1、13.3 排序不等式学习目标1了解排序不等式的数学思想和背景2理解排序不等式的结构与基本原理，会 用排序不等式解决简单的不等式问题一、自学释疑根据线上提交的自学检测，生生、师生交流讨论，纠正共性问题。二、合作探究思考探究 使用排序不等式的关键是什么？名师点拨：1排序原理的本质含义两组实数序列同方向单调(同时增或同时减)时所得两两乘积之和最大，反方向单调(一增一减)时所得两两乘积之和最小等号成立的条件是其中至少有一组序列为常数序列2排序原理的思想在解答数学问题时常常涉及到一些可以比较大小的量，它们之间 并没有预先规定大小顺序，那么在解答 问题时，不妨可以把它们按一定顺序排列起来利用排序原理，往往
2、有助于解决 问题3排序原理的推论对于实数 a1， a2， an，设 ai1， ai2， ain为其任一个排列，则有a1ai1 a2ai2 anain a a a .21 2 2n4利用排序不等式求最值的方法利用排序不等式求最值时，先要对待证不等式及已知条件仔细分析，观察不等式的结构，明确两个数组的大小顺序，分清顺序和、乱序和反序和，由于乱序和是不确定的，根据需要写出其中的一个即可一般最值是顺序和或反序和5排序不等式证明不等式的策略(1)利用排序不等式证明不等式时，若已知条件中已给出两组量的大小关系，则需要分析清楚顺序和 、乱序和及反序和利用排序不等式证明即可(2)若在解答数学问题时，涉及一些可
3、以比较大小 的量，它们之间并没有预先规定大小顺序那 么在解答问题时，我们可以利用排序原理将它们按一定顺序排列起来，继而用2不等式关系来解题.【例 1】 某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品 4 件，5 件及 2 件，现在选择商品中单价为 3 元，2 元和 1 元的礼品，问至少要花多少钱？最多要花多少钱？【变式训练 1】 设 a1， a2， a3为正数，且 a1 a2 a31，求 的最a1a2a3 a2a3a1 a3a1a2小值【例 2】 已知 a， b， cR ，求证： a10 b10 c10.a12bc b12ca c12ab【变式训练 2】 已知 a， b， c 都是正数，求证： .
4、1a 1b 1c a8 b8 c8a3b3c3【例 3】 设 x0，求证：1 x x2 x2n(2 n1) xn.3【变式训练 3】 已知 a， b， c 为正数，用排序不等式证明：2( a3 b3 c3) a2(b c) b2(a c) c2(a b)4参考答案二、合作探究探究 1：两组实数序列同方向单调(同时增或同时减)时所得两 两乘积之和最大，反方向单调(一增一减)时所得两两乘积之和最小等号成立的条件是其中至少有一组序列为常数序列探究 2：在解答数学问题时常常涉及到一些可以比较大小的量，它们之间并没有预先规定大小顺序，那么在解答问题时，不妨可以把它们按一定顺序排列起来利用排序原理，往往有
5、助于解决问题探究 3：对于实数 a1， a2， an，设 ai1， ai2， ain为其任一个排列，则有a1ai1 a2ai2 anain a a a .21 2 2n探究 4：利用排序不等式求最值 时，先要对待证不等式及已知条件仔细分析，观察不等式的结构，明确两个数组的大小顺序，分清顺 序和、乱序和反序和，由于乱序和是不确定的，根据需要写出其中的一个即可一般最值是顺序和或反序和探究 5：(1)利用排序不等式证明不等式时，若已知条件中已给出两组量的大小关系，则需要分析清楚顺序和、乱序和及反序和利用排序不等式证明即可(2)若在解答数学问题时，涉及一些可以比较大小的量，它们之间并没有预先规定大小顺
6、序那么 在解答问题时，我们可以利用排序 原理将它们按一定顺序排列起来，继而用不等式关系来解题.【例 1】 【解】 由题意可知，( a1， a2， a3)(2,4,5)，( b1， b2， b3)(1,2,3)，则花钱最少为：15243219(元)；花钱最多为：12243525(元)【变式训练 1】解 不妨设 a3a1a20，则 0，则 0，且 a12 b12 c120.1bc 1ca 1ab a10 b10 c10.a12bc b12ca c12ab a12ab b12bc c12ac a11b b11c c11a a11a b11b c11c【变式训练 2】证明 由于 a， b， c 的对称
7、性，不妨设 a b c0， 则 .1c 1b 1a因而 .1b3c3 1c3a3 1a3b3又 a5 b5 c5，由排序不等式，得 .a5b3c3 b5c3a3 c5a3b3 a5c3a3 b5a3b3 c5b3c3 a2c3 b2a3 c2b3又由 不等式性质，知 a2 b2 c2， .1c3 1b3 1a3根据排序不等式，得 .a2c3 b2a3 c2b3 a2a3 b2b3 c2c3 1a 1b 1c由不等式的传递性知 .1a 1b 1c a5b3c3 b5c3a3 c5a3b3 a8 b8 c8a3b3c3【例 3】 【分析】 题中只给出了 x0，但是对于 x1， x xx2xn，同理可得综合(1)与(2)，所以当 x0 时，1 x x2 x2n(2 n1) xn.【变式训练 3】证明 取两组数 a， b， c； a2， b2， c2.不管 a， b， c 的大小如何，a3 b3 c3都是顺序和，而 a2b b2c c2a，及 a2c b2a c2b 都是乱序和因此，6a3 b3 c3 a2b b2c c2a，a3 b3 c3 a2c b2a c2b.2( a3 b3 c3) a2(b c) b2(c a) c2(a b)
