1、1第 1 讲 用导数研究函数的基本问题A 组 小题提速练一、选择题1(2018石家庄模拟)已知函数 f(x)Error!，则 f(f(x)0 时是3 |x|3 |x| 63 |x|减函数，所以函数的图象如图所示，根据图象可知，函数 y的定义域可能为3,0，3,1，3,2，3,3，3 |x|3 |x|2,3，1，3，0,3，共 7 种，所以满足条件的整数对(a， b)共有 7 个故选 B.答案：B3已知函数 f(x) 的图象关于原点对称， g(x)ln(e x1) bx 是偶函数，则24x a2xlogab( )A1 B1C D.12 14解析：由题意得 f(0)0， a2. g(1) g(1)
2、，ln(e1) bln( 1)1e b， b ，log 2 1.故选 B.12 122答案：B4对定义在0,1上，并且同时满足以下两个条件的函数 f(x)称为 M 函数：()对任意的 x0,1，恒有 f(x)0；()当 x10， x20， x1 x21 时，总有 f(x1 x2) f(x1) f(x2)成立则下列 3 个函数中不是 M 函数的个数是( ) f(x) x2 f(x) x21 f(x)2 x1A0 B1C2 D3解析：在0,1上，3 个函数都满足 f(x)0.当 x10， x20， x1 x21 时：对于， f(x1 x2) f(x1) f(x2)( x1 x2)2( x x )2
3、 x1x20，满足；21 2对于， f(x1 x2) f(x1) f(x2)( x1 x2)21( x 1)( x 1)21 22 x1x210 恒成立设 a f(4)， b f(1)， c f(3)，则 a， b， c 的大小关系为( )A a0，故函数f(x)在(0，)上单调递增，故 f(4) f(4)f(3)f(1)，即 acb，故选 C.答案：C8(2018西安模拟)对于函数 y f(x)，部分 x 与 y 的对应关系如下表：x 1 2 3 4 5 6 7 8 9y 3 7 5 9 6 1 8 2 4数列 xn满足： x11，且对于任意 nN *，点( xn， xn1 )都在函数 y
4、f(x)的图象上，则x1 x2 x2 017( )A7 554 B7 540C7 561 D7 564解析：数列 xn满足 x11，且对任意 nN *，点( xn， xn1 )都在函数 y f(x)的图象上， xn1 f(xn)，由图表可得 x2 f(x1)3， x3 f(x2)5， x4 f(x3)6， x5 f(x4)1，数列 xn是周期为 4 的周期数列， x1 x2 x2 017504( x1 x2 x3 x4) x15041517 561.故选 C.答案：C9已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x4) f(x)，且在区间0,2上是增函数，则( )A f(25)0， f(1)
5、0)关于直线 y x 对称，且 f(2)2 f(1)，则 a( )4A0 B.13C. D123解析：依题意得，曲线 y f(x)即为 x( y)2 a(其中 y0，即 y0 时，( x k)f( x) x10，求 k 的最大值解析：(1) f(x)的定义域为(，)， f( x)e x a.若 a0，则 f( x)0，所以 f(x)在(，)上单调递增若 a0，则当 x(，ln a)时， f( x)0，所以， f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增(2)由于 a1，所以( x k)f( x) x1( x k)(ex1) x1.故当 x0 时，( x k)f( x) x10
6、 等价于 k0)x 1ex 1令 g(x) x，则 g( x) 1 .x 1ex 1 xex 1 ex 1 2 ex ex x 2 ex 1 2由(1)知，函数 h(x)e x x2 在(0，)上单调递增而 h(1)0，所以 h(x)在(0，)上存在唯一的零点故 g( x)在(0，)上存在唯一的零点设此零点为 ，则 (1,2)当 x(0， )时， g( x)0.所以 g(x)在(0，)上的最小值为 g( )又由 g( )0，可得 e 2，所以 g( ) 1(2,3)由于式等价于 k0，故 f(x)在(5，)内为增函数由此知函数 f(x)在 x5 时取得极小值 f(5)ln 5.3(2018山东
7、潍坊模拟)已知函数 f(x) bln x，曲线 y f(x)在点(1， f(1)处的切ax线方程为 y x.(1)求函数 f(x)的单调区间及极值；(2)若 x1， f(x) kx 恒成立，求 k 的取值范围解析：(1) f(x)的定义域为(0，)， f( x) ，bx ax2故 f(1) b a1，又 f(1) a，点(1， a)在直线 y x 上， a1，则 b2. f(x) 2ln x 且 f( x) ，1x 2x 1x2当 0 时， f( x)0.12 128故函数 f(x)的单调增区间为 ，单调减区间为 ，(12， ) (0， 12)f(x)极小值 f 22ln 2，无极大值(12)
8、(2)由题意知， k (x1)恒成立，f xx 2ln xx 1x2令 g(x) (x1)，2ln xx 1x2则 g( x) (x1)，2 2ln xx2 2x3 2 x xln x 1x3令 h(x) x xln x1( x1)，则 h( x)ln x(x1)，当 x1 时， h( x)0， h(x)在1，)上为减函数，故 h(x) h(1)0，故 g( x)0， g(x)在1，)上为减函数，故 g(x)的最大值为 g(1)1， k1.4(2018皖南八校联考)已知函数 f(x) ax2 xln x.(1)若 a1，求函数 f(x)的图象在(e， f(e)处的切线方程；(2)若 ae，证明
9、：方程 2|f(x)|3 x2ln x 无解解析：(1)依题意，知 f(e)e 2e， f( x)2 xln x1，故 f(e)2e2，故所求切线方程为 ye 2e(2e2)( xe)，即(2e2) x ye 2e0.(2)证明：依题意，有 2|ax2 xln x|3 x2ln x，即 2|ax2 xln x|2ln x3 x，亦即| axln x| .ln xx 32令 g(x) axln x，当 ae 时， g(x)e xln x，则 g( x) ，令 g( x)0，得 x ， ex 1x 1e令 g( x)0，得 x ，所以函数 g(x)在 上单调递增，(0，1e) (0， 1e)令 g
10、( x)0，得 x(0，e)，所以函数 h(x)在(0，e)上单调递增，令 h( x)h(x)，即 2|f(x)|3 x2ln x，所以方程 2|f(x)|3 x2ln x 无解5(2018福建四地六校联考)已知函数 f(x) x3 x22 x5.13 32(1)求函数 f(x)的图象在点(3， f(3)处的切线方程；(2)若曲线 y f(x)与 y2 x m 有三个不同的交点，求实数 m 的取值范围解析：(1) f(x) x3 x22 x5，13 32 f( x) x23 x2.易求得 f(3)2， f(3) .132 f(x)的图象在(3， f(3)处的切线方程是 y 2( x3)，132
11、即 4x2 y10.(2)令 f(x)2 x m，即 x3 x22 x52 x m，13 32得 x3 x25 m，13 32设 g(x) x3 x25，13 32曲线 y f(x)与直线 y2 x m 有三个不同的交点，曲线 y g(x)与直线 y m 有三个不同的交点，易得 g( x) x23 x，令 g( x)0，解得 x0 或 x3，当 x3 时， g( x)0，当 0x3 时， g( x)0，10 g(x)在(，0)，(3，)上单调递增，在(0,3)上单调递减，又 g(0)5， g(3) ，12即 g(x)极大值 5， g(x)极小值 ，12可画出如图所示的函数 g(x)的大致图象实数 m 的取值范围为 m5.12
