1、1吉林省四平四中 2019 届高三数学第二次模拟考试题 理注 意 事 项 ：1 答 题 前 ， 先 将 自 己 的 姓 名 、 准 考 证 号 填 写 在 试 题 卷 和 答 题 卡 上 ， 并 将 准 考 证 号 条 形 码粘 贴 在 答 题 卡 上 的 指 定 位 置 。2 选 择 题 的 作 答 ： 每 小 题 选 出 答 案 后 ， 用 2B 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑 ，写 在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。3 非 选 择 题 的 作 答 ： 用 签 字 笔 直 接 答 在 答 题 卡
2、 上 对 应 的 答 题 区 域 内 。 写 在 试 题 卷 、 草 稿纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。4 考 试 结 束 后 ， 请 将 本 试 题 卷 和 答 题 卡 一 并 上 交 。一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 12 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 项 是 符合 题 目 要 求 的 12019肇庆统测若复数 z满足 12i，则 z（ ）A 2B 32C 10D 1222019武汉六中设集合 254AxxN，集合 0,B，则 AB（ ）A 0,1B 0,C D 1,32019海淀八
3、模如图给出的是 2000 年至 2016 年我国实际利用外资情况，以下结论正确的是（ ）A2000 年以来我国实际利用外资规模与年份呈负相关B2010 年以来我国实际利用外资规模逐年增大C2008 年以来我国实际利用外资同比增速最大D2010 年以来我国实际利用外资同比增速最大42019湘潭一模已知数列 na是等比数列，其前 n项和为 nS， 23a，则 3412（ ）A 14B 12C2 D452019河南名校联考已知函数 32fxabxc的图象的对称中心为 0,1，且 fx的图象在点 1,f处的切线过点 2,7，则 （ ）A1 B2 C3 D462019肇庆统测已知 A 的边 B上有一点
4、满足 3BC，则 A可表示为（ ）A 34DCB 14AC 21BD 572019遵义联考如图为一个几何体的三视图，则该几何体中任意两个顶点间的距离的最大值为（ ）A 32B 4C 3D 582019滨州期末已知抛物线 2:4yx的焦点为 F，准线为 l， P是 l上一点， Q是 PF直线与抛物线 C的一个交点，若 3PFQ，则 （ ）A3 B 8C4 或 83D3 或 492019宁德期末已知函数 32,0lnxf，若函数 gxfxa有 3 个零点，则实数 a的取值范围是（ ）A 0,2B 0,1C ,2D ,1102019衡水中学如图在圆 O中， AB， D是圆 O互相垂直的两条直径，现分
5、别以 OA，OB， C， D为直径作四个圆，在圆 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A 1B 12C 12D 142112019湖北联考椭圆 ： 20xyab与双曲线 ： 0,xymnn焦点相2同， F为左焦点，曲线 与 在第一象限、第三象限的交点分别为 A、 B，且 23F，则当这两条曲线的离心率之积最小时，双曲线有一条渐近线的方程是（ ）A 20xyB 20xyC 20xyD 20xy122019丰台期末如图，在棱长为 2 的正方体 1ABC中， E， F， G分别是棱 AB，BC， 1的中点， P是底面 AD内一动点，若直线 P与平面 不存在公共点，则三角形P的面积的最小值为
6、（ ）A 2B1 C 2D 2二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 20 分 132019驻马店期中设变量 x， y满足约束条件：30xy，则目标函数 2zxy的最大值为_142019呼和浩特调研已知数列 na满足 1， 12na，则数列 na的通项公式na_152019长沙一模为培养学生的综合素养，某校准备在高二年级开设 A， B， C， D， E，F六门选修课程，学校规定每个学生必须从这 6门课程中选 3门，且 ， 两门课程至少要选 1门，则学生甲共有_种不同的选法162019黄山八校联考不等式 2cos3inax对 xR恒成立，则实数 a的取
7、值范围是_三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 大 题 ， 共 70 分 ， 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 17 （12 分）2019镇江期末在 ABC 中，角 ， B， C所对的边分别为 a， b， c，且cos3cosBbCa（1）求 cosB的值；（2）若 2CA， ABC 的面积为 2，求边 b18 （12 分）2019惠州调研在四棱锥 PABCD中，侧面 PA底面 BCD，底面 A为直角梯形， BCAD ， 90， 1， 2， 3， E为 的中点，F为 P的中点（1）求证： 平面 EF；（2）求二面角 BA的余弦值319 （12 分
8、）2019朝阳期末某日 A，B，C 三个城市 18 个销售点的小麦价格如下表：销售点序号 所属城市小麦价格（元/吨）销售点序号 所属城市小麦价格（元/吨）1 A 2420 10 B 25002 C 2580 11 A 24603 C 2470 12 A 24604 C 2540 13 A 25005 A 2430 14 B 25006 C 2400 15 B 24507 A 2440 16 B 24608 B 2500 17 A 24609 A 2440 18 A 2540（1）甲以 市 5 个销售点小麦价格的中位数作为购买价格，乙从 C市 4 个销售点中随机挑选 2 个了解小麦价格记乙挑选的
9、 2 个销售点中小麦价格比甲的购买价格高的个数为 X，求 的分布列及数学期望；（2）如果一个城市的销售点小麦价格方差越大，则称其价格差异性越大请你对 A， B， C三个城市按照小麦价格差异性从大到小进行排序（只写出结果） 20 （12 分）2019德州期末已知椭圆 2:10xyCab，点 31,2M在椭圆 C上，椭圆C的离心率是 12（1）求椭圆 的标准方程；（2）设点 A为椭圆长轴的左端点， P， Q为椭圆上异于椭圆 C长轴端点的两点，记直线 AP，Q斜率分别为 1k， 2，若 124k，请判断直线 P是否过定点？若过定点，求该定点坐标，若不过定点，请说明理由421 （12 分）2019泉州
10、质检已知函数 ln1xfae（1）当 1ea时，证明 fx在 0,单调递减；（2）当 时，讨论 f的零点个数请 考 生 在 22、 23 两 题 中 任 选 一 题 作 答 ， 如 果 多 做 ， 则 按 所 做 的 第 一 题 记 分 22 （10 分） 【选修 4-4：坐标系与参数方程】2019哈尔滨三中在直角坐标系 xOy中，曲线 1C的方程为 2ykx， R以坐标原点为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2的极坐标方程为 cos6in80（1）求 2C的直角坐标方程；（2）若 1与 有四个公共点，求 k的取值范围23 （10 分） 【选修 4-5：不等式选讲】2019揭阳毕业已
11、知函数 2fxax（1）当 2a时，求不等式 f的解集；（2）当 ,x时，不等式 fx恒成立，求 a的取值范围2019 届 高 三 第 二 次 模 拟 考 试 卷理 科 数 学 答 案一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 12 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 项 是 符合 题 目 要 求 的 1 【答案】C【解析】依题意 12ii31i2z，2310z，故选 C2 【答案】A【解析】集合 2540150,1234xxxNN，集合 0,2B，则 0,12B故选 A3 【答案】C【解析】从图表中可以看出，2000 年以来我国实际
12、利用外资规模基本上是逐年上升的，因此实际利用外资规模与年份正相关，选项 A 错误；我国实际利用外资规模 2012 年比 2011 年少，选项 B 错误；从图表中的折线可以看出，2008 年实际利用外资同比增速最大，选项 C 正确；2008 年实际利用外资同比增速最大，选项 D 错误；故选 C4 【答案】A【解析】由题意得， 2123Sa， 1a，公比 2q，则 23411aq，故选 A5 【答案】A【解析】函数 32fxbxc的图象的对称中心为 0,， 2fxf， 12ff，即 14a，得 0a， 3fxb， 23fxb，又 的图象在点 1,处的切线过点 2,7， 712ff，即 53b，解得
13、 1，故选 A6 【答案】A【解析】画出图像如下图所示，故 3313444ADBABCABAC，故选 A7 【答案】C【解析】根据三视图得出：几何体为下图 D， ， G相互垂直，面 AEFG面 BE， CA ， 3BA， 1E，根据几何体的性质得出： 32AC， 22373G， 2345GE，32BG， 4E， 10F， 0E，故最长的为 3故选 C8 【答案】B【解析】设 Q到 l的距离为 d，则由抛物线的定义可得 QFd， 3PF， 4P， 1Qx，直线 的斜率为265d，抛物线方程为 24yx， 1,0F，准线 :1lx，直线 PF的方程为 5，与 24y联立可得 53Qx或 （舍去）
14、， 813Qd，故选 B9 【答案】A【解析】绘制出 fx的图像， fxa有 3 个零点，令 hxa与 f有三个交点，则 h介于 1 号和 2 号之间，2 号过原点，则 0a，1 号与 fx相切，则 231fx， x， 1y，代入 hx中，计算出 2a， a的范围为 0,2，故选 A10 【答案】C【解析】如下图所示，连接相邻两个小圆的交点，得四边形 EFMN，易知四边形 EFMN为正方形，设圆 O的半径为 r，则正方形 EFMN的边长也为 r，正方形的 EFN的面积为 2r，阴影部分的面积为22 2rr，阴影部分占总面积的比值为21r，即在圆 O内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 12
15、，故选 C11 【答案】C【解析】设双曲线的右焦点为 1F，由题意点 A与点 B关于原点对称，因此 1AFB，又 23AFB， 3A；由椭圆与双曲线定义可得 12a， 12Fm， am， 1a，根据余弦定理可得 222111cosFAA，即 22 4 3caam，化简得 2224333cmama，离心率乘积为 c，当且仅当 2（1 ）时，去等号;由 22abn， 2243bn， 23bn（2） ，再将（1） （2）代入 am可得 2，双曲线的渐近线方程为 0xy或 0xy，故选 C12 【答案】C【解析】延展平面 EFG，可得截面 EFHQR，其中 、 、 R分别是所在棱的中点，直线 1DP与
16、平面 EFG不存在公共点， 1DP 平面 EFGHQR，由中位线定理可得 AC ， 在平面 内， AC在平面 EFR外， A 平面 HQR， 1DP与 在平面 1D内相交，平面 C 平面 EFG， 在 A上时，直线 1P与平面 不存在公共点， BO与 垂直， 与 O重合时 B最小，此时，三角形 1的面积最小，最小值为 12，故选 C二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 20 分 13 【答案】 92【解析】作出变量 x， y满足约束条件：30xy可行域如图，由 2zxy知 12zx，动直线 的纵截距 取得最大值时，目标函数取得最大值由 30xy得
17、3,2A结合可行域可知当动直线经过点 3,2时，目标函数取得最大值 392z故答案为 9214 【答案】 21n【解析】 a， na， 12， 23， 342， 12na ，等式两边分别累加得： 11nna ，故答案为 21n15 【答案】 6【解析】总体种数有 36C20， A， B都不选的个数有 34C，一共有 16 种16 【答案】 ,1【解析】令 sinxt， t，则原函数化为 23gat，即 3gtat，由 3att， 10tt，10tt及 t知， 13at，即 23at， （1）当 0， 时（ 1）总成立，对 t， 2t， 2max3t；对 10t， 204t， 2min31at，
18、从而可知 31a，故答案为 ,三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 大 题 ， 共 70 分 ， 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 17 【答案】 （1） 3；（2） 3b【解析】 （1）由 coscosBCaB及余弦定理得：22222acbab，整理得 223acb，由余弦定理得2213cosaccB（2）在 AC 中， 0,，又 1cos3B，221sin1cos3B，由 2CA得 A，即 ，由 1sinSacB可得 3a，由余弦定理得 2221cos329bB， 318 【答案】 （1）见证明；（2） 3【解析】 （1）连接 AC交 BE于
19、 N，并连接 CE， FN， BCAD ， 12， E为 AD中点， EBC ，且 A，四边形 为平行四边形， N为 中点，又 F为 PC中点， NFP ， F平面 BE， A平面 BE， A 平面 BE（2）解法 1（向量法）连接 PE，由 E为 AD的中点及 3PD，得 PEAD，则 2，侧面 底面 BC，且交于 ， 面 BC，如图所示，以 为原点， EA、 、 分别为 x、 y、 z轴建立空间直角坐标系， 则 0,E， 1,0， ,10， ,10， ,2P F为 PC的中点， 2,F， ,EB， 12,F，设平面 EB法向量为 ,xyzm，则0120yxz，取 2,01，平面 EBA法向
20、量可取 0,n，设二面角 F的大小为 ，显然 为钝角， 3cos,mn，二面角 FBEA的余弦值为 3（2）解法 2（几何法 1）连接 PE，由 为 D的中点及 PD，得 PEAD， 1DE， 2P，取 D中点 M，连 ， F， MA，侧面 PAD底面 BC，且交于 AD， BE， 面 PAD， ME面 ， E面 P， M， ， F为 PC的中点， M为 PD的中点， EPA ， NF ， MENF ， EA为二面角 FBEA的平面角，在 RtD 中， 3cos， 2，在 中，由余弦定理得 1，在 MEA 中，由余弦定理得 3cosMEA，二面角 FB的余弦值为 （2）解法 3（几何法 2）连
21、接 P，由 为 D的中点及 3PAD，得 PEAD，侧面 PAD底面 C， E面 ABC， 1BC， E，连 交 于点 Q，则 为 中点，连 QF， N， ， F为 PC的中点， PEFQ ， 面 ABCD，又 QNB ， ， N， 为二面角 B的平面角的补角在 RtF 中， 12PE， 12QBC，由勾股定理得 3N， 3cosFN，二面角 BA的余弦值为 19 【答案】 （1）分布列见解析，期望为 1；（2） C， A， B【解析】 （1） 市共有 5 个销售点，其小麦价格从低到高排列为：2450，2460，2500，2500，2500中位数为 2500，甲的购买价格为 2500C市共有
22、4 个销售点，其小麦价格从低到高排列为： 2400，2470，2540，2580，故 X的可能取值为 0，1，2204C16PX， 124C63PX， 024C16PX分布列为 X012P636数学期望 21012EXXP（2）三个城市按小麦价格差异性从大到小排序为 C， A， B20 【答案】 （1）243xy；（2）过定点 ,0【解析】 （1）由点 1,M在椭圆 上，且椭圆 的离心率是 12，可得294abc，可解得22431abc，故椭圆 C的标准方程为 43xy（2）设点 P， Q的坐标分别为 1,xy， 2,，（i）当直线 斜率不存在时，由题意知，直线方程和曲线方程联立得 31,2P
23、， ,Q，（ii）当直线 的斜率存在时，设直线 PQ的方程为 ykxm，联立2143xykm，消去 y得 22438410kxkm，由 2222613，有 2243km，由韦达定理得： 122843kx， 124xk，故 122yk，可得 120yx，可得 1124 0xmkx，整理为 2 21244m，故有 2284 033kk，化简整理得 20mk，解得： 或 k，当 k时直线 PQ的方程为 ykx，即 2yx，过定点 2,0不合题意，当 mk时直线 PQ的方程为 ykx，即 1ykx，过定点 1,0，综上，由（i） （ii）知，直线 过定点 ,021 【答案】 （1）见解析；（2）见解析
24、【解析】 （1）当 ea时， 1eln1xf， 1elnxf，令 1ln0xgxf ，则 0g，1e，在 0,上为减函数，且 1，令 0gx，得 x， gx的递增区间为 0,，同理，可得 的递减区间为 1,， 10gx，即 0fx，故 f在 ,单调递减（2）由（1）得 ea时， fx在 0,单调递减，又 0f， 1时， f有一个零点 fx定义域为 ,，故 x与 f有相同的零点，令 e1lnxfah，则 2221e1exxaah，当 0a时， ,时， 0， ,x时， 0h， min1ehxa， h无零点， f也无零点当 0e时，令 0x，得 1x或 1lna，x,11 ,l1lna1ln,ah0
25、 0x 1e0ha，当 2时， 2 2 2ee222e420ah，当 210ea，即 21e时，31a， 31 12 1lneln10a ah aa，故 x有一个零点， fx也有有一个零点综上可知，当 0a时， f无零点；当 1e时， x有一个零点请 考 生 在 22、 23 两 题 中 任 选 一 题 作 答 ， 如 果 多 做 ， 则 按 所 做 的 第 一 题 记 分 22 【答案】 （1） 223xy；（2） 7k【解析】 （1）由 22， cosx， siny，代入曲线 2C的极坐标方程可得 2680y，因此，曲线 的普通方程为 213x（2）将曲线 1的方程可化为 ,kxy，由于曲线 1C与曲线 2有四个公共点，直线 0kxyx与曲线 2C相交且直线 20kxyx与曲线 2C相交，则有 231，化简得 670k，解得 1或 7，2k，化简得 2，解得 k或 ， 7或 ，综上所述，实数 k的取值范围是 7k23 【答案】 （1） 4,3,；（2） 12a【解析】 （1）当 2x时， 6fxx，解得 4x，当 2时， 3f，解得 23，当 x时， 262fxx，解得 x，综上知，不等式 2fx的解集为 4,3,（2）当 ,时， 212fxaaxa，设 gxfx，则 2,， 0g恒成立，只需 20， 即 604a，解得 12a
