1、1考点规范练 43 圆的方程一、基础巩固1.圆心为(1,1)且过原点的圆的标准方程是( )A.(x-1)2+(y-1)2=1 B.(x+1)2+(y+1)2=1C.(x+1)2+(y+1)2=2 D.(x-1)2+(y-1)2=2答案 D解析 由题意可得圆的半径 r= ,则圆的标准方程为( x-1)2+(y-1)2=2.(1-0)2+(1-0)2= 22.已知实数 x,y 满足( x+5)2+(y-12)2=122,则 x2+y2的最小值为( )A.2 B.1 C. D.3 2答案 B解析 设 P(x,y),则点 P 在圆( x+5)2+(y-12)2=122上,则圆心 C(-5,12),半径
2、 r=12,x2+y2=2=|OP|2,(x-0)2+(y-0)2又 |OP|的最小值是 |OC|-r=13-12=1,所以 x2+y2的最小值为 1.3.已知三点 A(1,0),B(0, ),C(2, ),则 ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( )3 3A. B. C. D.53 213 253 43答案 B解析 由题意知, ABC 外接圆的圆心是直线 x=1 与线段 AB 垂直平分线的交点 P,而线段 AB 垂直平分线的方程为 y- ,它与 x=1 联立得圆心 P 坐标为 ,32= 33(x-12) (1,233)则 |OP|= .12+(233)2= 2134.点 P(4,-2)与圆
3、x2+y2=4 上任一点连线的中点的轨迹方程是 ( )A.(x-2)2+(y+1)2=1 B.(x-2)2+(y+1)2=4C.(x+4)2+(y-2)2=4 D.(x+2)2+(y-1)2=1答案 A2解析 设圆上任一点为 Q(x0,y0),PQ 的中点为 M(x,y),则 解得x=4+x02,y= -2+y02 , x0=2x-4,y0=2y+2.因为点 Q 在圆 x2+y2=4 上,所以 =4,即(2 x-4)2+(2y+2)2=4,化简得( x-2)2+(y+1)2=1.x20+y205.已知直线 l:x+my+4=0,若曲线 x2+y2+2x-6y+1=0 上存在两点 P,Q 关于直
4、线 l 对称,则 m 的值为( )A.2 B.-2 C.1 D.-1答案 D解析 曲线 x2+y2+2x-6y+1=0 是圆( x+1)2+(y-3)2=9,若圆( x+1)2+(y-3)2=9 上存在两点 P,Q 关于直线 l对称,则直线 l:x+my+4=0 过圆心( -1,3),所以 -1+3m+4=0,解得 m=-1,故选 D.6.如图,已知圆 C 与 x 轴相切于点 T(1,0),与 y 轴正半轴交于两点 A,B(B 在 A 的上方),且 |AB|=2.(1)圆 C 的标准方程为 ; (2)圆 C 在点 B 处的切线在 x 轴上的截距为 . 答案(1)(x-1)2+(y- )2=2
5、(2)-1-2 2解析 (1)由题意可设圆心 C 坐标为(1, b),取 AB 中点为 P,连接 CP,CB,则 BPC 为直角三角形,得 |BC|=r= =b,故圆 C 的标准方程为( x-1)2+(y- )2=2.2 2(2)由(1)得, C(1, ),B(0, +1),则 kBC=-1.2 23圆 C 在点 B 处的切线方程为 y=x+ +1,令 y=0,2得 x=- -1,即切线在 x 轴上的截距为 -1- .2 27.当方程 x2+y2+kx+2y+k2=0 所表示的圆的面积取最大值时,直线 y=(k-1)x+2 的倾斜角 = .(k20),则 ,即 a=2.|2a|5=455又点
6、M(0, )在圆 C 上,则圆 C 的半径 r= =3.5 22+5故圆 C 的方程为( x-2)2+y2=9.9.已知圆 C 的圆心在直线 y=-4x 上,且与直线 l:x+y-1=0 相切于点 P(3,-2),求圆 C 的方程 .解 (方法一)如图,设圆心 C(x0,-4x0),依题意得 =1,则 x0=1,4x0-23-x0即圆心 C 的坐标为(1, -4),半径 r=2 ,2故圆 C 的方程为( x-1)2+(y+4)2=8.(方法二)设所求圆 C 的方程为( x-x0)2+(y-y0)2=r2,4根据已知条件得y0= -4x0,(3-x0)2+(-2-y0)2=r2,|x0+y0-1
7、|2 =r, 解得x0=1,y0= -4,r=2 2.因此所求圆 C 的方程为( x-1)2+(y+4)2=8.10.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 P 在 x 轴上截得线段长为 2 ,在 y 轴上截得线段长为 2 .2 3(1)求圆心 P 的轨迹方程;(2)若点 P 到直线 y=x 的距离为 ,求圆 P 的方程 .22解 (1)设 P(x,y),圆 P 的半径为 r.由题设 y2+2=r2,x2+3=r2,从而 y2+2=x2+3.故 P 点的轨迹方程为 y2-x2=1.(2)设 P(x0,y0),由已知得 .|x0-y0|2 = 22又 P 在双曲线 y2-x2=1 上,从而得 |x
8、0-y0|=1,y20-x20=1.由 此时,圆 P 的半径 r= .x0-y0=1,y20-x20=1,得 x0=0,y0= -1.3由 此时,圆 P 的半径 r= .x0-y0= -1,y20-x20=1, 得 x0=0,y0=1.3故圆 P 的方程为 x2+(y+1)2=3 或 x2+(y-1)2=3.二、能力提升11.(2018 北京朝阳期末)阿波罗尼斯证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数 k(k0,且 k1)的点的轨迹是圆 .后人将这个圆称为阿氏圆 .若平面内两定点 A,B 间的距离为 2,动点 P 与 A,B距离之比为 ,当 P,A,B 不共线时, PAB 面积的最大值
9、是( )2A.2 B. C. D.2 2223 235答案 A解析 如图,以经过 A,B 的直线为 x 轴,线段 AB 的垂直平分线为 y 轴,建立直角坐标系,则 A(-1,0),B(1,0),设 P(x,y), , ,|PA|PB|= 2 (x+1)2+y2(x-1)2+y2= 2两边平方并整理得 x2+y2-6x+1=0(x-3)2+y2=8,ymax=2 , PAB 面积的最大值是 22 =2212 2,故选 A.212.已知 aR,方程 a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0 表示圆,则圆心坐标是 ,半径是 .答案 (-2,-4) 5解析 由题意,可得 a2=a+2,解得 a=
10、-1 或 a=2.当 a=-1 时,方程为 x2+y2+4x+8y-5=0,即( x+2)2+(y+4)2=25,故圆心为( -2,-4),半径为 5;当 a=2 时,方程为 4x2+4y2+4x+8y+10=0,即 +(y+1)2=- 不表(x+12)2 54示圆 .13.已知圆 M 与 y 轴相切,圆心在直线 y= x 上,并且在 x 轴上截得的弦长为 2 ,则圆 M 的标准方程12 3为 . 答案 (x-2)2+(y-1)2=4 或( x+2)2+(y+1)2=4解析 设圆 M 的标准方程为( x-a)2+(y-b)2=r2,由题意可得 解得12a-b=0,|a|=r,b2+3=r2,
11、a=2,b=1,r=2或 a= -2,b= -1,r=2, 所以圆 M 的标准方程为( x-2)2+(y-1)2=4 或( x+2)2+(y+1)2=4.14.在以 O 为原点的平面直角坐标系中,点 A(4,-3)为 OAB 的直角顶点,已知 |AB|=2|OA|,且点 B 的纵坐标大于 0.6(1)求 的坐标;AB(2)求圆 x2-6x+y2+2y=0 关于直线 OB 对称的圆的方程 .解 (1)设 =(x,y),由 |AB|=2|OA|, =0,AB ABOA得 解得x2+y2=100,4x-3y=0, x=6,y=8或 x= -6,y= -8.若 =(-6,-8),则 yB=-11 与
12、yB0 矛盾 .AB 舍去,即 =(6,8).x= -6,y= -8 AB(2)圆 x2-6x+y2+2y=0,即( x-3)2+(y+1)2=( )2,其圆心为 C(3,-1),半径 r= .10 10 =(4,-3)+(6,8)=(10,5),OB=OA+AB 直线 OB 的方程为 y= x.12设圆心 C(3,-1)关于直线 y= x 的对称点的坐标为( a,b),12则 解得b+1a-3= -2,b-12 =12a+32, a=1,b=3,故所求的圆的方程为( x-1)2+(y-3)2=10.三、高考预测15.已知平面区域 恰好被面积最小的圆 C:(x-a)2+(y-b)2=r2及其内部所覆盖,则圆x 0,y 0,x+2y-4 0C 的方程为 . 答案 (x-2)2+(y-1)2=5解析 由题意知,此平面区域表示的是以 O(0,0),P(4,0),Q(0,2)所构成的三角形及其内部,所以覆盖它且面积最小的圆是其外接圆 .因为 OPQ 为直角三角形,所以圆心为斜边 PQ 的中点(2,1),半径 r= ,|PQ|2 = 57所以圆 C 的方程为( x-2)2+(y-1)2=5.
