1、1导数的热点问题【2019 年高考考纲解读】导数还经常作为高考的压轴题，能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力估计以后对导数的考查力度不会减弱作为导数综合题，主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题，利用导数证明不等式等，常伴随对参数的讨论，这也是难点之所在. 【题型示例】题型一、利用导数证明不等式用导数证明不等式是导数的应用之一，可以间接考查用导数判定函数的单调性或求函数的最值，以及构造函数解题的能力例 1、已 知函数 f(x) ae2x aex xex(a0，e2.718，e 为自然对数的底数)，若 f(x)0 对于 xR恒成立(1)
2、求实数 a 的值；(2)证明： f(x)存在唯一极大值点 x0，且 f(x0)0， h(x)在(ln 2，)上为增函数，2 h(1)0，在(2，1)上存在 x x0满足 h(x0)0， h(x)在(，ln 2)上为减函数，当 x(， x0)时， h(x)0，即 f( x)0， f(x)在(， x0)上为增函数，当 x( x0，ln 2)时， h(x)h(0)0，即 f( x)0， f(x)在(0，)上为增函数， f(x)在(ln 2，)上只有一个极小值点 0，综上可知， f(x)存在唯一的极大值点 x0，且 x0(2，1) h(x0)0，2 0ex x020， f(x0) 02x x0 2 (
3、x01) ， x0(2，1)，(x0 22 ) (x0 22 ) x20 2x04当 x(2，1)时， 0)，1x ax 1x当 a0 时，则 f( x)0 时，则当 x 时， f( x)0， f(x)单调递增，(1a， )当 x 时， f( x)0 时， f(x)在 上单调递减，在 上单调递增(0，1a) (1a， )(2)证明 令 g(x) f(x)2 ax xeax1 xeax1 axln x，则 g( x)e ax1 axeax1 a1x( ax1) (x0)，(eax 11x) ax 1 xeax 1 1x设 r(x) xeax1 1( x0)，则 r( x)(1 ax)eax1 (
4、x0)，e ax1 0，当 x 时， r( x)0， r(x)单调递增；(0， 1a)当 x 时， r( x) 时， g( x)0，1a 1a g(x)在 上单调递减，在 上单调递增，(0， 1a) ( 1a， ) g(x)min g ，(1a)设 t ，1a (0， e2则 g h(t) ln t1(00， h(x)没有零点；()当 a0 时， h( x) ax(x2)e x.当 x(0,2)时， h( x)0.所以 h(x)在(0,2)上单调递减，在(2，)上单调递增故 h(2)1 是 h(x)在(0，)上的最小值4ae2若 h(2)0，即 a ，e24因为 h(0)1，所以 h(x)在(
5、0,2)上有一个零点；由(1)知，当 x0 时，e xx2，所以 h(4a)1 1 1 1 0，故 h(x)在(2,4 a)16a3e4a 16a3 e2a 2 16a3 2a 4 1a上有一个零点因此 h(x)在(0，)上有两个零点5综上，当 f(x)在(0，) 上只有一个零点时， a .e24【感悟提升】(1)函数 y f(x) k 的零点问题，可转化为函数 y f(x)和直线 y k 的交点问题(2)研究函数 y f(x)的值域，不仅要看最值，而且要观察随 x 值的变化 y 值的变化趋势【变式探究】设函数 f(x)e x2 aln( x a)， aR，e 为自然对数的底数(1)若 a0，
6、且函数 f(x)在区间0，)内单调递增，求实数 a 的取值范围；(2)若 0 a)，23 1x a记 h(x) f( x)，则 h( x)e x 0，1 x a 2知 f( x)在区间 内单调递增( a， )又 f(0)1 0，1a 1a 1 f( x)在区间 内存在唯一的零点 x0，( a， )即 f( x0) 0e 0，1x0 a于是 ， x0ln .1x0 a (x0 a)当 ax0时， f( x)0， f(x)单调递增 f(x)min f(x0) 0e2 aln (x0 a) 2 a x0 x0 a 3 a23 a，1x0 a 1x0 a当且仅当 x0 a1 时，取等号6由 00，23
7、 f(x)min f(x0)0，即函数 f(x)没有零点题型三 利用导数解决生活中的优化问题生活中的实际问题受某些主要变量的制约，解决生活中的优化问题就是把制约问题的主要变量找出来，建立目标问题即关于这个变量的函数，然后通过研究这个函数的性质，从而找到变量在什么情况下可以达到目标最优例 3、罗源滨海新城建一座桥，两端的桥墩 已建好，这两墩相距 m 米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为 32 万元，距离为 x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2)x 万元假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为 y 万x元(1)试写出 y 关
8、于 x 的函数关系式；(2)当 m96 米时，需新建多少个桥墩才能使余下工程的费用 y 最小？解 (1)设需新建 n 个桥墩，则( n1) x m，即 n 1.mx所以 y f(x)32 n( n1)(2 )xx32 (2 )x(mx 1) mx x m 2 m32(00， f(x)在区间(16,96)内为增函数，所以 f(x)在 x16 处取得最小值，此时 n 15.9616答 需新建 5 个桥墩才能使余下工程的费用 y 最小【感悟提升】利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)建模：分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式 y f(x)7(
9、2)求导：求函数的导数 f( x)，解方程 f( x)0.(3)求最值：比较函数在区间端点和使 f( x)0 的点的函数值的 大小，最大(小)者为最大(小)值(4)作答：回归实际问题作答【变式探究】图 1 是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图 2 是凹槽的横截面(阴影部分)示意图，其中四边形 ABCD 是矩形，弧 CmD 是半圆，凹槽的横截面的周长为 4.若凹槽的强度 T 等于横截面的面积 S 与边 AB 的乘积，设 AB2 x， BC y.(1)写出 y 关于 x 的函数表达式，并指出 x 的取值范围；(2)求当 x 取何 值时，凹槽的强度最大(2)依题意，得 T ABS2 x(2xy12 x2)8 x2(43) x3.令 T16 x3(43) x20，得 x0 或 x .169 12因为 00， T 为关于 x 的增函数；169 12当 x 时， T0， T 为关于 x 的减函数，169 12 44 所以当 x 时凹槽的强度最大.169 128
