1、1第一章 解三角形学业质量标准检测一、选择题(本大题共 12个小题，每小题 5分，共 60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1在 ABC中， a80， b100， A45，则此三角形解的情况是( B )A一解 B两解C一解或两解 D无解解析 bsinA100 50 0，设最大角为 ，则cos 0， a x 2 b x 2 c x 22 a x b x 为锐角，故选 A7(20182019 学年度宁夏育才中学高二月考)在 ABC中， A60， b1，其面积为 ，则 等于 ( B )3a b csinA sinB sinCA B32393C D2633 292解析 由题意，知
2、 bcsinA csin60， c4312 12由余弦定理，得 a2 b2 c22 bccosA116214 13，12 a 133 a b csinA sinB sinC asinA 1332 23938在 ABC中，已知 sin2Asin 2Bsin AsinBsin 2C，且满足 ab4，则该三角形的面积为( D )A1 B2C D2 3解析 由 sin2Asin 2Bsin AsinBsin 2C，得a2 b2 ab c2，cos C a2 b2 c22ab 12 C(0，180)， C60sin C ， S ABC absinC 32 12 39 ABC中，已知下列条件： b3， c
3、4， B30； a5， b8， A30； c6， b3 ， B60； c9， b12， C60.其中满足上述条件的三角形有两解3的是( A )A BC D解析 csinBbc，故有两解； bsinAab，故有两解； b csinB，有一解； cbsinC，无解所以有两解的有，故选 A10若 G是 ABC的重心， a、 b、 c分别是角 A、 B、 C的对边，且a b c 0，则角 A( D )GA GB 33 GC A90 B60C45 D30解析 由重心性质可知 0，故 ，代入GA GB GC GA GB GC a b c 0 中，GA GB 33 GC 即( b a) ( c a) 0，G
4、B 33 GC 因为 ， 不共线，则Error!，GB GC 即Error! ，故 cosA ，b2 c2 a22bc 32因为 0A180，所以 A30，故选 D411在 ABC中， a、 b、 c分别是角 A、 B、 C所对边的边长，若 cosAsin A0，则 的值是( B )2cosB sinB a bcA1 B 2C D23解析 将 cosAsin A 0，整理得(cos Asin A)(cosBsin B)2，即2cosB sinBcosAcosBsin BcosAsin AcosBsin AsinBcos( A B)sin( A B)2，cos( A B)1，sin( A B)1
5、， A B0， A B ，2即 A B ， C .利用 2 R，得4 2 asinA bsinB csinCa2 RsinA， b2 RsinB， c2 RsinC，则 a bc 2RsinA 2RsinB2RsinC sinA sinBsinC 22 221.(R为 ABC的外接圆半径 )212如图，一货轮航行到 M处，测得灯塔 S在货轮的北偏东 15，与灯塔 S相距 20 n mile，随后货轮按北偏西 30的方向航行 30 min后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为( B )A20( )n mile/h B20( )n mile/h2 6 6 2C20( )n mile/h D
6、20( )n mile/h3 6 6 3解析 由题意可知 SMN153045， MS20， MNS45(9030)105，设货轮每小时航行 x n mile，则 MN x，12 MSN1801054530，由正弦定理，得 ，12xsin30 20sin105sin105sin(6045)5sin60cos45cos60sin45 ，6 24 x20( )，故选 B6 2二、填空题(本大题共 4个小题，每个小题 5分，共 20分将正确答案填在题中横线上)13在 ABC中，已知 b1，sin C ， bcosC ccosB2，则 _ 或 _35 AC BC 85 85解析 由余弦定理的推论，得 c
7、osC ，cos B a2 b2 c22ab a2 c2 b22ac bcosC ccosB2， 2，a2 b2 c22a a2 c2 b22a a2，即| |2BC sin C ，0 C180，35cos C ，或 cosC 45 45又 b1，即| |1，AC ，或 AC BC 85 AC BC 8514(2018浙江，13)在 ABC中，角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c.若a ， b2， A60，则 sinB_ _， c_3_7217解析 由正弦定理，得 ， ，得 sinB ，由余弦定理，asinA bsinB 7sin60 2sinB 217得 cosA ，解得 c3b
8、2 c2 a22bc 4 c2 74c 1215(2016全国卷理，13) ABC的内角 A、 B、 C的对边分别为 a、 b、 c，若cosA ，cos C ， a1，则 b_ 45 513 2113解析 解法一：因为 cosA ，cos C ，所以 sinA ，sin C ，从而45 513 35 1213sinBsin( A C)sin AcosCcos AsinC .由正弦定理 ，得35 513 45 1213 6365 asinA bsinBb asinBsinA 2113解法二：因为 cosA ，cos C ，所以 sinA ，sin C ，从而45 513 35 12136cos
9、Bcos( A C)cos AcosCsin AsinC .由正弦定理 45 513 35 1213 1665 asinA，得 c .由余弦定理 b2 a2 c22 accosB，得 b csinC asinCsinA 2013 2113解法三：因为 cosA ，cos C ，所以 sinA ，sin C ，45 513 35 1213由正弦定理 ，得 c asinA csinC asinCsinA 2013从而 b acosC ccosA 2113解法四：如图，作 BD AC于点 D，由 cosC ， a BC1，知 CD ， BD 513 513 1213又 cosA ，所以 tanA ，
10、从而 AD 45 34 1613故 b AD DC 211316(20182019 学年度江西戈阳一中高二月考)在 ABC中，内角 A、 B、 C所对的边分别为 a， b， c，已知( a b c)(a b c)3 ab，且 c4，则 ABC面积的最大值为_4 _3解析 ( a b c)(a b c)( a b)2 c2 a22 ab b2 c23 ab， a2 b2 c2 ab又 a2 b2 c22 abcosC，2 abcosC ab，cos C ，12 C(0，)， C 3由余弦定理，得 c2 a2 b22 abcosC，16 a2 b22 abcos a2 b2 ab2 ab ab a
11、b，3 ab16 ABC面积的最大值S 16sin 4 12 3 37三、解答题(本大题共 6个小题，共 70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本题满分 10分)(2016北京理，15)在 ABC中， a2 c2 b2 ac2(1)求 B的大小；(2)求 cosAcos C的最大值2解析 (1)由余弦定理及题设条件得 cosB a2 c2 b22ac 2ac2ac 22又 0 B，所以 B 4(2)由(1)知 A C ，则34cosAcos C cosAcos cosA cosA sinA cosA sinA2 2 (34 A) 2 22 22 22 22cos (A4)因为
12、0 A ，34所以当 A 时， cosAcos C取得最大值 14 218(本题满分 12分)在 ABC中，角 A、 B、 C的对边分别为 a、 b、 c.已知 cosC 35(1)若 ，求 ABC的面积；CB CA 92(2)设向量 x(2sin ， )， y(cos B，cos )，且 x y，求 sin(B A)的值B2 3 B2解析 (1)由 得 abcosC CB CA 92 92又因为 cosC ，所以 ab 35 92cosC 152又 C为 ABC的内角，所以 sinC 45所以 ABC的面积 S absinC312(2)因为 x y，所以 2sin cos cosB，B2 B
13、2 3即 sinB cosB，3因为 cosB0，所以 tanB 3因为 B为三角形的内角，所以 B 38所以 A C ，所以 A C23 23所以 sin(B A)sin( A)sin( C )3 3 sinC cosC 12 32 12 45 32 35 4 331019(本题满分 12分)为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围 1 km内不能收到手机信号检查员抽查青岛市一考点，在考点正西约 3km有一条北偏东 60方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以 12 km/h的速度沿公路行驶，最长需要多少时间，检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合
14、格？解析 如图所示，考点为 A，检查开始处为 B，设公路上 C， D两点到考点的距离为1 km在 ABC中， AB 1.732， AC1， ABC30，3由正弦定理，得 sin ACB ，ABsin30AC 32 ACB120( ACB60不合题意)， BAC30， BC AC1在 ACD中， AC AD， ACD60， ACD为等边三角形， CD1 605，BC12在 BC上需要 5 min， CD上需要 5 min最长需要 5 min检查员开始收不到信号，并至少持续 5 min该考点才算合格20(本题满分 12分)(20182019 学年度深圳耀华实验中学高二月考)在 ABC中，角A、 B
15、、 C所对的边分别为 a、 b、 c，已知 acosB bcosA2(1)求 c的值；(2)若 C ，试写出 ABC的周长 f(B)，并求出 f(B)的最大值23解析 (1)由 acosB bcosA2 及余弦定理，得a b 2，整理解得 c2a2 c2 b22ac b2 c2 a22bc9(2)由 c2 和 C 及正弦定理，得 ，23 asinA bsinB csinC 2sin23 433 ABC的周长 f(B) a b c sinA sinB2433 433由三角形内角和为 ，得 A B，3 f(B) sin( B) sinB22 ( sinB cosB) sin(B )433 3 43
16、3 433 12 32 433 32，又 B(0， )， B ( ， )，3 3 3 23当 B ，即 B 时， f(B)取得最大值 23 2 6 43321(本题满分 12分)(20182019 学年度北京市顺义区杨镇一中高二月考)在 ABC中，角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c，已知 a2， c3，cos B 14(1)求 b的值；(2)求 sinC的值；(3)求 ABC的面积解析 (1)由余弦定理，得 b2 a2 c22 accosB2 23 2223 10，14 b 10(2)cos B ，sin B 14 154由正弦定理，得 ，sin CbsinB csinC csi
17、nBb 315410 368(3)由(1)知 b ，由(2)得 sinC ，又 a2，10368 S ABC absinC 2 12 12 10 368 315422(本题满分 12分)如图所示，甲船以每小时 30 n mile的速度向正北方向航行，2乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于 A1处时，乙船位于甲船的北偏西 105方向的10B1处，此时两船相距 20 n mile.当甲船航行 20 min到达 A2处时，乙船航行到甲船的北偏西 120方向的 B2处，此时两船相距 10 n mile，问乙船每小时航行多少 n mile?2解析 解法一：如图，连结 A1B2，由题意知 A2B210
18、n mile， A1A230 10 n mile2 22060 2所以 A1A2 A2B2又 A1A2B218012060，所以 A1A2B2是等边三角形所以 A1B2 A1A210 n mile2由题意知， A1B120 n mile， B1A1B21056045，在 A1B2B1中，由余弦定理，得 B1B A1B A1B 2 A1B1A1B2cos4520 2(102 21 2)222010 200 2 222所以 B1B210 n mile2因此，乙船速度的大小为 6030 (n mile/h)10220 2答：乙船每小时航行 30 n mile2解法二：如下图所示，连结 A2B1，11
19、由题意知 A1B120 n mile， A1A230 2206010 n mile， B1A1A2105，2又 cos105cos(4560)cos45cos60sin45sin60 ，2 1 34sin105sin(4560)sin45cos60cos45sin60 ，2 1 34在 A2A1B1中，由余弦定理，得 A2B A1B A1A 2 A1B1A1A2cos10520 2(1021 21 2)222010 100(42 )，2 22 1 34 3所以 A2B110(1 )n mile3由正弦定理，得 sin A1A2B1 sin B1A1A2 ，A1B1A2B1 2010 1 3 2 1 34 22所以 A1A2B145，即 B1A2B2604515，cos15sin1052 1 34在 B1A2B2中，由题知 A2B210 n mile，2由余弦定理，得 B1B A2B A2B 2 A2B1A2B2cos1510 2(1 )2(10 )2 21 2 3 22210(1 )10 200，3 22 1 34所以 B1B210 n mile，故乙船速度的大小为 6030 (n mile/h)210220 2答：乙船每小时航行 30 n mile212
