1、第3节 机械能守恒定律及其应用,-2-,知识梳理,考点自诊,一、重力做功与重力势能 1.重力做功的特点 (1)重力做功与路径无关,只与物体始末位置的 高度差 有关。 (2)重力做功不引起物体 机械能 的变化。 2.重力势能 (1)公式:Ep= mgh 。 (2)矢标性:重力势能是 标量 ,但有正、负,其意义是表示物体的重力势能比它在参考平面上大还是小,这与功的正、负的物理意义不同。 (3)系统性:重力势能是物体和 地球 共有的。 (4)相对性:重力势能的大小与 参考平面 的选取有关。重力势能的变化是 绝对 的,与参考平面的选取 无关 。,-3-,知识梳理,考点自诊,3.重力做功与重力势能变化的
2、关系 (1)定性关系:重力对物体做正功,重力势能就 减少 ;重力对物体做负功,重力势能就 增加 。 (2)定量关系:重力对物体做的功等于物体重力势能的减少量。即WG=-(Ep2-Ep1)= -Ep 。,-4-,知识梳理,考点自诊,二、弹性势能 1.弹性势能 (1)定义:发生弹性形变的物体之间,由于有弹力的相互作用而具有的势能,叫弹性势能。 (2)弹性势能的大小与形变量及 劲度系数 有关。 (3)矢标性: 标量 。 (4)没有特别说明的情况下,一般选弹簧形变为零的状态为弹性势能零点。 2.弹力做功与弹性势能变化的关系 (1)弹力做功与弹性势能变化的关系类似于重力做功与重力势能变化的关系,用公式表
3、示为W= -Ep 。 (2)对于弹性势能,一般物体的弹性形变量越大,弹性势能 越大 。,-5-,知识梳理,考点自诊,三、机械能守恒定律 1.机械能动能 和 势能 统称为机械能,其中势能包括 弹性势能 和 重力势能 。 2.机械能守恒定律 (1)内容:在只有 重力或弹力 做功的物体系统内,动能与势能可以相互转化,而总的机械能 保持不变 。 (2)机械能守恒的条件 只有重力或弹力做功。,-6-,知识梳理,考点自诊,(3)守恒表达式,-7-,知识梳理,考点自诊,1.判断下列说法的正误。 (1)克服重力做功,物体的重力势能一定增加。( ) (2)发生弹性形变的物体都具有弹性势能。( ) (3)弹簧弹力
4、做正功时,弹性势能增加。( ) (4)物体所受合外力为零时,机械能一定守恒。( ) (5)物体受到摩擦力作用时,机械能一定要变化。( ) (6)物体只发生动能和重力势能的相互转化时,物体的机械能一定守恒。( ) (7)物体的位置一旦确定,它的重力势能的大小也随之确定。( ) (8)一个物体的重力势能从-5 J变化到-3 J,重力势能减少了。( ) (9)重力势能的减少量等于重力对物体做的功。( ),答案,-8-,知识梳理,考点自诊,2.(多选)如图所示,倾角为的光滑斜面体C固定于水平地面上,物体B置于斜面上,通过细绳跨过光滑的定滑轮与物体A相连接,释放后,A将向下运动,则在A碰地前的运动过程中
5、( ) A.物体A的加速度大小为g B.物体A机械能不守恒 C.由于斜面光滑,所以物体B机械能守恒 D.物体A、B组成的系统机械能守恒,答案,解析,-9-,知识梳理,考点自诊,3.(多选)如图所示,在地面上以速度v0抛出质量为m的物体,抛出后物体落在比地面低h的海平面上,若以地面为零势能面,且不计空气阻力,则( ) A.物体在海平面的重力势能为mgh B.重力对物体做的功为mgh,答案,解析,-10-,知识梳理,考点自诊,4.(2018湖南长沙模拟)弹弓是孩子们喜爱的弹射类玩具,其构造原理如图所示,橡皮筋两端点A、B固定在把手上,橡皮筋处于ACB时恰好为原长状态,在C处(A、B连线的中垂线上)
6、放一固体弹丸,一手执把手,另一手将弹丸拉至D点放手,弹丸就会在橡皮筋的作用下发射出去,打击目标。现将弹丸竖直向上发射,已知E是CD中点,则( )A.从D到C过程中,弹丸的机械能守恒 B.从D到C过程中,弹丸的动能一直在增大 C.从D到C过程中,橡皮筋的弹性势能先增大后减小 D.从D到E过程橡皮筋弹力做功大于从E到C过程,答案,解析,-11-,命题点一,命题点二,命题点三,命题点四,机械能守恒的判断 1.利用机械能的定义判断(直接判断):分析动能和势能之和是否变化。 2.用做功判断:若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功,或有除重力(或弹簧弹力)外的其他力做功,但其他力做功的代数和为零,则机械
7、能守恒。 3.用能量转化来判断:若物体系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化,则物体系统机械能守恒。,-12-,命题点一,命题点二,命题点三,命题点四,典例1如图所示,固定的倾斜光滑杆上套有一个质量为m的小球,小球与一轻质弹簧一端相连,弹簧的另一端固定在地面上的A点,已知杆与水平面之间的夹角45,当小球位于B点时,弹簧与杆垂直,此时弹簧处于原长。现让小球自C点由静止释放,在小球滑到杆底端的整个过程中,关于小球的动能、重力势能和弹簧的弹性势能,下列说法正确的是( )A.小球的动能与重力势能之和保持不变 B.小球的动能与重力势能之和先增大后减小 C.小球的动能与弹簧的弹性势能
8、之和保持不变 D.小球的重力势能与弹簧的弹性势能之和保持不变,答案,解析,-13-,命题点一,命题点二,命题点三,命题点四,思维点拨判断是否守恒,首先要明确研究对象,是选的小球与地球组成的系统,还是小球、弹簧和地球组成的系统;然后根据守恒条件进行判断。,-14-,命题点一,命题点二,命题点三,命题点四,对机械能守恒观念的认识应把握以下几点: 1.机械能守恒的条件绝不是合外力的功等于零,更不是合外力为零;“只有重力或弹力做功”不等于“只受重力或弹力作用”。 2.对于一些绳子突然绷紧、物体间碰撞等情况,除非题目特别说明,否则机械能必定不守恒。 3.对于系统机械能是否守恒,可以根据能量的转化进行判断
9、。严格地讲,机械能守恒定律的条件应该是对一个系统而言,外力对系统不做功(表明系统与外界之间无能量交换),系统内除了重力和弹力以外,无其他摩擦和介质阻力做功(表明系统内不存在机械能与其他形式之间的转换),则系统的机械能守恒。,-15-,命题点一,命题点二,命题点三,命题点四,即学即练 1.(2018山东日照校际联合期中)蹦极是一项非常刺激的户外休闲活动。北京青龙峡蹦极跳塔高度为68 m,身系弹性蹦极绳的蹦极运动员从高台跳下,下落高度大约为50 m。假定空气阻力可忽略,运动员可视为质点。下列说法正确的是( ) A.运动员到达最低点前加速度先不变后增大 B.蹦极过程中,运动员的机械能守恒 C.蹦极绳
10、张紧后的下落过程中,动能一直减小 D.蹦极绳张紧后的下落过程中,弹力一直增大,答案,解析,-16-,命题点一,命题点二,命题点三,命题点四,2.(多选)(2018河南普通高中毕业班高考适应性测试)如图所示,半径为R的竖直光滑圆轨道与光滑水平面相切,质量均为m的小球A、B与轻杆连接,置于圆轨道上,A与圆心O等高,B位于O的正下方,它们由静止释放,最终在水平面上运动。下列说法正确的是( )A.下滑过程中A的机械能守恒 B.当A滑到圆轨道最低点时,轨道对A的支持力大小为2mg C.下滑过程中重力对A做功的功率一直增加 D.整个过程中轻杆对B做的功为 mgR,答案,解析,-17-,命题点一,命题点二,
11、命题点三,命题点四,单个物体的机械能守恒问题,机械能守恒定律的应用技巧 (1)机械能守恒定律是有条件的,因此,应用时首先要对研究对象在所研究的过程中机械能是否守恒做出判断。 (2)如果系统(除地球外)只有一个物体,用守恒观点列方程较方便。 (3)是否守恒从两个角度判断 若只有物体重力和弹簧弹力做功,则物体和弹簧组成的系统机械能守恒。 若系统只有动能和势能的相互转化,没有机械能与其他形式的能的相互转化,则系统机械能守恒。,-18-,命题点一,命题点二,命题点三,命题点四,典例2(2016全国卷,25)轻质弹簧原长为2l,将弹簧竖直放置在地面上,在其顶端将一质量为5m的物体由静止释放,当弹簧被压缩
12、到最短时,弹簧长度为l。现将该弹簧水平放置,一端固定在A点,另一端与物块P接触但不连接。AB是长度为5l的水平轨道,B端与半径为l的光滑半圆轨道BCD相切,半圆的直径BD竖直,如图所示。物块P与AB间的动摩擦因数 =0.5。用外力推动物块P,将弹簧压缩至长度l,然后放开,P开始沿轨道运动,重力加速度大小为g。(1)若P的质量为m,求P到达B点时速度的大小,以及它离开圆轨道后落回到AB上的位置与B点之间的距离; (2)若P能滑上圆轨道,且仍能沿圆轨道滑下,求P的质量的取值范围。,-19-,命题点一,命题点二,命题点三,命题点四,解析: (1)依题意,当弹簧竖直放置,长度被压缩至l时,质量为5m的
13、物体的动能为零,其重力势能转化为弹簧的弹性势能。由机械能守恒定律,弹簧长度为l时的弹性势能为 Ep=5mgl 设P的质量为M,到达B点时的速度大小为vB,由能量守恒定律得,-20-,命题点一,命题点二,命题点三,命题点四,-21-,命题点一,命题点二,命题点三,命题点四,-22-,命题点一,命题点二,命题点三,命题点四,思维点拨审题后要明确临界点和物理过程:第一,由“当弹簧竖直放置,长度被压缩至l时,质量为5m的物体的动能为零”可知初始具有的机械能;第二,从P到达B点时的过程可应用动能定理列方程求解;第三,从B到D的过程机械能守恒;弄清两个关键点:一是B点,一是竖直平面圆周运动的最高点D。,-
14、23-,命题点一,命题点二,命题点三,命题点四,在涉及圆周运动和抛体运动的多运动过程中,应用机械能守恒定律进行科学推理时应做好以下三点: 1.临界点分析:对于物体在临界点相关的多个物理量,需要区分哪些物理量能够突变,哪些物理量不能突变,而不能突变的物理量(一般指线速度)往往是解决问题的突破口。 2.运动过程分析:对于物体参与的多个运动过程,要仔细分析每个运动过程做何种运动.若为圆周运动,应明确是水平面的匀速圆周运动,还是竖直平面的变速圆周运动,机械能是否守恒;若为抛体运动,应明确是平抛运动,还是类平抛运动,垂直于初速度方向的力是哪个力。,-24-,命题点一,命题点二,命题点三,命题点四,3.明
15、确用机械能守恒定律解题的基本思路,-25-,命题点一,命题点二,命题点三,命题点四,即学即练 3.如图所示,光滑轨道由AB、BCDE两段细圆管平滑连接组成,其中AB段水平,BCDE段为半径为R的四分之三圆弧,圆心O及D点与AB等高,整个轨道固定在竖直平面内。现有一质量为m、初速度的光滑小球水平进入圆管AB,设小球经过轨道交接处无能量损失,圆管孔径远小于R,则(小球直径略小于管内径)( ) A.小球到达C点时的速度大小 B.小球能通过E点且抛出后恰好落至B点 C.无论小球的初速度v0为多少,小球到达E点时的速度都不能为零 D.若将DE轨道拆除,则小球能上升的最大高度与D点相距2R,答案,解析,-
16、26-,命题点一,命题点二,命题点三,命题点四,4.(2018山东潍坊高三第二次高考模拟)如图所示,倾角为37的斜面与一竖直光滑圆轨道相切于A点,轨道半径R=1 m,将滑块由B点无初速释放,滑块恰能运动到圆周的C点,OC水平,OD竖直,AB=2 m,滑块可视为质点,g取10 m/s2,sin 37=0.6,cos 37=0.8,求: (1)滑块在斜面上运动的时间; (2)若滑块能从D点抛出,滑块仍从斜面上无初速释放,释放点至少应距A点多远。,-27-,命题点一,命题点二,命题点三,命题点四,答案: (1)1 s (2)5.75 m,-28-,命题点一,命题点二,命题点三,命题点四,多物体的机械
17、能守恒问题 一、多物体机械能守恒问题常见有下列几种模型 模型一 速率相等的连接体模型 1.如图所示的两物体组成的系统,当释放B而使A、B运动的过程中,A、B的速度均沿绳子方向,在相等的时间内A、B运动的路程相等,则A、B的速率相等。2.从能量转化的角度判断系统的机械能是否守恒,即如果系统中只有动能和势能相互转化,系统的机械能守恒。这类题目的典型特点是系统不受摩擦力和空气阻力作用。,-29-,命题点一,命题点二,命题点三,命题点四,模型二 角速度相等的连接体模型 1.如图所示的两物体组成的系统,当释放后A、B在竖直平面内绕O点的轴转动,在转动的过程中相等时间内A、B转过的角度相等,则A、B转动的
18、角速度相等。2.系统机械能守恒的特点 (1)一个物体的机械能增加,另一个物体的机械能必然减少,机械能通过内力做功实现物体间的转移。 (2)内力对一个物体做正功,必然对另外一个物体做负功,且二者代数和为零。,-30-,命题点一,命题点二,命题点三,命题点四,二、多物体机械能守恒问题要注意以下几点: 1.对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中,系统的机械能是否守恒。 2.注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。 3.列机械能守恒方程时,一般选用Ek=-Ep或EA增=EB减的形式。,-31-,命题点一,命题点二,命题点三,命题点四,典例3(多选) 如图所示,左侧为一个固定在水平桌面
19、上的半径为R的半球形碗,碗口直径AB水平,O点为球心,碗的内表面及碗口光滑。右侧是一个足够长的固定光滑斜面。一根不可伸长的轻质细绳跨过碗口及竖直固定的轻质光滑定滑轮,细绳两端分别系有可视为质点的小球m1和物块m2,且m1m2。开始时m1恰在A点,m2在斜面上且距离斜面顶端足够远,此时连接m1、m2的细绳与斜面平行且恰好伸直,C点是圆心O的正下方。当m1由静止释放开始运动,则下列说法正确的是( ),-32-,命题点一,命题点二,命题点三,命题点四,A.在m1从A点运动到C点的过程中,m1与m2组成的系统机械能守恒,C.m1不可能沿碗面上升到B点 D.m2沿斜面上滑过程中,地面对斜面的支持力始终保
20、持恒定,答案,解析,-33-,命题点一,命题点二,命题点三,命题点四,思维点拨在m1从A点运动到C点的过程中,m1与m2组成的系统只有重力做功,系统的机械能守恒。将m1到达最低点C时的速度沿绳子方向和垂直绳子方向分解,沿绳子方向的速度等于m2的速度,根据平行四边形定则求出两个速度的关系。对系统,运用机械能守恒定律,m1沿碗面上升的最大高度。分析斜面的受力情况,由平衡条件判断地面对斜面的支持力如何变化。,-34-,命题点一,命题点二,命题点三,命题点四,典例4如图所示,A、B两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连,A放在固定的光滑斜面上,B、C两小球在竖直方向上通过劲度系数为k的轻质弹簧相连,C球放在
21、水平地面上。现用手控制住A,并使细线刚刚拉直但无拉力作用,并保证滑轮左侧细线竖直、右侧细线与斜面平行。已知A的质量为4m,B、C的质量均为m,重力加速度为g,细线与滑轮之间的摩擦不计。开始时整个系统处于静止状态;释放A后,A沿斜面下滑至速度最大时,C恰好离开地面。求:(1)斜面的倾角; (2)A球获得的最大速度vm。,-35-,命题点一,命题点二,命题点三,命题点四,-36-,命题点一,命题点二,命题点三,命题点四,思维点拨(1)细线不可伸长,A、B两球速率一定相等,但B与C球用弹簧相连,速率一般不同。 (2)弹簧的弹性势能与弹簧的形变量大小有关,无论弹簧处于伸长状态还是压缩状态。,-37-,
22、命题点一,命题点二,命题点三,命题点四,即学即练 5.(多选) 如图所示,将质量为2m的重物悬挂在轻绳的一端,轻绳的另一端系一质量为m的环,环套在竖直固定的光滑直杆上,光滑定滑轮与直杆的距离为d。杆上的A点与定滑轮等高,杆上的B点在A点正下方距离为d处。现将环从A处由静止释放,不计一切摩擦阻力,下列说法正确的是( ),B.小环到达B处时,环与重物的速度大小相等 C.环从A到B,环减少的机械能等于重物增加 的机械能,答案,解析,-38-,命题点一,命题点二,命题点三,命题点四,6.(多选)(2018黑龙江大庆高三第二次质量检测)如图所示,A、B是质量分别为m和2m的小环,一半径为R的光滑半圆形细
23、轨道,其圆心为O,竖直固定在地面上。轨道正上方离地高为h处固定一水平光滑长直细杆,杆与轨道在同一竖直平面内,杆上P点处固定一定滑轮,P点位于O点正上方。A套在E上,B套在轨道上,一条不可伸长的轻绳通过定滑轮连接两环。两环均可看作质点,且不计滑轮大小与摩擦,现对A环施加一水平向右的力F,使B环从地面由静止开始沿轨道运动。则( ),-39-,命题点一,命题点二,命题点三,命题点四,A.若缓慢拉动A环,B环缓慢上升至D点的过程中,F一直减小 B.若缓慢拉动A环,B环缓慢上升至D点的过程中,外力F所做的功等于B环机械能的增加量 C.若F为恒力,B环最终将静止在D点 D.若F为恒力,B环被拉到与A环速度
24、大小相等时,sinOPB=,答案:ABD,-40-,命题点一,命题点二,命题点三,命题点四,解析:绳连接、杆连接的物体沿绳(杆)方向的速度分量相等;此题中当PB线与圆轨道相切时两环速度大小相等。以B环为研究对象,受力分析如图:,-41-,命题点一,命题点二,命题点三,命题点四,据力三角形与PBO相似可得 B环缓慢上升至D点的过程中,PO不变,PB减小,则绳子拉力减小,F=FT,则F一直减小。故A项正确;据功能关系,外力F做的功等于AB组成系统机械能的增加量,缓慢拉动A,则A的动能不变,A的高度不变,重力势能不变,所以外力F所做的功等于B环机械能的增加量。故B项正确;若F为恒力,且B环能运动到D
25、点速度不为零时,B环会经过D点后沿半圆轨道运动到右侧最低点,然后沿轨道返回到左侧最低点,之后将重复运动。故C项错误。当PB线与圆轨道相切时,两环速度相等,据数学知识有sinOPB= 。故D项正确。综上答案为ABD。,-42-,命题点一,命题点二,命题点三,命题点四,7. 如图所示,在倾角为30的光滑斜面上,一劲度系数为k=200 N/m的轻质弹簧一端连接固定挡板C上,另一端连接一质量为m=4 kg的物体A,一轻细绳通过定滑轮,一端系在物体A上,另一端与质量也为m的物体B相连,细绳与斜面平行,斜面足够长。用手托住物体B使绳子刚好没有拉力,然后由静止释放。求:(1)弹簧恢复原长时细绳上的拉力; (
26、2)物体A沿斜面向上运动多远时获得最大速度; (3)物体A的最大速度的大小。,-43-,命题点一,命题点二,命题点三,命题点四,答案:(1)30 N (2)20 cm (3)1 m/s 解析:(1)恢复原长时 对B有mg-FT=ma 对A有FT-mgsin 30=ma 解得FT=30 N。,所以A沿斜面上升x1+x2=20 cm。 (3)因x1=x2,故弹性势能改变量Ep=0,-44-,命题点一,命题点二,命题点三,命题点四,用机械能守恒定律分析非质点模型 在应用机械能守恒定律处理实际问题时,经常遇到像“链条”类的物体,其在运动过程中将发生形变,其重心位置相对物体也发生变化,因此这类物体不能再
27、看作质点来处理。 物体虽然不能看成质点来处理,但因只有重力做功,物体整体机械能守恒,一般情况下,可将物体分段处理,确定质量分布均匀的规则物体各部分的重心位置,根据初末状态物体重力势能的变化列式求解。,-45-,命题点一,命题点二,命题点三,命题点四,典例4有一条长为2 m的均匀金属链条,有一半长度在光滑的足够高的斜面上,斜面顶端是一个很小的圆弧,斜面倾角为30,另一半长度竖直下垂在空中,当链条从静止开始释放后链条滑动,则链条刚好全部滑出斜面时的速度为(g取10 m/s2)( ),答案,解析,-46-,命题点一,命题点二,命题点三,命题点四,对于绳、液柱、链条之类的物体,由于发生形变,其重心位置
28、相对物体来说并不是固定不变的,确定重心的位置是解决该类问题的关键。可以采用分段法求出每段的重力势能,然后求和得到整体的重力势能;也可采用等效法求出重力势能的改变量。利用Ek=-Ep列方程不需要选取零势能面,且便于分析计算。,思维点拨本题中链条只有重力做功,故机械能守恒;首先确定零势能面,得出初末状态时的机械能表达式,由机械能守恒列式求解即可。,-47-,命题点一,命题点二,命题点三,命题点四,即学即练 8.如图所示,粗细均匀、两端开口的U形管内装有同种液体,开始时两边液面高度差为h,管中液柱总长度为4h,后来让液体自由流动,当两液面高度相等时,右侧液面下降的速度为(忽略一切阻力)( ),答案,解析,-48-,命题点一,命题点二,命题点三,命题点四,9.一根质量为m、长为L的均匀链条一半放在光滑的水平桌面上,另一半悬在桌边,桌面足够高,如图a所示。若将一个质量为m的小球分别拴在链条左端和右端,如图b、图c所示,约束链条的挡板光滑,三种情况下链条均由静止释放,当整根链条刚离开桌面时,设它们的速度分别为va、vb、vc,则关于va、vb、vc的关系,下列判断中正确的是 ( )A.va=vb=vc B.vavavb D.vavbvc,答案,解析,
