1、1第二课时 组合的综合应用题 型 一 有 限 制 条 件 的 组 合 问 题某地区发生了特别重大铁路交通事故，某医院从 10 名医疗专家中抽调 6 名奔赴事故现场抢救伤员，其中这 10 名医疗专家中有 4 名是外科专家问：(1)抽调的 6 名专家中恰有 2 名是外科专家的抽调方法有多少种？(2)至少有 2 名外科专家的抽调方法有多少种？(3)至多有 2 名外科专家的抽调方法有多少种？思路导引 解答有限制条件的组合问题时，应优先考虑限制条件，此题中“至少”即为不低于；而“至多”即为不多于解 (1)分步：首先从 4 名外科专家中任选 2 名，有 C 种选法，再从除外科专家的246 人中选取 4 人
2、，有 C 种选法，所以共有 C C 90 种抽调方法46 24 46(2)“至少”的含义是不低于，有两种解答方法，解法一：(直接法)按选取的外科专家的人数分类：选 2 名外科专家，共有 C C 种选法；24 46选 3 名外科专家，共有 C C 种选法；34 36选 4 名外科专家，共有 C C 种选法；4 26根据分类加法计数原理，共有C C C C C C 185 种抽调方法24 46 34 36 4 26解法二：(间接法)不考虑是否有外科专家，共有 C 种选法，考虑选取 1 名外科专家610参加，有 C C 种选法；没有外科专家参加，有 C 种选法，所以共有：14 56 6C C C C
3、 185 种抽调方法610 14 56 6(3)“至多 2 名”包括“没有” 、 “有 1 名” 、 “有 2 名”三种情况，分类解答没有外科专家参加，有 C 种选法；6有 1 名外科专家参加，有 C C 种选法；14 56有 2 名外科专家参加，有 C C 种选法24 46所以共有 C C C C C 115 种抽调方法6 14 56 24 46(1)解决有约束条件的组合问题与解决有约束条件的排列问题的方法一样，都是遵循“谁特殊谁优先”的原则，在此前提下，或分类或分步或用间接法；(2)要正确理解题中的关键词，如“至少” 、 “至多” 、 “含” 、 “不含”等的确切含义，正2确分类，合理分步
4、；(3)要谨防重复或遗漏，当直接法中分类较复杂时，可考虑用间接法处理，即“正难则反”的策略跟踪训练课外活动小组共 13 人，其中男生 8 人，女生 5 人，并且男、女各指定一名队长，现从中选 5 人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？(1)只有一名女生；(2)两队长当选；(3)至少有一名队长当选；(4)至多有两名女生当选解 (1)一名女生，四名男生，故共有 C C 350(种)选法15 48(2)将两队长作为一类，其他 11 人作为一类，故共有 C C 165(种)选法2 311(3)解法一：至少有一名队长当选含有两类：有一名队长当选和两名队长都当选故共有 C C C C 825(种)选法
5、12 411 2 311解法二：采用间接法：C C 825(种)513 511(4)至多有两名女生含有三类：有两名女生，只有一名女生，没有女生故共有 C C25C C C 966(种)选法38 15 48 58题型二 分组(分配)问题6 本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：(1)分给甲、乙、丙三人，每人两本；(2)分为三份，每份两本；(3)分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；(4)分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本；(5)分给甲、乙、丙三人，每人至少一本思路导引 分配问题属于“排列”问题，可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配解 (1)先从 6 本书中选 2 本给甲，
6、有 C 种选法；再从其余的 4 本中选 2 本给乙，26有 C 种选法；最后从余下的 2 本书中选 2 本给丙，有 C 种选法；所以分给甲、乙、丙三24 2人，每人 2 本，共有 C C C 90(种)26242(2)分给甲、乙、丙三人，每人两本，有 C C C 种方法，这个过程可以分两步完成：26242第一步，分为三份，每份两本，设有 x 种方法；第二步，再将这三份分给甲、乙、丙三名3同学有 A 种方法，根据分步乘法计数原理，可得：C C C xA ，所以 x 15，3 26242 3C26C24C2A3因此分为三份，每份两本一共有 15 种方法(3)这是“不均匀分组”问题，一共有 C C
7、C 60(种)方法16253(4)在(3)的基础上再进行全排列，所以一共有 C C C A 360(种)方法162533(5)可以分为三类情况：“2、2、2 型”即(1)中的分配情况，有 C C C 90(种)方26242法；“1、2、3 型”即(4)中的分配情况，有 C C C A 360(种)方法；“1、1、4 型” ，162533有 C A 90(种)方法所以一共有 9036090540(种)方法463(1)组合应用题中分配问题的常见形式及处理方法如下表所示：常见形式 处理方法非均匀不编号分组n 个不同元素分成 m 组，每组元素数目均不相同，且不考虑各组间的顺序，不管是否分尽，分法种数为
8、：均匀不编号分组将 n 个不同元素分成不编号的 m 组，假定其中 r 组元素个数相等，不管是否分尽，其分法种数为 (其中 A 为非均匀不编号分组中的AAr分法数)如果再有 k 组均匀组应再除以 A .k非均匀编号分组n 个不同元素分成 m 组，各组元素数目均不相等，且考虑各组间的顺序，其分法种数为 AA .m均匀编号分组n 个不同元素分成 m 组，其中 r 组元素个数相同且考虑各组间的顺序，其分法种数为 A .AAr m(2)分配问题的处理途径将 n 个元素按一定要求分给 m 个人，称为分配问题分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不可区分的；而后者即使两个元素个数相同
9、，但因人不同，仍然是可区分的对于这类问题必须遵循先分组后排列的原则跟踪训练将 4 个编号为 1,2,3,4 的小球放入 4 个编号为 1,2,3,4 的盒子中(1)有多少种放法？(2)每盒至多一球，有多少种放法？4(3)恰好有一个空盒，有多少种放法？(4)每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种放法？(5)把 4 个不同的小球换成 4 个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？(6)把 4 个不同的小球换成 20 个相同的小球，要求每个盒内的球数不少于它的编号数，有多少种放法？解 (1)每个小球都可能放入 4 个盒子中的任何一个，将小球一个一个放入盒子，共有 4444
10、4 4256(种)放法(2)这是全排列问题，共有 A 24(种)放法4(3)解法一：先将 4 个小球分为三组，有 种方法，再将三组小球投入四个盒子中C24C12C1A2的三个盒子，有 A 种投放方法，故共有 A 144(种)放法34C24C12C1A2 34解法二：先取 4 个球中的两个“捆”在一起，有 C 种选法，把它与其他两个球共 3 个24元素分别放入 4 个盒子中的 3 个盒子，有 A 种投放方法，所以共有 C A 144(种)放法34 2434(4)1 个球的编号与盒子编号相同的选法有 C 种，当 1 个球与 1 个盒子的编号相同时，14用局部列举法可知其余 3 个球的投入方法有 2
11、 种，故共有 C 28(种)放法14(5)先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出一个盒子放入两个球，余下两个盒子各放一个，由于球是相同的即没有顺序，所以属于组合问题，故共有 C C 12(种)3413放法(6)(隔板法)先将编号为 1,2,3,4 的 4 个盒子分别放入 0,1,2,3 个球，再把剩下的 14个球分成四组，即在这 14 个球中间的 13 个空中放入三块隔板，共有 C 286(种)放法，如|，即编号为 1,2,3,431的盒子分别放入 2,6,5,7 个球题 型 三 排 列 、 组 合 的 综 合 应 用有 4 张分别标有数字 1,2,3,4 的红色卡片和 4 张分别标有
12、数字1,2,3,4 的蓝色卡片，从这 8 张卡片中随机取出 4 张卡片排成一行若取出的 4 张卡片所标数字之和等于 10，则有多少种不同的排法？思路导引 取出的 4 张卡片数字之和等于 10，要注意123410,114410,223310，要据此分类取出卡片，还要排序解 问题可以分成三类第一类，当取出的 4 张卡片分别标有数字 1,2,3,4 时，不同的排法有C C C C A 384(种)；12 12 12 12 4第二类，当取出的 4 张卡片分别标有数字 1,1,4,4 时，不同的排法有5C C A 24(种)；2 2 4第三类，当取出的 4 张卡片分别标有数字 2,2,3,3 时，不同的
13、排法有C C A 24(种)2 2 4根据分类加法计数原理，满足题意的排法有 3842424432(种)解答排列、组合综合问题的思路及注意点(1)解排列、组合综合问题的一般思路是“先选后排” ，也就是先把符合题意的元素都选出来，再对元素或位置进行排列(2)解排列、组合综合问题时要注意以下几点：元素是否有序是区分排列与组合的基本方法，无序的问题是组合问题，有序的问题是排列问题对于有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，然后再考虑是分类还是分步，这是处理排列、组合的综合问题的一般方法跟踪训练用 0 到 9 这 10 个数字组成没有重复数字的五位数，其中含 3 个奇数与 2 个偶数的五位数
14、有多少个？解 解法一：(直接法)把从 5 个偶数中任取 2 个分为两类：(1)不含 0 的：由 3 个奇数和 2 个偶数组成的五位数，可分两步进行：第 1 步，选出 3奇 2 偶的数字，方法有 C C 种；第 2 步，对选出的 5 个数字全排列有 A 种方法3524 5故所有适合条件的五位数有 C C A 个35245(2)含有 0 的：这时 0 只能排在除首位(万位)以外的四个位置中的一个，有 A 种排法；14再从 2,4,6,8 中任取一个，有 C 种取法，从 5 个奇数数字中任取 3 个，有 C 种取法，再14 35把取出的 4 个数全排列有 A 种方法，故有 A C C A 种排法4
15、1414354根据分类加法计数原理，共有 C C A A C C A 11040 个符合要求的数35245 1414354解法二：(间接法)如果对 0 不限制，共有 C C A 种，其中 0 居首位的有 C C A35255 3514种故共有 C C A C C A 11040 个符合条件的数4 35255 351441.本节课的重点是有限制条件的组合问题、分组(分配)问题以及排列、组合的综合问题，也是本节课的难点2本节课要重点掌握的规律方法(1)有限制条件的组合问题的解法，见典例 1；6(2)分组(分配)问题的求法，见典例 2；(3)排列、组合的综合问题的解法，见典例 3.3本节课的易错点是平均分组问题
