1、1导数的热点问题【2019 年高考考纲解读】利用导数探求函数的极值、最值是函数的基本问题，高考中常与函数零点、方程根及不等式相结合，难度较大【题型示例】题型一、利用导数证明不等式用导数证明不等式是导数的应用之一，可以间接考查用导数判定函数的单调性或求函数的最值，以及构造函数解题的能力例 1、(2018全国)已知函数 f(x) aexln x1.(1)设 x2 是 f(x)的极值点，求 a，并求 f(x)的单调区间；(2)证明：当 a 时， f(x)0.1e(1)解 f(x)的定义域为(0，)， f( x) aex .1x由题设知， f(2)0，所以 a .12e2从而 f(x) exln x1
2、， f( x) ex .12e2 12e2 1x当 02 时， f( x)0.所以 f(x)的单调递增区间为(2，)，单调递减区间为(0,2)(2)证明 当 a 时， f(x) ln x1.1e exe设 g(x) ln x1( x(0，)，则 g( x) .exe exe 1x当 01 时， g( x)0.所以 x1 是 g(x)的最小值点故当 x0 时， g(x) g(1)0.因此，当 a 时， f(x)0.1e【方法技巧】用导数证明不等式的方法(1)利用单调性：若 f(x)在 a， b上是增函数，则 x a， b，则 f(a) f(x) f(b)；对x1， x2 a， b，且 x11 时
3、，令 g( x)0 ，解得 x1 ， x2 .d2 13 d2 13可得 g(x)在(， x1)上单调递增，在 x1， x2上单调递减，在( x2，)上单调递增所以 g(x)的极大值为g(x1) g 6 0.( d2 13 ) 2 3 d2 19 3g(x)的极小值为g(x2) g 6 .(d2 13 ) 2 3 d2 19 3若 g(x2)0，则由 g(x)的单调性可知函数 y g(x)至多有两个零点，不合题意若 g(x2)27，也就是| d| ，此时| d|x2， g(|d|)| d|6 0，且2| d|0，k2又 f(x)在0，)上单调递增，所以 函数 f(x)在0，)上只有一个零点在区
4、间(，0)中，因为 f(x)( x1)e x x2x1 x2，k2 k2取 x 1(，0)，2k于是 f 1 2(2k 1)(2k 1) k2(2k 1) 0，k2又 f(x)在(，0)上单调递减，故 f(x)在( ，0)上也只有一个零点，所以函数 f(x)在定义域(，)上有两个零点；5当 k0 时， f(x)( x1)e x在单调递增区间0，)内，只有 f(1)0.而在区间(，0)内， f(x)0， f(x)在区间(16,96)内为增函数，所以 f(x)在 x16 处取得最小值，此时 n 15.9616答 需新建 5 个桥墩才能使余下工程的费用 y 最小6【感悟提升】利用导数解决生活中的优化
5、问题的一般步骤(1)建模：分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式 y f(x)(2)求导：求函数的导数 f( x)，解方程 f( x)0.(3)求最值：比较函数在区间端点和使 f( x)0 的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值(4)作答：回归实际问题作答 【变式探究】图 1 是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图 2 是凹槽的横截面(阴影部分)示意图，其中四边形 ABCD 是矩形，弧 CmD 是半圆，凹槽的横截面的周长为 4.若凹槽的强度 T 等于横截面的面积 S与边 AB 的乘积，设 AB2 x， BC y.(1)写出 y 关于 x 的函数表达式，并指出 x 的取值范围；(2)求当 x 取何值时，凹槽的强度最大解 (1)易知半圆 CmD 的半径为 x，故半圆 CmD 的弧长为 x.所以 42 x2 y x，得 y .4 2 x2依题意知 00， T 为关于 x 的增函数；169 12当 x 时， T 0， T 为关于 x 的减函数 ，169 12 44 7所以当 x 时凹槽的强度最大.169 12
