1、1空间中的平行与垂直1若 m， n 是两条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面： m n， m n ； ， m ， n m n； ， m n， m n ；若 m， n， m n，则 .则以上说法中正确的个数为( )A1 B2 C3 D4答案 B解析 对于， m n， m n ，正确；对于，两平行平面内的两条直线可能是异面直线，故错误；对于， ， m n， m n ，正确；对于，若 m， n， m n，则 ，错误，如三棱柱的两个侧面都与第三个侧面相交，交线平行，但是这两个面相交故选 B.2如图， G， H， M， N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示 GH， MN 是异面直线的图形的
2、序号为( )A B C D答案 D解析 由题意可得图中 GH 与 MN 平行，不合题意；图中 GH 与 MN 异面，符合题意；图中 GH 与 MN 相交，不合题意；图中 GH 与 MN 异面，符合题意则表示 GH， MN 是异面直线的图形的序号为.3给出下列四个命题：如果平面 外一条直线 a 与平面 内一条直线 b 平行，那么 a ；2过空间一定点有且只有一条直线与已知平面垂直；如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线与这个平面垂直；若两个相交平面都垂直于第三个平面，则这两个平面的交线垂直于第三个平面其中真命题的个数为( )A1 B2 C3 D4答案 C4已知 m， n， l1，
3、 l2表示不同的直线， ， 表示不同的平面，若m ， n ， l1 ， l2 ， l1 l2 M，则 的一个充分条件是( )A m 且 l1 B m 且 n C m 且 n l2 D m l1且 n l2答案 D解析 对于选项 A，当 m 且 l1 时， ， 可能平行也可能相交，故 A 不是 的充分条件；对于选项 B，当 m 且 n 时，若 m n，则 ， 可能平行也可能相交，故 B 不是 的充分条件；对于选项 C，当 m 且 n l2时， ， 可能平行也可能相交，故 C 不是 的充分条件；对于选项 D，当 m l1， n l2时，由线面平行的判定定理可得 l1 ， l2 ，又 l1 l2 M
4、，由面面平行的判定定理可以得到 ，但 时， m l1且 n l2不一定成立，故 D 是 的一个充分条件故选 D.5如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1中，点 E， F 分别是棱 BC， CC1的中点， P 是侧面 BCC1B1内一点，若 A1P平面 AEF，则线段 A1P 长度的取值范围是( )3A. B.(3 24 ， 52) 3 24 ， 52C. D.1，52 0， 52答案 B解析 如图所示，分别取棱 BB1， B1C1的中点 M， N，连接 MN， BC1， NE， A1N， A1M， M， N， E， F 分别为所在棱的中点， MN BC1， EF BC1， M
5、N EF，又 MN平面 AEF， EF平面 AEF， MN平面 AEF. AA1 NE， AA1 NE，四边形 AENA1为平行四边形， A1N AE， 又 A1N平面 AEF， AE平面 AEF， A1N平面 AEF，又 A1N MN N， A1N， MN平面 A1MN，平面 A1MN平面 AEF. (2)求三棱锥 N PCE 的体积(1)证明 取 A1E 的中点 F，连接 MF， CF， M 为棱 A1D 的中点，4 MF DE 且 MF DE，在 ABC 中， D， E 分别为边 AB， AC 的中点，12 DE BC 且 DE BC，12 MF BC，即 MF NC，且 MF BC N
6、C，14四边形 MFCN 为平行四边形， MN FC， MN平面 A1EC， FC平面 A1EC， MN平面 A1EC.(2)解 取 BD 的中点 H，连接 PH，则 PH 为 A1BD 的中位线， PH A1D，在 ABC 中， AB BC， DE BC，在空间几何体中， DE DA1， A1D BD， DB DE D， DB， DE平面 BCED， A1D平面 BCED， PH A1D， PH平面 BCED， PH 为三棱锥 P NCE 的高， PH A1D AB1， S NCE NCBD 2 ，12 14 12 12 12 12 VN PCE VP NCE PHS NCE13 1 .13
7、 12 169已知正三棱柱 ABC A1B1C1的所有棱长都相等， M， N 分别为 B1C1， BB1的中点现有下列四个结论：p1： AC1 MN；p2： A1C C1N；p3： B1C平面 AMN；p4：异面直线 AB 与 MN 所成角的余弦值为 .24其中正确的结论是( )A p1， p2 B p2， p35C p2， p4 D p3， p4答案 C解析 正三棱柱 ABC A1B1C1的所有棱长都相等，M， N 分别为 B1C1， BB1的中点对于 p1：如图所示，MN BC1， BC1 AC1 C1， AC1与 MN 不平行，是异面直线， p1错误；对于 p2：如图所示，连接 AC1，
8、交 A1C 于点 O，连接 ON，易知 A1C AC1， ON平面 ACC1A1， ON A1C，又 ON AC1 O， ON， AC1平面 ONC1， A1C平面 ONC1，又 C1N平面 ONC1， A1C C1N， p2正确； 对于 p3：如图所示，取 BC 的中点 O，连接 AO， BC1，过点 O 作 OP BC1，交 CC1于点 P，连接 AP，则 AO平面 BCC1B1，又 B1C平面 BCC1B1， AO B1C，又 BC1 OP， BC1 B1C， B1C OP，又 AO OP O， AO， OP平面 AOP， B1C平面 AOP，又平面 AMN 与平面 AOP 有公共点 A
9、，6 B1C 与平面 AMN 不垂直， p3错误；对于 p4：如图所示，连接 BC1， AC1，则 MN BC1， ABC1是异面直线 AB 与 MN 所成的角，设 AB1，则 AC1 BC1 ，2cos ABC1 ， p4正确 2 2 12 2 22 21 24综上，其中正确的结论是 p2， p4.10.如图，多面体 ABCB1C1D 是由三棱柱 ABC A1B1C1截去一部分后而成， D 是 AA1的中点(1)若 F 在 CC1上，且 CC14 CF， E 为 AB 的中点，求证：直线 EF平面 C1DB1；(2)若 AD AC1， AD平面 ABC， BC AC，求点 C 到平面 B1C
10、1D 的距离(1)证明 方法一 取 AC 的中点 G， CC1的中点 H，连接 AH， GF， GE，如图所示 AD C1H 且 AD C1H，四边形 ADC1H 为平行四边形， AH C1D，又 F 是 CH 的中点， G 是 AC 的中点， GF AH， GF C1D，又 GF平面 C1DB1， C1D平面 C1DB1， GF平面 C1DB1，7又 G， E 分别是 AC， AB 的中点， GE BC B1C1，又 GE平面 C1DB1， B1C1平面 C1DB1， GE平面 C1DB1，又 GE GF G， GE平面 GEF， GF平面 GEF，平面 GEF平面 C1DB1，又 EF平面
11、 GEF， EF平面 C1DB1.方法二 取 B1D 的中点 M，连接 EM， MC1，则 EM 是梯形 ABB1D 的中位线， EM BB1 CC1 AD， EM (AD BB1)12 CC1，12(12CC1 CC1) 34又 C1F CC1 CF CC1，34 EM C1F 且 EM C1F，故四边形 EMC1F 为平行四边形， C1M EF，又 EF平面 C1DB1， C1M平面 C1DB1， EF平面 C1DB1.(2)解 AD平面 ABC， AC平面 ABC， AD AC，又 AD AC1， CC12 AD， AD CC1， C1D2 DC2 AC2 AD22 AD22， C1C2
12、4，故 CC CD2 C1D2，即 C1D CD，21又 BC AC， AD BC， AC AD A，AC， AD平面 ACC1D， BC平面 ACC1D，8又 CD平面 ACC1D， BC CD，又 B1C1 BC， B1C1 CD，又 DC1 B1C1 C1， DC1， B1C1平面 B1C1D， CD平面 B1C1D， 点 C 到平面 B1C1D 的距离为 CD 的长，即为 .211如图，矩形 AB DE(AE6， DE5)，被截去一角(即 BB C)， AB3， ABC135，平面 PAE平面 ABCDE， PA PE10.(1)求五棱锥 P ABCDE 的体积的最大值；(2)在(1)
13、的情况下，证明： BC PB.在平面 PAE 内， PA PE10 AE6， P 在以 A， E 为焦点，长轴长为 10 的椭圆上，由椭圆的几何性 质知，当点 P 为短轴端点时， P 到 AE 的距离最大，此时 PA PE5， OA OE3，所以 POmax4，所以( VP ABCDE)max SABCDEPOmax 284 .13 13 11239(2)证明 连接 OB，如图，由(1)知， OA AB3，故 OAB 是等腰直角三角形，所以 ABO45，所以 OBC ABC ABO1354590，即 BC BO.由于 PO平面 ABCDE， BC平面 ABCDE，所以 PO BC，又 PO B
14、O O， PO， BO平面 POB，所以 BC平面 POB，又 PB平面 POB，所以 BC PB.12. 如图(1)，在正 ABC 中， E， F 分别是 AB， AC 边上的点，且 BE AF2 CF.点 P 为边 BC 上的点，将AEF 沿 EF 折起到 A1EF 的位置，使平面 A1EF平面 BEFC，连接 A1B， A1P， EP，如图(2)所示(1)求证： A1E FP； (2)若 BP BE，点 K 为棱 A1F 的中点，则在平面 A1FP 上是否存在过点 K 的直线与平面 A1BE 平行，若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由(1)证明 在正 ABC 中，取 BE 的中点 D
15、，连接 DF，如图所示因为 BE AF2 CF， 所以 AF AD， AE DE，而 A60，所以 ADF 为正三角形又 AE DE，所以EF AD.所以在题图(2)中， A1E EF，10又 A1E平面 A1EF，平面 A1EF平面 BEFC，且平面 A1EF平面 BEFC EF，所以 A1E 平面 BEFC.因为 FP平面 BEFC，所以 A1E FP. (2)解 在平面 A1FP 上存在过点 K 的直线与平面 A1BE 平行理由如下：如题图(1)，在正 ABC 中，因为 BP BE， BE AF，所以 BP AF，所以 FP AB，所以 FP BE.如图所示，取 A1P 的中点 M，连接 MK，因为点 K 为棱 A1F 的中点，所以 MK FP.因为 FP BE，所以 MK BE.因为 MK平面 A1BE， BE平面 A1BE，所以 MK平面 A1BE.故在平面 A1FP 上存在过点 K 的直线 MK 与平面 A1BE 平行11
