1、1课时作业(二十三) 第 23 讲 正弦定理和余弦定理的应用时间 /45 分钟 分值 /90 分基础热身1.在相距 500m 的 A,B 两点处测量目标点 C,若 CAB=75, CBA=60,则 A,C 两点之间的距离为 ( )A.125 m B.250 m6 6C.100 m D.75 m6 6图 K23-12.如图 K23-1,一艘海轮从 A 处出发,以每小时 42 海里的速度沿南偏东 40的方向直线航行,20 分钟后到达 B 处,在 C 处有一座灯塔,在 A 处观察灯塔,其方向是南偏东 70,在 B 处观察灯塔,其方向是北偏东 65,那么 B,C 两点间的距离是 ( )A.7 海里 B
2、.8 海里2 2C.10 海里 D.12 海里3 3图 K23-23.如图 K23-2 所示,已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于 akm,灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 20,灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 40,则灯塔 A 与 B 之间的距离为 ( )A.akm B.2akmC. akm D. akm2 34.轮船 A 和轮船 B 在中午 12 时同时离开海港 C,两船航行方向的夹角为 120,两船的航行速度分别为 25nmile/h,15nmile/h,则下午 2 时两船之间的距离是 nmile. 能力提升25.已知 A,B,C 是海面上的三座岛屿,测得 ABC=
3、30, BAC=105,从岛屿 A 到岛屿 C 需要30min,按照同样的速度,从岛屿 A 到岛屿 B 需要(取 1 .4, 1 .7) ( )2 3A.51min B.42minC.39min D.36min图 K23-36.如图 K23-3,测量河对岸的塔高 AB 时,可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个测点 C 与 D,测得 BCD=15, BDC=30,CD=30m,并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 60,则塔高 AB 等于( )A.5 m6B.15 m3C.5 m2D.15 m6图 K23-47.如图 K23-4,飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内,若飞机的高度为海拔 18km,速
4、度为1000km/h,飞行员先看到山顶的俯角为 30,经过 1min 后又看到山顶的俯角为 75,则山顶的海拔高度为(精确到 0.1km,参考数据: 1 .732) ( )3A.11.4km B.6.6kmC.6.5km D.5.6km3图 K23-58.如图 K23-5 所示,一艘海轮从 A 处出发,测得灯塔在海轮的北偏东 15方向,与海轮相距20nmile 的 B 处,海轮按北偏西 60的方向航行了 30min 后到达 C 处,又测得灯塔在海轮的北偏东 75的方向,则海轮的速度为 ( )A. nmile/min B. nmile/min32 23C. nmile/min D. nmile/
5、min63 33图 K23-69.校运动会开幕式上举行升旗仪式,旗杆正好处在坡度为 15的看台的某一列的正前方,从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 60和 30,第一排和最后一排的距离为 10 m(如图 K23-6 所示),旗杆底部与第一排在一个水平面上 .若国歌时长为 50s,要6求升旗手匀速升旗,则升旗速度是 ( )A.0.4m/s B.0.6m/sC.0.7m/s D.0.8m/s10.江岸边有一炮台高 30m,江中有两条船,船与炮台底部在同一水平面上,由炮台顶部测得俯角分别为 45和 60,而且两条船与炮台底部连线成 30角,则两条船相距 m. 图 K23-711.如图
6、 K23-7,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到 A 处时测得公路北侧一山顶 D在西偏北 30的方向上,行驶 600m 后到达 B 处,测得此山顶在西偏北 75的方向上,仰角为30,则此山的高度 CD= m. 412.(12 分)如图 K23-8 所示,位于 A 处的信息中心获悉:在其正东方向相距 40nmile 的 B 处有一艘渔船遇险,在原地等待营救 .信息中心立即把消息告知在其南偏西 30、相距20nmile 的 C 处的乙船,现乙船朝北偏东 的方向沿直线 CB 前往 B 处救援,求 cos 的值 .图 K23-813.(13 分)某航模兴趣小组的同学,为了测定在湖面上航模航行的速
7、度,采用如下办法:在岸边设置两个观察点 A,B,且 AB 长为 80m,当航模在 C 处时,测得 ABC=105和 BAC=30,经过 20s 后,航模直线航行到 D 处,此时测得 BAD=90和 ABD=45.请你根据以上条件求出航模的速度 .(答案保留根号)图 K23-95难点突破14.(5 分)如图 K23-10,据气象部门预报,在距离某码头南偏东 45方向 600km 处的热带风暴中心正以 20km/h 的速度向正北方向移动,距风暴中心 450km 以内的地区都将受到影响,则该码头将受到热带风暴影响的时间为 ( )A.14h B.15hC.16h D.17h图 K23-10图 K23-
8、1115.(5 分)2018南昌二模 如图 K23-11,有一块半径为 20 米,圆心角 AOB= 的扇形展示23台,展示台被分成了四个区域:三角形 OCD,弓形 CMD,扇形 AOC 和扇形 BOD(其中 AOC= BOD).某次菊花展分别在这四个区域按上述顺序依次摆放泥金香、紫龙卧雪、朱砂红霜、朱砂红霜,预计这三种菊花展示带来的日效益依次是 50 元 /米 2,30 元 /米 2,40 元 /米 2.为使预计日总效益最大, COD 的余弦值应等于 . 6课时作业(二十三)1.B 解析 在 ABC 中,由已知可得 ACB=45,由正弦定理得 = ,所以 AC=ACsin 60500sin 4
9、5=250 (m).故选 B.5003222 62.A 解析 依题意,在 ABC 中, AB=42 =14(海里), CAB=30, ACB=45,根据正弦2060定理得 = ,解得 BC=7 (海里) .故选 A.BCsin 30ABsin 45 23.D 解析 由题图可知, ACB=120,由余弦定理,得 AB2=AC2+BC2-2ACBCcos ACB=a2+a2-2aa - =3a2,解得 AB= a(km).故选 D.12 34.70 解析 设两船之间的距离为 dnmile,则 d2=502+302-25030cos120=4900,所以 d=70(nmile),即两船相距 70nm
10、ile.5.B 解析 设从岛屿 A 到岛屿 C 的速度为 v,从岛屿 A 到岛屿 B 需要 tmin,由正弦定理,得= ,得 t= =30 42(min) .故选 B.30vsin 30vtsin(180-30-105)30sin 45sin 3026.D 解析 在 BCD 中, CBD=180-15-30=135,由正弦定理得 = ,所BCsin 3030sin 135以 BC=15 (m).在直角三角形 ABC 中, AB=BCtan ACB=15 =15 (m).故选 D.2 2 3 67.B 解析 因为 AB=1000 = (km), ACB=45,在 ABC 中,由正弦定理得1605
11、03BC= sin30= (km),所以航线离山顶的高度 h= sin75= sin(45+30)ABsin 455032 5032 503211 .4(km).所以山顶的海拔高度为 18-11.4=6.6(km).故选 B.8.C 解析 由已知得 ACB=45, B=60,由正弦定理得 = ,所以 AC= =ACsinB ABsinACB ABsinBsinACB=10 (nmile),所以海轮航行的速度为 = (nmile/min).故选 C.20sin 60sin 456 10630 639.B 解析 依题意可知 AEC=45, ACE=180-60-15=105,所以 EAC=180-
12、45-105=30.由正弦定理可知 = ,所以 AC= =20 (m).所以在直角CEsinEACACsinCEA CEsinCEAsinEAC 3三角形 ABC 中, AB=ACsin ACB=20 =30(m).因为国歌时长为 50s,所以升旗速度为332=0.6(m/s).故选 B.3050710.10 解析 如图,设炮台的顶部为 A,底部为 O,两条小船分别为 M,N,且由炮台顶部3测得 M 的俯角为 60,由炮台顶部测得 N 的俯角为 45,则 AO=30m, AMO=60, ANO=45, MON=30,ON=AOtan45=30(m),OM=AOtan30= 30=10 (m),
13、在 MON33 3中,由余弦定理得 MN= = =10 (m).900+300-23010332 300 311.100 解析 依题意,在 ABC 中, AB=600m, BAC=30, ACB=75-30=45,由6正弦定理得 = ,即 = ,所以 BC=300 (m).在 BCD 中, CBD=30,BCsinBACABsinACB BCsin 30600sin 45 2CD=BCtan CBD=300 tan30=100 (m).2 612.解:在 ABC 中, AB=40nmile,AC=20nmile, BAC=120,由余弦定理得 BC2=AB2+AC2-2ABACcos120=2
14、800,得 BC=20 (nmile).由正弦定理,得 = ,所以7ABsinACBBCsinBACsin ACB= sin BAC= .由 BAC=120,知 ACB 为锐角,则 cos ACB= .由ABBC 217 277= ACB+30,得 cos= cos( ACB+30)=cos ACBcos30-sin ACBsin30= .211413.解:在 ABD 中,因为 BAD=90, ABD=45,所以 ADB=45,所以 AD=AB=80m,所以 BD=80 m.2在 ABC 中, ACB=180-105-30=45,由正弦定理得 = ,BCsin30ABsin45所以 BC= =
15、 =40 (m).ABsin30sin45801222 2在 DBC 中, DC2=DB2+BC2-2DBBCcos60=(80 )2+(40 )2-280 40 =9600.2 2 2 212所以 DC=40 (m),航模的速度 v= =2 (m/s).640620 6故航模的速度为 2 m/s.614.B 解析 记开始热带风暴中心的位置为点 A,t 小时后热带风暴中心到达 B 点位置,在 OAB 中, OA=600,AB=20t, OAB=45,根据余弦定理得 OB2=6002+400t2-260020t ,228令 OB2450 2,得 4t2-120 t+15750,解得 t ,所以该码头将受到热带2302-152 302+152风暴影响的时间为 - =15(h).302+152 302-15215. 解析 设 COD= 00,当 时, f( )0,所以当 f( )=0,即 cos= 时, f( )取得最 3 3 23 12大值,即预计日总效益最大,所以 COD 的余弦值等于 .12
