1、1考点规范练 38 空间点、直线、平面之间的位置关系一、基础巩固1. 是一个平面, m,n 是两条直线, A 是一个点,若 m ,n ,且 A m,A ,则 m,n 的位置关系不可能是( )A.垂直 B.相交 C.异面 D.平行答案 D解析 是一个平面, m,n 是两条直线, A 是一个点, m ,n ,n 在平面 内 .A m,A ,A 是 m 和平面 相交的点,m 和 n 异面或相交,一定不平行 .2.在空间中,四条两两不同的直线 l1,l2,l3,l4,满足 l1 l2,l2 l3,l3 l4,则下列结论一定正确的是( )A.l1 l4 B.l1 l4C.l1与 l4既不垂直也不平行 D
2、.l1与 l4的位置关系不确定答案 D解析如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,取 l1为 BC,l2为 CC1,l3为 C1D1.满足 l1 l2,l2 l3.若取 l4为 A1D1,则有 l1 l4;若取 l4为 DD1,则有 l1 l4.因此 l1与 l4的位置关系不确定,故选 D.3.2如图, =l ,A,B ,C ,且 Cl,直线 AB l=M,过 A,B,C 三点的平面记作 ,则 与 的交线必通过( )A.点 A B.点 BC.点 C 但不过点 M D.点 C 和点 M答案 D解析 AB ,M AB,M .又 =l ,M l,M .根据公理 3 可知, M 在 与 的交线上
3、,同理可知,点 C 也在 与 的交线上 .4.如图, ABCD-A1B1C1D1是长方体, O 是 B1D1的中点,直线 A1C 交平面 AB1D1于点 M,则下列结论正确的是( )A.A,M,O 三点共线B.A,M,O,A1不共面C.A,M,C,O 不共面D.B,B1,O,M 共面答案 A解析 连接 A1C1,AC,则 A1C1 AC,所以 A1,C1,A,C 四点共面 .所以 A1C平面 ACC1A1.因为 M A1C,所以 M平面 ACC1A1.又 M平面 AB1D1,所以 M 在平面 ACC1A1与平面 AB1D1的交线上 .3同理 A,O 在平面 ACC1A1与平面 AB1D1的交线
4、上,所以 A,M,O 三点共线 .5.设四面体的六条棱的长分别为 1,1,1,1, 和 a,且长为 a 的棱与长为 的棱异面,则 a 的取值范2 2围是( )A.(0, ) B.(0, ) C.(1, ) D.(1, )2 3 2 3答案 A解析 此题相当于一个正方形沿着对角线折成一个四面体,长为 a 的棱长一定大于 0 且小于 .26.l1,l2表示空间中的两条直线,若 p:l1,l2是异面直线, q:l1,l2不相交,则( )A.p 是 q 的充分条件,但不是 q 的必要条件B.p 是 q 的必要条件,但不是 q 的充分条件C.p 是 q 的充分必要条件D.p 既不是 q 的充分条件,也不
5、是 q 的必要条件答案 A解析 l1,l2是异面直线 l1,l2不相交,即 pq;而 l1,l2不相交 l1,l2是异面直线,即 q p.故 p 是 q 的充分条件,但不是 q 的必要条件 .7.b 是平面 外一条直线,下列条件可得出 b 的是( )A.b 与 内一条直线不相交B.b 与 内两条直线不相交C.b 与 内无数条直线不相交D.b 与 内任意一条直线不相交答案 D解析 只有在 b 与 内所有直线都不相交,即 b 与 无公共点时, b .8.在四面体 ABCD 中, E,F 分别是 AC,BD 的中点 .若 AB=2,CD=4,EF AB,则 EF 与 CD 所成角的度数为( )A.9
6、0 B.45 C.60 D.304答案 D解析 如图,设 G 为 AD 的中点,连接 GF,GE,则 GF,GE 分别为 ABD, ACD 的中位线 .由此可得, GF AB,且 GF= AB=1,GE CD,且 GE= CD=2,12 12 FEG 或其补角即为 EF 与 CD 所成的角 .又 EF AB,GF AB,EF GF.在 Rt EFG 中, GF=1,GE=2,sin GEF= ,GFGE=12可得 GEF=30,EF 与 CD 所成角的度数为 30.9.用 a,b,c 表示三条不同的直线, 表示平面,给出下列命题: 若 a b,b c,则 a c; 若 a b,b c,则 a
7、c; 若 a ,b ,则 a b; 若 a ,b ,则 a b; 若 a b,b c,则 a c; 若 a b c,则 a,b,c 共面 .其中真命题的序号是 . 答案 解析 由平行线的传递性(公理 4)知 正确; 举反例: 在同一平面 内, a b,b c,有 a c; 举反例: 如图的长方体中, a ,b ,但 a 与 b 相交;5 垂直于同一平面的两直线互相平行,知 正确; 显然正确; 由三棱柱的三条侧棱知 错 .10.如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1中, E,F,G,H 分别是 AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证:(1)B,C,H,G 四点共面;(2)几何体 A1GH-AB
8、C 是三棱台;(3)平面 EFA1平面 BCHG.证明 (1)GH 是 A1B1C1的中位线,GH B1C1.又 B1C1 BC,GH BC,B ,C,H,G 四点共面 .(2)A 1G AB,AA 1与 BG 必相交 .12设交点为 P,则 .PA1PA=A1GAB=12同理设 CH AA1=Q,则 ,QA1QA=12P 与 Q 重合,即三条直线 AA1,GB,CH 相交于一点 .又由棱柱的性质知平面 A1GH平面 ABC, 几何体 A1GH-ABC 为棱台 .(3)E ,F 分别为 AB,AC 的中点, EF BC.EF 平面 BCHG,BC平面 BCHG,EF 平面 BCHG.A 1G
9、EB, 四边形 A1EBG 是平行四边形,A 1E GB.6A 1E平面 BCHG,GB平面 BCHG,A 1E平面 BCHG.A 1E EF=E, 平面 EFA1平面 BCHG.二、能力提升11.以下四个命题中, 不共面的四点中,其中任意三点不共线; 若点 A,B,C,D 共面,点 A,B,C,E 共面,则点 A,B,C,D,E 共面; 若直线 a,b 共面,直线 a,c 共面,则直线 b,c 共面; 依次首尾相接的四条线段必共面 .正确命题的个数是( )A.0 B.1C.2 D.3答案 B解析 显然是正确的; 若 A,B,C 三点共线,则 A,B,C,D,E 五点不一定共面; 构造长方体或
10、正方体,如图显然 b,c 异面,故不正确; 中空间四边形中四条线段不共面,故只有 正确 .12.若空间三条直线 a,b,c 满足 a b,b c,则直线 a 与 c( )A.一定平行 B.一定相交C.一定是异面直线 D.一定垂直答案 D解析 两条平行线中一条与第三条直线垂直,另一条直线也与第三条直线垂直,故选 D.13.7(2018 广东茂名综合测试)如图为一正方体的平面展开图,在这个正方体中,有下列四个命题:AF GC;BD 与 GC 是异面直线,且夹角为 60;BD MN;BG 与平面 ABCD 所成的角为 45.其中正确的个数是 ( )A.1 B.2 C.3 D.4答案 B解析 将平面展
11、开图还原成正方体(如图) .对于 ,由图形知 AF 与 GC 为异面垂直,故 正确;对于 ,BD 与 GC 是异面直线 .连接 EB,ED,则 BM GC,所以 MBD(或其补角)即为异面直线 BD 与 GC 所成的角 .在等边三角形 BDM 中, MBD=60,所以异面直线 BD 与 GC 所成的角为 60,故 正确;对于 ,BD 与 MN 为异面垂直,故 错误;对于 ,由题意,得 GD平面 ABCD,所以 GBD 是 BG 与平面 ABCD 所成的角 .但在 Rt BDG 中, GBD45,故 错误 .综上可得 正确 .故选 B.14.已知 m,n,l 为不同直线, , 为不同平面,给出下
12、列命题,其中真命题的序号是 .(填上所有真命题的序号) m l,n lm n;m ,n m n;m ,n , m n;m , ,n m n;8m 与 l 异面, n 与 l 异面 m 与 n 异面;m 与 l 共面, n 与 l 共面 m 与 n 共面 .答案 解析 由平面的基本性质 4 知 正确;平行于同一平面的两条直线可以平行、相交,也可以异面,故 错误;m n,故 为真命题; m m n m n,故 为真命题; n n 或 n m 如图(1),长方体中, m 与 l 异面, n1,n2,n3都与 l 异面,但 n2与 m 相交, n1与 m 异面, n3与 m 平行,故 为假命题;如图(
13、2),长方体中, m 与 l 共面, n 与 l 共面,但 m 与 n 异面,故 为假命题 .(1)(2)15.在空间四边形 ABCD 中, E,H 分别是边 AB,AD 的中点, F,G 分别是边 BC,CD 的中点 .求证:(1)BC 与 AD 是异面直线 .(2)EG 与 FH 相交 .证明 (1)假设 BC 与 AD 共面,不妨设它们所共平面为 ,则 B,C,A,D .所以四边形 ABCD 为平面图形,这与四边形 ABCD 为空间四边形相矛盾,所以 BC 与 AD 是异面直线 .9(2)如图,连接 AC,BD,则 EF AC,HG AC,因此 EF HG.同理 EH FG,则四边形 E
14、FGH 为平行四边形 .又 EG,FH 是 EFGH 的对角线,所以 EG 与 FH 相交 .三、高考预测16.如图,在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中,点 E 是棱 D1D 的中点,点 F 在棱 B1B 上,且满足 B1F=2BF.(1)求证: EF A1C1;(2)在棱 C1C 上确定一点 G,使 A,E,G,F 四点共面,并求此时 C1G 的长 .(1)证明 如图所示,连接 B1D1,ABCD-A 1B1C1D1为正方体, 四边形 A1B1C1D1为正方形 .A 1C1 B1D1.BB 1平面 A1B1C1D1,A 1C1 BB1.10B 1D1 BB1=B1,A 1C
15、1平面 BB1D1D.EF 平面 BB1D1D,EF A1C1.(2)解 如图所示,假设 A,E,G,F 四点共面,则 A,E,G,F 四点确定平面 AEGF,ABCD-A 1B1C1D1为正方体, 平面 AA1D1D平面 BB1C1C. 平面 AEGF平面 AA1D1D=AE,平面 AEGF平面 BB1C1C=GF, 由平面与平面平行的性质定理得 AE GF,同理可得 AF GE,因此四边形 AEGF 为平行四边形,GF=AE.在 Rt ADE 中, AD=a,DE= DD1= , ADE=90,12 a2由勾股定理得 AE= a,AD2+DE2= a2+(a2)2= 52在直角梯形 B1C1GF 中,下底 B1F= BB1= a,腰 B1C1=a,GF=AE= a,23 23 52过 G 作 GH BB1,交 BB1于点 H.显然四边形 B1C1GH 为矩形,故有 C1G=B1H,GH=C1B1=a.在 Rt FGH 中, FH=B1F-C1G,GH=a.由勾股定理可得 GF= GH2+(B1F-C1G)2= a,a2+(23a-C1G)2= 52结合图形可知 C1GB1F,解得 C1G= a.1611
