1、1第 3 讲 立体几何中的热点问题配套作业一、选择题1设 a， b， c 是三条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则 a b 的一个充分不必要条件是( )A a c， b c B ， a ， bC a ， b D a ， b 答案 D解析 对于 C，在平面 内存在 c b，因为 a ，所以 a c，故 a b；A，B 中，直线 a， b 可能是平行直线，相交直线，也可能是异面直线；D 中一定推出 a b.2如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中， P 为 BD1的中点，则 PAC 在该正方体各个面上的正投影可能是( )A B C D答案 B解析 由题可知平面 APC平面 ABCD，且点
2、 P 在各个面内的正投影均为正方形的中心根据对称性，只需考虑 PAC 在底面、后面、右面的正投影即可显然 PAC 在底面的正投影为正方形的对角线，在后面与右面的正投影相同，均为等腰直角三角形，故选 B.3如图，在正方形 ABCD 中， E， F 分别是 BC， CD 的中点， G 是 EF 的中点，现沿AE， AF 及 EF 把这个正方形折成一个空间图形，使 B， C， D 三点重合，重合后的点记为 H，那么，在这个空间图形中必有( )A AH平面 EFH B AG平面 EFHC HF平面 AEF D HG平面 AEF答案 A解析 由平面图形得 AH HE， AH HF，又 HE HF H，所
3、以 AH平面 EFH，故选 A.4如图所示，四面体 ABCD 的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形，起辅助作用)，则四面体 ABCD 的正视图、侧视图、俯视图是(用代表图形)( )2A BC D答案 B解析 正视图应为边长为 3 和 4 的长方形，且正视图中右上到左下的对角线应为实线，故正视图为；侧视图应为边长为 4 和 5 的长方形，且侧视图中左上到右下的对角线应为实线，故侧视图为；俯视图应为边长为 3 和 5 的长方形，且俯视图中左上到右下的对角线应为实线，故俯视图为，故选 B.5如图，在四边形 ABCD 中， AD BC， AD AB， BCD45， BAD90.将 ADB沿
4、BD 折起，使平面 ABD平面 BCD，构成三棱锥 A BCD，则在三棱锥 A BCD 中，下列命题正确的是( )A平面 ABD平面 ABCB平面 ADC平面 BDCC平面 ABC平面 BDCD平面 ADC平面 ABC答案 D解析 因为在四边形 ABCD 中， AD BC， AD AB， BCD45， BAD90，所以BD CD，又平面 ABD平面 BCD，且平面 ABD平面 BCD BD，所以 CD平面 ABD，则CD AB，又 AD AB，所以 AB平面 ADC，即平面 ABC平面 ADC，故选 D.6如图， E 是正方体 ABCD A1B1C1D1的棱 C1D1上的一点(不与端点重合)，
5、 BD1平面B1CE，则( )3A BD1 CEB AC1 BD1C D1E2 EC1D D1E EC1答案 D解析 设 B1C BC1 O，如图， BD1平面 B1CE，平面 BC1D1平面 B1CE OE，所以BD1 OE.因为 O 为 BC1的中点，所以 E 为 C1D1的中点，所以 D 正确；由异面直线的定义知BD1， CE 是异面直线，故 A 错；在矩形 ABC1D1中， AC1与 BD1不垂直，故 B 错，C 显然是错的，所以选 D.7(2018甘肃二诊)已知长方体 ABCD A1B1C1D1中， AA1 ， AB4，若在棱 AB 上3存在点 P，使得 D1P PC，则 AD 的取
6、值范围是( )A(0,1 B(0,2 C(1， D1,4)3答案 B解析 连接 DP，由 D1P PC， DD1 PC，且 D1P， DD1是平面 DD1P 上两条相交直线，得PC平面 DD1P， PC DP，即点 P 在以 CD 为直径的圆上，又点 P 在 AB 上，则 AB 与圆有公共点，即 0 AD CD2，故选 B.12二、填空题8(2017泉州模拟)点 P 在正方体 ABCD A1B1C1D1的面对角线 BC1上运动，给出下列命题：三棱锥 A D1PC 的体积不变； A1P平面 ACD1； DP BC1；平面 PDB1平面 ACD1.4其中正确的命题序号是_答案 解析 对于， VA
7、D1PC VP AD1C 点 P 到面 AD1C 的距离，即为线 BC1与面 AD1C 的距离，为定值，故正确；对于，因为面 A1C1B面 AD1C，所以线 A1P面 AD1C，故正确；对于， DB 与 BC1就成 60角，故错误；对于，由于 B1D面 ACD1，所以面B1DP面 ACD1，故正确9已知正方体 ABCD A1B1C1D1，点 P 是线段 AC1上的一动点，当 BPD 最大时，AP AC1_.答案 14解析 连接 AC， BD，交于点 O，连接 OP，显然 OP BD， BPD2 BPO，要使 BPD最大，只需 BPO 最大，只需 OP 最小，此时 OP AC1.由平面几何的知识
8、易得，当 OP AC1时， AP AC114.10(2018山西太原一模)已知在直角梯形 ABCD 中，AB AD， CD AD， AB2 AD2 CD2，将直角梯形 ABCD 沿 AC 折叠成三棱锥 D ABC，当三棱锥 D ABC 的体积取最大值时，其外接球的体积为_答案 43解析 依题意知，平面 ADC平面 ABC 时，点 D 到平面 ABC 的距离最大，易知，此时三棱锥 D ABC 外接球的球心是棱 AB 的中点，所以其外接球的体积为 .4311.如图，正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 3， E， F 分别是棱 BC， DD1上的点，且DF FD1，如果 B1E平面 ABF，
9、则 B1E 的长度为_答案 352解析 取 CC1的中点为 G，连接 BG， FG，因为 B1E AF，所以 B1E BG，从而 GBC BB1E.所以 tan GBC BB1E ，所以 E 为 BC 的中点，从而有 B1E .12 (32)2 32 352三、解答题12(2018北京西城一模)如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为正方形， PA底5面 ABCD， PA AC，过点 A 的平面与棱 PB， PC， PD 分别交于点 E， F， G(E， F， G 三点均不在棱的端点处)直线 AE 是否可能与平面 PCD 平行？证明你的结论解 直线 AE 与平面 PCD 不可能平行
10、证明如下：假设 AE平面 PCD.因为AB CD， AB平面 PCD，所以 AB平面 PCD.而 AE平面 PAB， AB平面 PAB， AE AB A，所以平面 PAB平面 PCD，这与已知矛盾，所以假设不成立，即 AE 与平面 PCD 不可能平行13如图 1，菱形 ABCD 的边长为 12， BAD60， AC 交 BD 于点 O.将菱形 ABCD 沿对角线 AC 折起，得到三棱锥 B ACD，如图 2 所示， M， N 分别是棱 BC， AD 的中点，且 DM6.2(1)求证： OD平面 ABC；(2)求三棱锥 M ABN 的体积解 (1)证明：四边形 ABCD 是菱形， AD DC，O
11、D AC，在 ADC 中， AD DC12， ADC120，则易得 OD6.连接 OM， M 是 BC 的中点， OM BC6，12又 MD6 ，2 OD2 OM2 MD2， DO OM， OM平面 ABC， AC平面 ABC， OM AC O， OD平面 ABC.(2)取线段 AO 的中点 E，连接 NE.6 N 是棱 AD 的中点， NE DO3，且 NE DO.12由(1)得 OD平面 ABC， NE平面 ABC，在 ABM 中， AB12， BM6， ABM120， S ABM ABBMsin ABM 126 18 .12 12 32 3 V 三棱锥 M ABN V 三棱锥 N ABM
12、 S ABMNE18 .13 314(2018北京东城区期末)已知 ABD 和 BCD 是两个直角三角形， BAD BDC， E， F 分别是边 AB， AD 的中点，现将 ABD 沿 BD 边折起到 A1BD 的位置，如图所示，使 2平面 A1BD平面 BCD.(1)求证： EF平面 BCD；(2)求证：平面 A1BC平面 A1CD；(3)问 A1C 与 BD 是否有可能垂直？做出判断并说明理由解 (1)证明：因为 E， F 分别是边 AB， AD 的中点，所以 EF BD，因为 EF平面 BCD， BD平面 BCD，所以 EF平面 BCD.(2)证明：因为平面 A1BD平面 BCD，平面 A1BD平面 BCD BD， CD BD，所以 CD平面 A1BD.因为 A1B平面 A1BD，所以 CD A1B，因为 A1B A1D， A1D CD D，所以 A1B平面 A1CD.因为 A1B平面 A1BC，所以平面 A1BC平面 A1CD.(3)A1C 与 BD 不可能垂直理由如下：假设 A1C BD，因为 CD BD， A1C CD C，所以 BD平面 A1CD，所以 BD A1D，与 A1B A1D 矛盾，故 A1C 与 BD 不可能垂直
