( 1) 0,ab ab 又因为 ,ab是正数，所以 2 1 0,ab 故只需证 1 0,ab 即 1,ab 而 2= 222a b ab ，可得 1,ab 故原不等式成立 10 分 .
