1、1考点规范练 39 直线、平面平行的判定与性质一、基础巩固1.对于空间的两条直线 m,n 和一个平面 ,下列命题中的真命题是 ( )A.若 m ,n ,则 m nB.若 m ,n ,则 m nC.若 m ,n ,则 m nD.若 m ,n ,则 m n答案 D解析 对 A,直线 m,n 可能平行、异面或相交,故 A 错误;对 B,直线 m 与 n 可能平行,也可能异面,故 B错误;对 C,m 与 n 垂直而非平行,故 C 错误;对 D,垂直于同一平面的两直线平行,故 D 正确 .2.下列四个正方体图形中, A,B 为正方体的两个顶点, M,N,P 分别为其所在棱的中点,能得出 AB平面 MNP
2、 的图形的序号是 ( )A. B. C. D.答案 C解析 对于图形 ,平面 MNP 与 AB 所在的对角面平行,即可得到 AB平面 MNP;对于图形 ,AB PN,即可得到 AB平面 MNP;图形 无论用定义还是判定定理都无法证明线面平行 .3.设 l 表示直线, , 表示平面 .给出四个结论: 若 l ,则 内有无数条直线与 l 平行;2 若 l ,则 内任意的直线与 l 平行; 若 ,则 内任意的直线与 平行; 若 ,对于 内的一条确定的直线 a,在 内仅有唯一的直线与 a 平行 .以上四个结论中,正确结论的个数为( )A.0 B.1 C.2 D.3答案 C解析 中 内的直线与 l 可异
3、面, 中可有无数条 .4.(2018 浙江,6)已知平面 ,直线 m,n 满足 m ,n ,则“ m n”是“ m ”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案 A解析 当 m ,n 时,由线面平行的判定定理可知, m nm ;但反过来不成立,即 m 不一定有 m n,m 与 n 还可能异面 .故选 A.5.已知平面 和不重合的两条直线 m,n,下列选项正确的是( )A.如果 m ,n ,m,n 是异面直线,那么 n B.如果 m ,n 与 相交,那么 m,n 是异面直线C.如果 m ,n ,m,n 共面,那么 m nD.如果 m ,n m,那
4、么 n 答案 C解析 如图(1)可知 A 错;如图(2)可知 B 错;如图(3), m ,n 是 内的任意直线,都有 n m,故 D 错 .n ,n 与 无公共点,m ,n 与 m 无公共点,又 m,n 共面, m n,故选 C.36.如图,四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形, MD平面 ABCD,NB平面 ABCD,且 MD=NB=1,G 为 MC 的中点 .则下列结论不正确的是( )A.MC ANB.GB平面 AMNC.平面 CMN平面 AMND.平面 DCM平面 ABN答案 C解析显然该几何图形为正方体截去两个三棱锥所剩的几何体,把该几何体放置到正方体中(如图),取 AN的中点 H
5、,连接 HB,MH,则 MC HB,又 HB AN,所以 MC AN,所以 A 正确;由题意易得 GB MH,又 GB平面 AMN,MH平面 AMN,所以 GB平面 AMN,所以 B 正确;因为 AB CD,DM BN,且 AB BN=B,CD DM=D,所以平面 DCM平面 ABN,所以 D 正确 .47.已知平面 ,P 且 P ,过点 P 的直线 m 与 , 分别交于 A,C,过点 P 的直线 n 与 , 分别交于 B,D,且 PA=6,AC=9,PD=8,则 BD 的长为 . 答案 或 24245解析 如图(1), AC BD=P, 经过直线 AC 与 BD 可确定平面 PCD. , 平
6、面 PAB=AB, 平面 PCD=CD,AB CD. ,即 ,解得 BD= .PAAC=PBBD 69=8-BDBD 245图(1)图(2)如图(2),同理可证 AB CD. ,即 ,解得 BD=24.PAPC=PBPD 63=BD-88综上所述, BD= 或 24.2458.过三棱柱 ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线,其中与平面 ABB1A1平行的直线共有 条 . 答案 65解析 过三棱柱 ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线,记 AC,BC,A1C1,B1C1的中点分别为 E,F,E1,F1,则直线 EF,E1F1,EE1,FF1,E1F,EF1均与平面 ABB1A1平
7、行,故符合题意的直线共 6 条 .9.如图,四棱锥 P-ABCD 的底面是一直角梯形, AB CD,BA AD,CD=2AB,PA底面 ABCD,E 为 PC 的中点,则 BE 与平面 PAD 的位置关系为 . 答案 平行解析 取 PD 的中点 F,连接 EF,AF,在 PCD 中, EF CD.12AB CD 且 CD=2AB,EF AB, 四边形 ABEF 是平行四边形, EB AF.又 EB平面 PAD,AF平面 PAD,BE 平面 PAD.10.在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中, O 为底面 ABCD 的中心, P 是 DD1的中点,设 Q 是 CC1上的点,则点 Q满足条件
8、时,有平面 D1BQ平面 PAO. 答案 Q 为 CC1的中点解析 如图,假设 Q 为 CC1的中点,因为 P 为 DD1的中点,所以 QB PA.连接 DB,因为 P,O 分别是 DD1,DB 的中点,所以 D1B PO.6又 D1B平面 PAO,QB平面 PAO,所以 D1B平面 PAO,QB平面 PAO.又 D1B QB=B,所以平面 D1BQ平面 PAO.故 Q 满足条件 Q 为 CC1的中点时,有平面 D1BQ平面 PAO.11.如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1中, AC AB,AB=2AA1,M 是 AB 的中点, A1MC1是等腰三角形, D 为 CC1的中点, E 为 B
9、C 上一点 .(1)若 BE=3EC,求证: DE平面 A1MC1;(2)若 AA1=1,求三棱锥 A-MA1C1的体积 .(1)证明 如图 ,取 BC 中点 N,连接 MN,C1N.M 是 AB 的中点, MN AC A1C1,M ,N,C1,A1共面 .BE= 3EC,E 是 NC 的中点 .又 D 是 CC1的中点, DE NC1.DE 平面 MNC1A1,NC1平面 MNC1A1,DE 平面 A1MC1.(2)解 如图 ,当 AA1=1 时, AM=1,A1M= ,A1C1= .2 2 三棱锥 A-MA1C1的体积AMAA1A1C1= .VA-A1MC1=VC1-A1AM=1312 2
10、67图 图 12.如图,在多面体 ABCDE 中,平面 ABE平面 ABCD, ABE 是等边三角形,四边形 ABCD 是直角梯形,AB AD,AB BC,AB=AD= BC=2,M 是 EC 的中点 .12(1)求证: DM平面 ABE;(2)求三棱锥 M-BDE 的体积 .(1)证法一 取 BE 的中点 O,连接 OA,OM,O ,M 分别为线段 BE,CE 的中点, OM= BC.12又 AD= BC,OM=AD ,12又 AD CB,OM CB,OM AD. 四边形 OMDA 为平行四边形,DM AO,又 AO平面 ABE,MD平面 ABE,DM 平面 ABE.证法二 取 BC 的中点
11、 N,连接 DN,MN(图略),M ,N 分别为线段 CE,BC 的中点, MN BE,8又 BE平面 ABE,MN平面 ABE,MN 平面 ABE,同理可证 DN平面 ABE,MN DN=N, 平面 DMN平面 ABE,又 DM平面 DMN,DM 平面 ABE.(2)解法一 平面 ABE平面 ABCD,AB BC,BC平面 ABCD,BC 平面 ABE,OA 平面 ABE,BC AO,又 BE AO,BC BE=B,AO 平面 BCE,由(1)知 DM=AO= ,DM AO,3DM 平面 BCE,V M-BDE=VD-MBE= 22 .1312 3=233解法二 取 AB 的中点 G,连接
12、EG, ABE 是等边三角形, EG AB, 平面 ABE平面 ABCD=AB,平面 ABE平面 ABCD,且 EG平面 ABE,EG 平面 ABCD,即 EG 为四棱锥 E-ABCD 的高,M 是 EC 的中点,M-BCD 的体积是 E-BCD 体积的一半, V M-BDE=VE-BDC-VM-BDC= VE-BDC,12V M-BDE= 24 .121312 3=233即三棱锥 M-BDE 的体积为 .233二、能力提升913.在空间四边形 ABCD 中, E,F 分别为 AB,AD 上的点,且 AEEB=AFFD= 1 4,H,G 分别为 BC,CD 的中点,则( )A.BD平面 EFG
13、,且四边形 EFGH 是平行四边形B.EF平面 BCD,且四边形 EFGH 是梯形C.HG平面 ABD,且四边形 EFGH 是平行四边形D.EH平面 ADC,且四边形 EFGH 是梯形答案 B解析 如图,由题意得, EF BD,且 EF= BD.HG BD,且 HG= BD,15 12EF HG,且 EF HG. 四边形 EFGH 是梯形 .又 EF平面 BCD,而 EH 与平面 ADC 不平行,故 B 正确 .14.设 , , 为三个不同的平面, m,n 是两条不同的直线,在命题“ =m ,n ,且 ,则m n”中的横线处填入下列三组条件中的一组,使该命题为真命题 . ,n ;m ,n ;n
14、 ,m.可以填入的条件有( )A. B. C. D.答案 C解析 由面面平行的性质定理可知, 正确;当 n ,m 时, n 和 m 在同一平面内,且没有公共点,所以平行, 正确 .选 C.15.10如图, ABCD-A1B1C1D1是棱长为 a 的正方体, M,N 分别是下底面的棱 A1B1,B1C1的中点, P 是上底面的棱AD 上的一点, AP= ,过 P,M,N 的平面交上底面于 PQ,Q 在 CD 上,则 PQ= . a3答案22a3解析 如图所示,连接 AC,易知 MN平面 ABCD.又平面 PQNM平面 ABCD=PQ,MN平面 PQNM,MN PQ.又 MN AC,PQ AC.A
15、P= , ,a3 PDAD=DQCD=PQAC=23PQ= AC= a.23 22316.在三棱锥 S-ABC 中, ABC 是边长为 6 的正三角形, SA=SB=SC=15,平面 DEFH 分别与 AB,BC,SC,SA交于 D,E,F,H.D,E 分别是 AB,BC 的中点 .如果直线 SB平面 DEFH,那么四边形 DEFH 的面积为 .答案45211解析 取 AC 的中点 G,连接 SG,BG.易知 SG AC,BG AC,故 AC平面 SGB,所以 AC SB.因为 SB平面 DEFH,SB平面 SAB,平面 SAB平面 DEFH=HD,所以 SB HD.同理 SB FE.又 D,
16、E 分别为 AB,BC 的中点,则 H,F 也为 AS,SC 的中点,从而得 HF AC DE,12所以四边形 DEFH 为平行四边形 .又 AC SB,SB HD,DE AC,所以 DE HD,所以四边形 DEFH 为矩形,其面积 S=HFHD= .(12AC)(12SB)=45217.如图,棱柱 ABCD-A1B1C1D1的底面 ABCD 为菱形,平面 AA1C1C平面 ABCD.(1)求证:平面 AB1C平面 DA1C1;(2)在直线 CC1上是否存在点 P,使 BP平面 DA1C1?若存在,求出点 P 的位置;若不存在,说明理由 .(1)证明 由棱柱 ABCD-A1B1C1D1的性质,
17、知 AB1 DC1,A1D B1C.AB 1 B1C=B1,A1D DC1=D, 平面 AB1C平面 DA1C1.(2)解 存在这样的点 P 满足题意 .如图,在 C1C 的延长线上取点 P,使 C1C=CP,连接 BP,12B 1B CC1,BB 1 CP, 四边形 BB1CP 为平行四边形, BP B1C.A 1D B1C,BP A1D.又 A1D平面 DA1C1,BP平面 DA1C1,BP 平面 DA1C1.三、高考预测18.如图,已知正方形 ABCD 的边长为 6,点 E,F 分别在边 AB,AD 上, AE=AF=4,现将 AEF 沿线段 EF 折起到 AEF 位置,使得 AC=2
18、.6(1)求五棱锥 A-BCDFE 的体积;(2)在线段 AC 上是否存在一点 M,使得 BM平面 AEF?若存在,求 AM;若不存在,请说明理由 .解 (1)连接 AC,设 AC EF=H,连接 AH.因为四边形 ABCD 是正方形, AE=AF=4,所以 H 是 EF 的中点,且 EF AH,EF CH.从而有 AH EF,CH EF,又 AH CH=H,13所以 EF平面 AHC,且 EF平面 ABCD.从而平面 AHC平面 ABCD.过点 A作 AO 垂直 HC 且与 HC 相交于点 O,则 AO平面 ABCD.因为正方形 ABCD 的边长为 6,AE=AF=4,所以 AH=2 ,CH
19、=4 ,2 2所以 cos AHC= .AH2+CH2-AC22AHCH = 8+32-2422242=12所以 HO=AHcos AHC= ,则 AO= .2 6所以五棱锥 A-BCDFE 的体积V= .13(62-1244) 6=2863(2)线段 AC 上存在点 M,使得 BM平面 AEF,此时 AM= .62证明如下:连接 OM,BD,BM,DM,且易知 BD 过 O 点 .AM= AC,HO= HC,62=14 14所以 OM AH.又 OM平面 AEF,AH平面 AEF,所以 OM平面 AEF.又 BD EF,BD平面 AEF,EF平面 AEF,所以 BD平面 AEF.又 BD OM=O,所以平面 MBD平面 AEF,因为 BM平面 MBD,所以 BM平面 AEF.14
