1、- 1 -上海市松江区 2018 届高三期末质量监控（一模）数学试卷一. 填空题（本大题共 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，共 54 分）1.设集合 ， ，则 _【答案】【解析】【分析】化简集合 B，根据交集的定义写出 A B【详解】集合 A=x|x1， B=x|x（ x3）0= x|0 x3，则 A B=x|1 x3故答案为 【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、分式不等式求解等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2.若复数 满足 ，则 _【答案】1【解析】因为 ，所以 ，所以 .3.已知函数 的图像与函数 的图像关于直线 对称，且点 在函数 的图像上，则实数 _
2、【答案】2【解析】【分析】由题意可知函数 y=f（ x）与函数 y=ax（ a0 且 a1）互为反函数，求出 y=ax的反函数，再将（4，2）代入可得答案【详解】函数 y=f（ x）的图象与函数 y=ax（ a0 且 a1）的图象关于直线 y=x 对称，函数 y=f（ x）与函数 y=ax（ a0 且 a1）互为反函数，由 y=ax（ a0 且 a1） ，得 x=logay，则 f（ x）=log ax，- 2 -点 P（4，2）在函数 y=f（ x）的图象上由 f（4）=2，得 loga4=2，解得： a=2故答案为 2【点睛】本题考查了反函数的求法，考查了互为反函数的两个函数图象间的关系，
3、是基础题.4.等差数列 an的前 10 项和为 30，则 _【答案】12【解析】【分析】利用等差数列的前 n 项和公式即可得到 a1+a10=6由等差数列的性质可得 a1+a10=a4+a7，进而可得答案【详解】等差数列 an的前 10 项和为 30， ，解得 a1+a10=6由等差数列的性质可得 a1+a10=a4+a7， a1+a4+a7+a10=2（ a1+a10）=26=12 a1+a4+a7+a10=12故答案为 12【点睛】熟练掌握等差数列的前 n 项和公式、等差数列的性质是解题的关键5.若增广矩阵为 的线性方程组无解，则实数 的值为_【答案】-1【解析】【分析】根据增广矩阵是 ，
4、该方程组无解，可得 且 ，从而可求实数 m 的值【详解】增广矩阵是 ，该方程组无解， 且 ， m21=0 且 2m m（ m+1）0，- 3 - m=1故答案为：1【点睛】本题考查增广矩阵中的运算考查行列式，解答的关键是二元线性方程组的增广矩阵的意义6.双曲线 的焦点到它的渐近线的距离为_；【答案】1【解析】试题分析：由双曲线方程可知 ，则 ，即 ，所以焦点为 ，渐近线为 。所以焦点到渐近线的距离为 。考点：1 双曲线的基本性质；2 点到线的距离。7.平面向量 ， ，满足 ， ， ，则向量 与 夹角为_【答案】【解析】设向量 与 夹角为 .解得 ，所以 .故答案为为： .8.在 中,内角 所对
5、应的边分别为 ，若 ， ，则 的面积为_.【答案】【解析】分析：由 ， ，利用余弦定理可得 ，结合三角形的面积公式进行求解即可.- 4 -详解：因为 ， ，所以由余弦定理得：，即 ，因此 的面积为 ，故答案为 .点睛：本题主要考查余弦定理及特殊角的三角函数，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1） ；（2） ，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住 等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.9.若 ，则 图像上关于原点 对称的点共有_对【答案】4【解析】【分析】要求函数图象上关于坐标原点对称，则有 f（ x）= f（ x） ，转化为方
6、程根的个数，再用数形结合法求解【详解】当 x 0 时，函数 f（ x）= ，又因为 f（ x）= 为奇函数，关于原点对称的图象仍为 y=sinx， x0，由题意 图像上关于原点 对称的点的个数转化为 y=sinx 与 y= 在 上的交点个数问题，作出函数的图象如图：当 x=11 时， y= =1，而 y=sin3=0，由图象可知两个图象的交点有 4 个，故答案为：4- 5 -【点睛】本题主要通过分段函数来考查函数奇偶性的应用，同时还考查了作图和数形结合的能力10.已知 、 、 是单位圆上三个互不相同的点，若 ，则 的最小值是_【答案】【解析】【分析】由题意可得，点 A 在 BC 的垂直平分线上
7、，不妨设单位圆的圆心为 O（0，0） ，点 A（0，1） ，点 B（ x1， y1） ，则点 C（ x1， y1） ， 1，且1 y11根据 2 2y1，再利用二次函数的性质求得它的最小值【详解】由题意可得，点 A 在 BC 的垂直平分线上，以单位圆的圆心为原点建立如图坐标系，则单位圆的圆心为 O（0，0） ，点 A（0，1） ，点 B（ x1， y1） ，则点 C（ x1， y1） ，1 y11 （ x1， y11） ， （ x1， y11） ， 1 2y1+1=（1 ） 2y1+1=2 2y1，当 y1 时， 取得最小值为 ，故选： C- 6 -【点睛】本题主要考查两个向量的数量积公式，考
8、查了二次函数的性质与最值，属于中档题11.已知向量 ， 是平面 内的一组基向量， 为 内的定点，对于 内任意一点 ，当时，则称有序实数对 为点 的广义坐标，若点 、 的广义坐标分别为 、，对于下列命题： 线段 、 的中点的广义坐标为 ； A、 两点间的距离为 ； 向量 平行于向量 的充要条件是 ； 向量 垂直于向量 的充要条件是 .其中的真命题是_（请写出所有真命题的序号）【答案】【解析】【分析】根据点 、 的广义坐标分别为 、 ， ， ，利用向量的运算公式分别计算，得出结论.【详解】 点 、 的广义坐标分别为 、 ， ， ，对于，线段 、 的中点设为 M，根据 = （ ）=中点的广义坐标为
9、,故正确.- 7 -对于， （ x2 x1） ，A、 两点间的距离为 ，故不一定正确.对于，向量 平行于向量 ，则 ，即（ ）=t , ，故正确.对于，向量 垂直于向量 ，则 =0， ，故不一定正确.故答案为.【点睛】本题在新情境下考查了数量积运算性质、数量积定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12.已知函数 的定义域为 ，且 和 对任意的 都成立，若当 时， 的值域为 ，则当 时，函数 的值域为_【答案】【解析】【分析】由条件可知，可得 ，通过换元令 ，得到 ，得到 时，从而得到当 时， 的值域为 ，再根据递推关系推出当 时的值域及 时的值域，依此类推可知，当 时， 的值域为 ，从而求
10、得当 时， 的值域，再根据 ，求得 时的值域，取并集即可.【详解】解：令 ，则有 ，即当 时， ，又 ，即当 时， 的值域为当 时， 的值域为 ，- 8 -当 时， 的值域为 ， 时， 的值域为 ，依此类推可知，当 时， 的值域为 ，当 时， 的值域为又 ，当 时， ，综上，当 时，函数 的值域为 .【点睛】本题考查利用换元法推导函数满足的恒等式、通过仿写得到函数的值域的方法，考查了运用递推与归纳的方法，属于较难题.二. 选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分）13.过点 且与直线 垂直的直线方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据两直线垂直的性质求得所
11、求直线的斜率等于-2，再由所求直线过点（0，1） ，利用点斜式求得所求直线的方程，并化为一般式【详解】直线 的斜率等于 ，故所求直线的斜率等于 2，再由所求直线过点（0，1） ，利用点斜式求得所求直线的方程为 y1 （ x0） ，即 2x+y-1=0，故选：A【点睛】本题主要考查两直线垂直的性质，两直线垂直斜率之积等于1，用点斜式求直线方程，属于基础题14.若 ， ，则 是 的（ ）条件A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要【答案】B【解析】【分析】由 a0， b0， x a 且 y b，可得： x+y a+b，且 xy ab反之不成立，例如- 9 -x b，
12、y a【详解】由 a0， b0， x a 且 y b，由不等式的性质可得： x+y a+b，且 xy ab反之不成立，例如还可以得到 x b， y a因此 是 的必要不充分条件故选：B【点睛】本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题15.将函数 的图像向下平移 个单位，得到 的图像，若 ，其中 ，则 的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用函数 y=Asin（ x+）的图象变换规律求得 g（ x）的解析式，再利用正弦函数的图象和性质求得 x1的最大值和 x2的最小值，可得 的最大值【详解】将函数 f（ x）=2 的图象向下平
13、移 1 个单位，得到 g（ x）=2 1 的图象，g（ x）若 g（ x1） g（ x2）=9，则 g（ x1）= g（ x2）=3，则 sin（3 x1 ）=1=sin（3 x2 ） ， x1， x20，4，3 x1 ， ，3 x2 ， ，3x2 的最小值为 ，3 x1 的最大值为 ，故 x1的最大值为 ， x2的最小值为 ，- 10 -则 的最大值为 ，故答案为：9【点睛】本题主要考查函数 y=Asin（ x+）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题16.对于平面上点 和曲线 ，任取 上一点 ，若线段 的长度存在最小值，则称该值为点到曲线 的距离，记作 ，若曲线 是边长为 的等边
14、三角形，则点集 所表示的图形的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】画出点集 S=P|d（ P， l）1所表示图形，分别求出各部分图形的面积，作和得答案.【详解】点集 S=P|d（ P， l）1所表示图形如图中的阴影部分所示：其中三个顶点处的扇形正好是一个半径为 1 的圆，其面积为 ，等边三角形 ABC 外的三个矩形面积为 6 ，等边三角形 ABC 内的部分面积为 - =18-故面积和为 ，故选 D.【点睛】本题考查曲线与方程，考查数形结合的解题思想方法，关键是对题意的理解，是中档题三. 解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分）- 11 -
15、17.已知向量 ， .（1）若 ，求 的值；（2）若 ，求函数 的最小正周期及当 时的最大值.【答案】 （1） （2）最小正周期为 ，最大值为 【解析】【分析】（1）由 得 ，再根据二倍角的正切公式直接求解.（2）根据平面向量的数量积以及三角函数的恒等变换，化简 f（ x）即可求出 T，再根据三角函数的图象与性质，求出 x0， 时 f（ x）的最大值以及对应 x 的值【详解】解：（1）由 得, ， （2） 函数 的最小正周期为 当 时，当 ，即 时， .【点睛】本题考查了共线向量的坐标运算，平面向量的数量积和三角函数的恒等变换以及三角函数的图象与性质的应用问题，是综合性题目18.已知函数 （常
16、数 ）（1）讨论函数 的奇偶性，并说明理由；（2）当 为奇函数时，若对任意的 ，都有 成立，求 的最大值.【答案】 （1）详见解析（2） - 12 -【解析】【分析】（1）根据定义在 R 上奇函数图象必过原点，将（0，0）代入可求出 a=1，再用定义证明 a=1时 为奇函数当 时，通过 说明 不可能是偶函数.（2）将条件转化可得： 恒成立， 记 ，由 得，进而求得 在 上的最小值即可 .【详解】解：（1）若 为奇函数，必有 ,得 ， 当 时， ，当且仅当 时， 为奇函数 又 ， ，对任意实数 ，都有 不可能是偶函数 （2）由条件可得： 恒成立， 记 ，则由 得 ， 此时函数 在 上单调递增，
17、所以 的最小值是 ， 所以 ，即 的最大值是 .【点睛】本题考查的知识点是函数奇偶性的判断，函数单调性的应用及求最值，熟练将函数中的恒成立转化为求最值是解答的关键19.某科技创新公司投资 万元研发了一款网络产品，产品上线第 1 个月的收入为 40 万元，预计在今后若干个月内，该产品每月的收入平均比上一月增长 ，同时，该产品第 1 个月的维护费支出为 万元，以后每月的维护费支出平均比上一个月增加 50 万元.（1）分别求出第 6 个月该产品的收入和维护费支出，并判断第 6 个月该产品的收入是否足够支付第 6 个月的维护费支出？（2）从第几个月起，该产品的总收入首次超过总支出？（总支出包括维护费支
18、出和研发投资支出）- 13 -【答案】 （1）收入约为 303.75 万元，维护费为 350 万元（2）第 10 月【解析】【分析】（）根据题意可知月收入依次成首项为 40 万元，公比为 的等比数列，每月的维护费支出依次成首项为 100 万元，公差为 50 的等差数列进而利用等差与等比数列的通项公式求得an和 bn，代入 n=6 可得结果.（）设经过 n 个月的总收入为 Sn万元，总支出为 Tn万元，进而根据等比数列及等差数列的求和公式分别求得 Sn和 Tn进而根据 ，即 ，求得 n 的范围【详解】解：记产品从第一个月起，每个月的收入为数列 ，每个月的维护费支出为数列，则 ， ，(1) 第 6
19、 个月的收入为： 万元，第 6 个月的维护费为： 万元，第 6 个月的收入还不足以支付第 6 个月的维护费 .(2)到第 个月，该产品的总收入为 该产品的总支出为 由题意知，只需 ，即 ，由计算器解得满足上述不等式的最小正整数 n=10. 从第 10 个月起，该产品的总收入首次超过总支出.【点睛】本题主要考查了数列的实际应用，涉及了等差、等比数列的通项公式，求和公式综合性很强20.已知曲线 T 上的任意一点到两定点 的距离之和为 ，直线 l 交曲线 T于 A、B 两点， 为坐标原点.（1）求曲线 的方程；- 14 -（2）若 不过点 且不平行于坐标轴，记线段 AB 的中点为 M，求证：直线 的
20、斜率与 l 的斜率的乘积为定值；（3）若 OA OB，求 面积的取值范围.【答案】 （1） （2）证明过程详见解析（3） 【解析】【分析】（1）利用椭圆的定义可知曲线为 的椭圆，直接写出椭圆的方程（2）设直线 l：y=kx+b， （k0，b0） ，A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ， ，联立直线方程与椭圆方程，通过韦达定理求解 KOM，然后推出直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值（3）当直线 OA， OB 分别与坐标轴重合时， AOB 的面积 ，当直线 OA， OB 的斜率均存在且不为零时，设 OA： y kx， OB： y ，将 y kx 代入椭圆 C，得到 A 点坐标，
21、同理得到 B 点坐标，由 利用换元法结合已知条件能求出 AOB 的面积的取值范围【详解】解：（1）由题意知曲线 是以原点为中心，长轴在 轴上的椭圆， 设其标准方程为 ，则有 ，所以 ， .（2）证明：设直线 的方程为 ，设则由 可得 ，即 ， ，- 15 -，直线 的斜率与 的斜率的乘积= 为定值 （3）当直线 、 分别与坐标轴重合时，易知 的面积 ，当直线 、 的斜率均存在且不为零时，设直线 、 的方程为： ， 点，由 可得 ， ，代入 得 ，同理可得 ， 令 ， ，则 由 知 ，综上可知， .【点睛】本题考查椭圆定义及方程、韦达定理的应用及三角形面积的范围等问题，考查推理论证能力、运算求解
22、能力，考查化归与转化思想，函数与方程思想，是中档题21.对于给定数列 ，若数列 满足：对任意 ，都有 ，则称数列 是数列 的“相伴数列”.（1）若 ，且数列 是数列 的“相伴数列” ，试写出 的一个通项公式，并说明理由；（2）设 ，证明：不存在等差数列 ，使得数列 是数列 的“相伴数列” ；- 16 -（3）设 , （其中 ） ，若 是数列 的“相伴数列” ，试分析实数b、q 的取值应满足的条件.【答案】详见解析【解析】【分析】（1）设 ，代入 ，运算得到小于 0，利用“相伴数列”定义即可判断出；（2）假设存在等差数列 是 的“相伴数列” ，则有 分别讨论 与 时 与的大小，根据 是等差数列推
23、出矛盾 所以，不存在等差数列 ，使得数列 是 的“相伴数列”.（3）对 b 的大小进行分类讨论，写出 的前后连续两项，根据得出 b、q 的取值满足的条件【详解】解：（1） ， 此时 ,所以 是数列 的“相伴数列” 注：答案不唯一， 只需是正负相间的数列（2）证明，假设存在等差数列 是 的“相伴数列” ，则有 若 ，则由 得 ， 又由 得 又因为 是等差数列，所以 ，得 ，与矛盾 同理，当 ，则由 得 ，又由 得 ,又因为 是等差数列，所以 ，得 ，与矛盾，所以，不存在等差数列 ，使得数列 是 的“相伴数列”. - 17 -（3）由于 ，易知 且 ， 当 时， ，由于对任意 ，都有 ，故只需 ， 由于 ，所以当 n=2k,k 时， ， 故只需当 n=2k+1,k 时， = ，即 b 对 k 恒成立，得 ； 当-1 时， , ,下证只需 bq2,若 bq2，则 q ，当 n=2k+1,k 时， ， 当 n=2k,k 时， ，符合题意 综上所述，实数 的取值应满足的条件为：或 .【点睛】本题考查了新定义“相伴数列” ，涉及到等差数列与等比数列的通项公式，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于难题- 18 -
