1、,第四章 三角形,知识点一 三角形的有关概念 1.三角形的概念:由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的 图形叫做三角形. 2.三角形的基本要素:组成三角形的三条线段叫做三角形的边;相邻两 边的公共端点叫做三角形的顶点;相邻两边夹的角叫做三角形的内角. 3.三角形的符号表示:三角形用符号“”表示,顶点是A、B、C的三角 形记作“ABC”,读作“三角形ABC”. 一般地,ABC的三边用a、b、c表示时,A所对的边BC用a表示;B所 对的边AC用b表示;C所对的边AB用c表示. 4.有两边相等的三角形叫做等腰三角形.三边都相等的三角形是等边三角形.,例1 如图4-1-1所示,图中共有多少个三
2、角形?请把它们分别表示出来.图4-1-1,分析 因为所有三角形都有一条边在BC上,所以要数清三角形的个数, 其实只要数清线段BC上共有多少条线段就行了.,解析 共有6个三角形,分别是ABD、ABE、ABC、ADE、 ADC、AEC.,知识点二 三角形三个内角之间的关系 1.三角形内角和定理:三角形三个内角的和等于180. 2.三角形内角和定理的应用:在三角形中,已知任意两个内角的度数可 以求出第三个内角的度数;已知三角形三个内角的关系,可以求出各 个内角的度数;求一个三角形中各角之间的关系. 3.三角形按角分类:,温馨提示 按内角的大小判断一个三角形的形状时主要看三角形中最 大内角的度数,若最
3、大内角为锐角,则该三角形为锐角三角形;若最大内 角为直角,则该三角形为直角三角形;若最大内角为钝角,则该三角形为 钝角三角形. 4.表示方法:通常我们用“RtABC”表示“直角三角形ABC”.直角所对的边叫做直角三角形的斜边,夹直角的两条边叫做直角边.如图4-1-2所示.,图4-1-2 性质:直角三角形的两个锐角互余.如在RtABC中,C=90,则A+B=90.,例2 根据下列所给条件,判断ABC的形状. (1)A=45,B=65,C=70; (2)C=110; (3)C=90; (4)AB=BC=3,AC=4.,分析 根据三角形的分类标准进行判断.若已知的是角,则按角的分类 标准去判断.若已
4、知的是边,则按边的分类标准去判断.,解析 (1)因为A=45,B=65,C=70, 所以A90, 所以ABC是钝角三角形. (3)因为C=90, 所以ABC是直角三角形. (4)因为AB=BC=3,AC=4, 所以ABC是等腰三角形.,知识点三 三角形的三边关系,例3 (2017江苏扬州中考)若一个三角形的两边长分别为2和4,则该三 角形的周长可能是 ( ) A.6 B.7 C.11 D.12,解析 设第三边的长为x,三角形两边的长分别是2和4,4-2x2+4, 即2x6.则三角形的周长C满足8C12,C选项符合题意,故选C.,答案 C,知识点四 三角形的高、中线和角平分线,例4 (2018浙
5、江湖州吴兴期中)如图4-1-3,在ABC中,1=2,G为AD的中点,延长BG交AC于E.F为AB上一点,CFAD于H,下面判断正确的有 ( ) AD是ABE的角平分线; BE是ABD的边AD上的中线; CH是ACD的边AD上的高; AH是ACF的角平分线和高.,图4-1-3 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个,解析 根据三角形的角平分线的概念知AG是ABE的角平分线,故 错误;根据三角形的中线的概念知BG是ABD的边AD上的中线,故 错误;根据三角形的高的概念知CH为ACD的边AD上的高,故 正确;根据三角形的角平分线和高的概念知AH是ACF的角平分线 和高线,故正确.故选B.,答案 B,
6、题型一 三角形三边关系的实际应用 例1 如图4-1-4所示,在小河的同侧有A,B,C三个村庄,图中的线段表示 道路,某邮递员从A村送信到B村,总是走经过C村的道路,不走经过D村 的道路,这是为什么呢? 请你利用你所学的数学知识说明理由.,图4-1-4,解析 如图4-1-5,延长AC交BD于点E, 由三角形的三边关系可知, 在ADE中,AD+DEAC+CE. 在CBE中,CE+BEBC. 由和得AD+DE+BE+CEAC+BC+CE. 所以AD+BDAC+BC.,图4-1-5,点拨 (1)实际问题首先需要抽象为几何模型,为此,视村庄为点,道路为 线,路程的长短用线段和的不等关系表示. (2)解决
7、几条线段间的不等关系,应利用三角形的三边关系,为此,连接 AB,得BD+DAAB,CA+CBAB,但仍无法得出结论,故可考虑构造另外的 三角形,找到所要说明的线段之间的关系.,例2 如图4-1-6所示,在ABC中,已知点D、E、F分别为BC、AD、CE 的中点,且ABC的面积是4 cm2,则阴影部分的面积等于 ( )图4-1-6 A.2 cm2 B.1 cm2 C.0.25 cm2 D.0.5 cm2,题型二 三角形的中线与面积,解析 点F是CE的中点, BF是BCE的中线, SBEF= SBEC, 同理得SBDE= SABD,SEDC= SADC, SEBC= SABC, SBEF= SAB
8、C, 又SABC=4 cm2, SBEF=1 cm2,即阴影部分的面积为1 cm2.,答案 B,点拨 三角形的中线将三角形分成两个面积相等的小三角形.,易错点 对三角形高的概念掌握得不好 例 已知在钝角ABC中,A为钝角,作出ABC的高BD.,错解 如图4-1-7.图4-1-7,错因分析 没有弄清楚三角形的高的概念.,正解 如图4-1-8.,图4-1-8,知识点一 三角形的有关概念 1.下列4个图形都是由三条线段组成的图形,其中是三角形的是 ( ),答案 C 按三角形的定义进行判断.观察每一个选项中的图形,只有C 中的图形是三角形.,2.图4-1-1中有几个三角形?将它们分别表示出来,并指出它
9、们的顶点和边.图4-1-1,解析 题图中有3个三角形,可分别表示为ABC、ABE、AEC. ABC的顶点是A、B、C,边是AB、BC、CA; ABE的顶点是A、B、E,边是AB、BE、AE; AEC的顶点是A、E、C,边是AE、EC、AC. 知识点二 三角形三个内角之间的关系,3.(2017广西南宁中考)如图4-1-2,ABC中,A=60,B=40,则C等 于 ( )图4-1-2 A.100 B.80 C.60 D.40,答案 B 由三角形内角和定理得,C=180-A-B=80,故选B.,4.(2017四川巴中中考)若一个三角形三个内角的度数之比为123,则 这个三角形是 ( ) A.锐角三角
10、形 B.等边三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形,答案 D 设三个内角的度数分别为x,2x,3x,根据三角形内角和定理得x +2x+3x=180,解得x=30,三个内角的度数分别为30,60,90,则这个 三角形为直角三角形,故选D. 知识点三 三角形三边的关系,5.(2017江苏淮安中考)若一个三角形的两边长分别为5和8,则第三边长 可能是 ( ) A.14 B.10 C.3 D.2,答案 B 设第三边长为x,则8-5x5+8,即3x13,选项中符合条件的 是10,故选B.,6.以下面各组长度的线段为边,能组成等腰三角形的是 ( ) A.2、2、4 B.3、4、5 C.4、5、5 D.6、
11、6、20,答案 C A.2+2=4,不能构成三角形;B.3+45,能构成三角形,但不是等腰三角形;C.4+55,能构成三角形,且是等腰三角形;D.6+620,不能构成三角形.,知识点四 三角形的高、中线和角平分线 7.如图4-1-3,在ABC中,C=90,D,E是AC上两点,且AE=DE,BD平分 EBC,则下列说法中不正确的是 ( ),图4-1-3,A.BE是ABD的中线 B.BD是BCE的角平分线 C.1=2=3 D.BC是ABE的高,答案 C 在ABD中,AE=DE,说明点E是ABD的边AD的中点,所以 BE是ABD的中线,故A中说法正确.在BCE中,EBC是BCE的一个 内角,又BD平
12、分EBC交EC于点D,所以BD是BCE的角平分线,故B中 说法正确.由条件只能得到BE是ABD的中线,而不能得到BE是ABD 的角平分线,所以不能得到1=2,故C中说法错误.由C=90得BC垂 直于AE,交AE的延长线于点C,在ABE中,AE是一边,所以BC是ABE 的高,故D中说法正确.故选C.,8.如图4-1-4所示,AD是ABC中BC边上的中线,DE是ADC中AC边上 的中线,若ABC的面积为4,则DEC的面积为 .图4-1-4,答案 1,解析 AD是ABC的中线,SABD=SACD= SABC=2.同理,SDEC= SACD = 2=1.,1.如图,A=35,B=C=80,则D的度数是
13、 ( )A.35 B.55 C.65 D.75,答案 A AOB=COD,A+B+AOB=180, COD=AOB=180-35-80=65, 又C+D+COD=180,D=180-80-65=35.,2.适合下列条件的ABC中,直角三角形的个数是 ( ) ABC=123;A+B=C; A=90-B;A=B=2C. A.1 B.2 C.3 D.4,答案 C 设A=x,B=2x,C=3x,则x+2x+3x=180,x=30,C =3x=90. A+B+C=180,A+B=C,2C=180,C=90. A=90-B,A+B=90.C=180-(A+B)=90. 由A+B+C=180,A=B=2C,
14、得2C+2C+C=180, C=36,A=B=72.故选C.,3.(2016江苏海安二模)若三角形的三边长分别为3,4,x,则x的值可能是 ( ) A.1 B.6 C.7 D.10,答案 B 4-3=1,4+3=7,1x7,x的值可能是6.故选B.,4.(2016云南楚雄北浦中学中考模拟)如图,ABC的BC边上的高、 BCE的BE边上的高、ACD的AC边上的高分别是 ( )A.AF、CD、CE B.AF、CE、CD C.AC、CE、CD D.AC、CD、CE,答案 B ABC的BC边上的高是AF;BCE的BE边上的高是CE; ACD的AC边上的高是CD,故选B.,5.如图,AD是ABC的中线,
15、ABAC,AB=8 cm,ABD与ACD的周长差 为2 cm,则AC= cm.,答案 6,解析 ABD的周长=AB+BD+AD,ACD的周长=AC+AD+DC.AB AC,AD是ABC的中线,ABD的周长-ACD的周长=AB-AC=2 cm, AB=8 cm,AC=8-2=6 cm.,1.已知三角形的两边长分别是2 cm、3 cm,则该三角形的周长l的取值范 围是 ( ) A.1 cml5 cm B.2 cml6 cm C.5 cml9 cm D.6 cml10 cm,答案 D 设三角形第三边的长为x cm,则l=2+3+x=(5+x)cm. 3-2x2+3,1x5,6 cml10 cm.故选
16、D.,2.如图4-1-5,将纸片ABC沿着DE折叠压平,则 ( )图4-1-5 A.A=1+2 B.A= (1+2) C.A= (1+2) D.A= (1+2),答案 B B+C=AED+ADE=180-A,又B+C+1+ AED+ADE+2=360,得2(180-A)+1+2=360,化简得 A= （1+2).,3.在ABC中,高BD和CE所在直线相交于O点,若ABC不是直角三角 形,且A=60,则BOC= .,答案 120或60,解析 当ABC为锐角三角形时,BOC=120;当ABC为钝角三角形 时,BOC=60.,4.如图4-1-6,已知AD是ABC的角平分线,CE是ABC的高,BAC=
17、60, BCE=40.求ADB的度数.图4-1-6,解析 因为AD是ABC的角平分线,BAC=60, 所以DAC=BAD=30. 因为CE是ABC的高,BCE=40,所以B=50. 所以ADB=180-B-BAD=180-50-30=100.,5.如图4-1-7,已知AD,BE分别是ABC中BC,AC边上的高,BC=5,AC=4, AD=3,求BE的长.图4-1-7,解析 根据面积公式得 BCAD= ACBE, 即 53= 4BE,所以BE=3.75.,1.已知a,b,c是ABC的三边长,且(a+b+c)(a-b)=0,则ABC一定是 ( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D
18、.以上答案都不对,答案 A a,b,c是ABC的三边长,a+b+c0, (a+b+c)(a-b)=0,a-b=0,a=b,ABC是等腰三角形.,2.将一副直角三角板按图所示的方式放置,使含30角的三角板的较短 直角边和含45角的三角板的一条直角边重合,则1的度数为 ( )A.75 B.60 C.45 D.30,答案 A 如图.2+3=90+90=180,CBDF, 4=F=30. 又B=45,4+5+B=180, 5=180-30-45=105. 又1+5=180, 1=180-105=75.,3.如图,已知在ABC中,AE平分BAC,过AE延长线上一点F作FDBC 于D,若F=6,C=30,
19、则B= .,答案 42,解析 FDBC,EDF=90,又F=6, DEF=90-F=84, 又AED+DEF=180,AED=180-84=96. 在AEC中,AED+EAC+C=180, EAC=180-96-30=54, AE平分BAC,BAC=2EAC=108. 在ABC中,BAC+B+C=180, B=180-108-30=42.,一、选择题 1.(2018福建莆田仙游期中,3,)在下列长度的四组线段中,不能组 成三角形的是 ( ) A.3 cm,4 cm,5 cm B.5 cm,7 cm,8 cm C.3 cm,5 cm,9 cm D.7 cm,7 cm,9 cm,答案 C A项,3
20、+45,能够组成三角形,故此选项不合题意;B项,5+78, 能够组成三角形,故此选项不合题意;C项,3+59,能够组成三角形,故此选项不合题意.故选C.,2.(2018江苏扬州树人学校阶段练习,8,)如图4-1-8,在ABC中,已 知点D,E分别为BC,AD的中点,EF=2FC,且ABC的面积为12,则BEF 的面积为 ( )图4-1-8 A.5 B. C.4 D.,答案 C 由中线把三角形分成两个面积相等的小三角形,可得SABC= SABD+SACD=2SBED+2SCDE=2SBEC=12,所以SBEC=6,SBEF= SBEC= 6=4.,二、填空题 3.(2018山东临沂月考,15,)
21、如图4-1-9,AD是ABC的中线,已知 ABD的周长为25 cm,AB比AC长6 cm,则ACD的周长为 cm.图4-1-9,答案 19,解析 AD是BC边上的中线,BD=CD, ABD和ACD周长的差=(AB+BD+AD)-(AC+AD+CD)=AB-AC, ABD的周长为25 cm,AB比AC长6 cm, ACD的周长为25-6=19(cm).,1.(2018浙江义乌月考,10,)边长为整数,周长为20的三角形个数是 ( ) A.4 B.6 C.8 D.12,答案 C 满足条件的三角形有8个,分别是(9,9,2),(8,8,4),(7,7,6),(6,6,8), (9,6,5),(9,7
22、,4),(9,8,3),(8,7,5).故选C.,2.(2017山东泰安新泰中考模拟,16,)已知一个三角形的三条边长 均为正整数.若其中仅有一条边长为5,且它又不是最短边,则满足条件的 三角形个数为 ( ) A.4 B.6 C.8 D.10,答案 D 当5是最大的边长时,可能的情况有3、4、5;4、4、5;3、 3、5;4、2、5,共四种情况.当5是第二大的边长时,可能的情况有2、 5、6;3、5、7;3、5、6;4、5、6;4、5、7;4、5、8,共六种情况.所以共 有10个三角形.故选D.,一、选择题 1.(2017湖南长沙中考,5,)一个三角形三个内角的度数之比为1 23,则这个三角形
23、一定是 ( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形,答案 B 根据三角形的内角和为180,可知三个角分别为30、60、 90,因此这个三角形是直角三角形.故选B.,2.(2015湖南长沙中考,10,)过ABC的顶点A作BC边上的高,以下 作法正确的是 ( ),答案 A ABC中BC边上的高是从顶点A向BC边作垂线段.故选A.,二、填空题 3.(2018甘肃定西中考,15,)已知a,b,c是ABC的三边长,a,b满足 |a-7|+(b-1)2=0,c为奇数,则c= .,答案 7,解析 a,b满足|a-7|+(b-1)2=0, a-7=0,b-1=0, 解得a=7,
24、b=1, 7-1=6,7+1=8, 6c8, 又c为奇数, c=7.,(2017甘肃白银中考,8,)已知a,b,c是ABC的三条边长,化简|a+b- c|-|c-a-b|的结果为 ( ) A.2a+2b-2c B.2a+2b C.2c D.0,答案 D a,b,c为ABC的三条边长,a+b-c0,c-a-b0,原式=a+b -c+(c-a-b)=0.故选D.,1.不能构成三角形的三条整数长度的线段的长度和的最小值为1+1+2= 4;若四条整数长度的线段中,任意三条不能构成三角形,则该四条线段的 长度和的最小值为1+1+2+3=7;,依此规律,若八条整数长度的线段 中,任意三条不能构成三角形,则
25、该八条线段的长度和的最小值为 .,答案 54,解析 1+1+2+3+5+8+13+21=54.,2.(2018天津西青期末)如图4-1-10,ABC中,A1,A2,A3,An为AC边上不 同的n个点,首先连接BA1,图中出现了3个不同的三角形,再连接BA2,图中 便有6个不同的三角形,图4-1-10 (1)完成下表:,(2)若出现了45个三角形,则共连接了多少个点? (3)若一直连接到An,则图中共有 个三角形.,解析 (1),(2)共连接了8个点. (3)1+2+3+(n+1)= 1+2+3+(n+1)+1+2+3+(n+1)= (n+1)(n+ 2).故填 (n+1)(n+2).,1.如图
26、,用四个螺丝钉将四条不可弯曲的木条钉成一个木框,不计螺丝钉 大小,其中相邻两螺丝钉间的距离依次为2、3、4、6,且相邻两木条的 夹角均可调整.若调整木条的夹角时不破坏此木框,则任意两个螺丝钉 间的距离的最大值为( )A.6 B.7 C.8 D.10,答案 B 已知相邻两螺丝钉间的距离依次为2、3、4、6,故可将4根 木条的长看做2、3、4、6.选5(2+3=5)、4、6作为三边长,5-465+4, 能构成三角形,此时两个螺丝钉间的最大距离为6;选7(3+4=7)、6、2 作为三边长,6-276+2,能构成三角形,此时两个螺丝钉间的最大距离为 7;选10(4+6=10)、2、3作为三边长,2+3
27、10,不能构成三角形,此种情 况不成立;选8(6+2=8)、3、4作为三边长,3+48,不能构成三角形,此 种情况不成立.综上所述,任意两个螺丝钉间的距离的最大值为7.故选B.,2.(2015广东佛山中考)各边长度都是整数,最大边长为8的三角形共有个.,答案 20,解析 三角形的各边长度都是整数,最大边长为8,三边长可以为1, 8,8;2,7,8;2,8,8;3,6,8;3,7,8;3,8,8;4,5,8;4,6,8;4,7,8;4,8,8;5,5,8;5,6,8;5,7,8;5, 8,8;6,6,8;6,7,8;6,8,8;7,7,8;7,8,8;8,8,8.故各边长度都是整数,最大边长为8 的三角形共有20个.,
