1、11.1.3 三个正数的算术-几何平均不等式学习目标1探索并了解三个正数的算术几何平均不等式的证明过程2会用平均不等式求一些特定函数的最 大(小)值3会建立函数不等式模型，利用其解决实际生活中的最值问题一、自学释疑根据线上提交的自学检测，生生、师生交流讨论，纠正共性问题。二、合作探究探究 1满足不等式 成立的 a， b， c 的范围是什么？a b c3 3abc探究 2应用三个正数的算术几何平均不等式，求最值应注意什么？探究 3 利用不等式 求最值的条件是什么？a b c3 3abc探究 4 如何求 y x2的最小值？4x4例 1 已知 xR ，求函数 y x(1 x2)的最大值2变式练习 1
2、已知 xR ，求函数 y x2(1 x)的最大值例 2 设 a、 b、 cR ，求证：(1) (a b c)227；(1a2 1b2 1c2)(2)(a b c) .(1a b 1b c 1a c) 92变式练习 2设 00.0 a(1 a) .a （ 1 a）2 2 14同理 0b(1 b) ，0 c(1 c) .14 14当且仅 当 a b c 时，12以上三个式子等号成立将以上三个不等式相乘得abc(1 a)(1 b)(1 c) .(14)3 例 3 【解析】设圆柱体的底面半径为 r，如图，由相似三角形的性质可得 ，H hH rR r (H h)RH6 V 圆柱 r2h (H h)2h(0 h H) R2H2根据平均不等式可得V 圆柱 h4 R2H2 H h2 H h2 4 R2H2 (H3)3 R2H.427当且仅 当 h，H h2即 h H 时，13V 圆柱最大 R2H.427变式练习 3解：设圆柱形饮料盒的体积为 V(定值)，底面半径为 r，高为 h，表面积为 S.则 V r2h， h .V r2 S2 r22 rh2 r22Vr2 r2 3 .Vr Vr 32 V2即当 2 r2 ，Vrr 时表面积最小此时 h2 r.3V2即饮料盒的底面半径为 r ，3V2高为 2 时，用料最省3V27
