1、1高考大题专项练一 高考中的函数与导数1.(2018北京,文 19)设函数 f(x)=ax2-(3a+1)x+3a+2ex.(1)若曲线 y=f(x)在点(2, f(2)处的切线斜率为 0,求 a;(2)若 f(x)在 x=1处取得极小值,求 a的取值范围 .解 (1)因为 f(x)=ax2-(3a+1)x+3a+2ex,所以 f(x)=ax2-(a+1)x+1ex,f(2)=(2a-1)e2.由题设知 f(2)=0,即(2 a-1)e2=0,解得 a= .12(2)由(1)得 f(x)=ax2-(a+1)x+1ex=(ax-1)(x-1)ex.若 a1,则当 x 时, f(x)0.所以 f(
2、x)在 x=1处取得极小值 .若 a1,则当 x(0,1)时, ax-1 x-10.所以 1不是 f(x)的极小值点 .综上可知, a的取值范围是 .(1,+ )2.(2018全国 ,文 21)已知函数 f(x)= .ax2+x-1ex(1)求曲线 y=f(x)在点(0, -1)处的切线方程;(2)证明:当 a1 时, f(x)+e0 .(1)解 f(x)= ,f(0)=2.-ax2+(2a-1)x+2ex因此曲线 y=f(x)在(0, -1)处的切线方程是 2x-y-1=0.(2)证明 当 a1 时, f(x)+e( x2+x-1+ex+1)e-x.令 g(x)=x2+x-1+ex+1,则
3、g(x)=2x+1+ex+1.当 x-1时, g(x)0,g(x)单调递增;2所以 g(x) g(-1)=0.因此 f(x)+e0 .3.已知函数 f(x)=ln x+ ax2-x-m(mZ) .12(1)若 f(x)是增函数,求 a的取值范围;(2)若 a0,g(1)=a0,当 xx0时, f(x)0.1x-12=2-x2x所以 r(x)在(0,1)内单调递增 .所以 r(x)0,(x-2)(x-1)x由 f(x)0,得 02;由 f(x)2时, f(x)0.所以 f(x)在(0,2)上单调递减,在(2, + )上单调递增 .(2)证明 当 a 时, f(x) -lnx-1.1e exe设
4、g(x)= -lnx-1,则 g(x)= .exe exe-1x当 01时, g(x)0.所以 x=1是 g(x)的最小值点 .4故当 x0时, g(x) g(1)=0.因此,当 a 时, f(x)0 .1e6.定义在实数集上的函数 f(x)=x2+x,g(x)= x3-2x+m.13(1)求函数 f(x)的图象在 x=1处的切线方程;(2)若 f(x) g(x)对任意的 x -4,4恒成立,求实数 m的取值范围 .解 (1)f (x)=x2+x, 当 x=1时, f(1)=2,f (x)=2x+1,f (1)=3, 所求切线方程为 y-2=3(x-1),即 3x-y-1=0.(2)令 h(x
5、)=g(x)-f(x)= x3-x2-3x+m,13则 h(x)=(x-3)(x+1). 当 -40;当 -10.要使 f(x) g(x)恒成立,即 h(x)max0,由上知 h(x)的最大值在 x=-1或 x=4处取得,而 h(-1)=m+ ,h(4)=m- ,53 203故 m+ 0,即 m - ,53 53故实数 m的取值范围为 .(- ,-537.已知函数 f(x)= ax2-(2a+1)x+2ln x(aR) .12(1)求 f(x)的单调区间;(2)设 g(x)=x2-2x,若对任意 x1(0,2,均存在 x2(0,2,使得 f(x1)0).2x(1)f(x)= (x0).(ax-
6、1)(x-2)x5 当 a0 时, x0,ax-10,在区间(2, + )内, f(x)2,在区间(0,2)和 内, f(x)0,在区间 内, f(x) 时,0 0,在区间 内, f(x)ln2-1.故 ln2-1 时, f(x)在 上单调递增,在 上单调递减,12 (0,1a (1a,2故 f(x)max=f -(2a+1) +2ln =- -2-2lna12时, 12a+2lna12a+2lne-1=12a-2 -2)故 a 时满足题意 .12综上, a的取值范围为(ln2 -1,+ ).8.设 a,bR, |a|1 .已知函数 f(x)=x3-6x2-3a(a-4)x+b,g(x)=ex
7、f(x).(1)求 f(x)的单调区间;(2)已知函数 y=g(x)和 y=ex的图象在公共点( x0,y0)处有相同的切线,6 求证: f(x)在 x=x0处的导数等于 0; 若关于 x的不等式 g(x)e x在区间 x0-1,x0+1上恒成立,求 b的取值范围 .解 (1)由 f(x)=x3-6x2-3a(a-4)x+b,可得 f(x)=3x2-12x-3a(a-4)=3(x-a)x-(4-a).令 f(x)=0,解得 x=a或 x=4-a.由 |a|1,得 a0,可得 f(x)1 .又因为 f(x0)=1,f(x0)=0,故 x0为 f(x)的极大值点,由(1)知 x0=a.另一方面,由于 |a|1,故 a+14-a,由(1)知 f(x)在( a-1,a)内单调递增,在( a,a+1)内单调递减,故当 x0=a时, f(x) f(a)=1在 a-1,a+1上恒成立,从而 g(x)e x在 x0-1,x0+1上恒成立 .由 f(a)=a3-6a2-3a(a-4)a+b=1,得 b=2a3-6a2+1,-1 a1 .令 t(x)=2x3-6x2+1,x -1,1,所以 t(x)=6x2-12x,7令 t(x)=0,解得 x=2(舍去)或 x=0.因为 t(-1)=-7,t(1)=-3,t(0)=1,所以 t(x)的值域为 -7,1.故 b的取值范围是 -7,1.
