1、1限时检测提速练(十八) 定点、定值与探索性问题A 组1(2018威海三模)已知抛物线 C： y22 px(p0)的焦点 F，直线 y4 与 y 轴的交点为 P，与抛物线 C 的交点为 Q，且| QF|2| PQ|(1)求 p 的值；(2)已知点 T(t，2)为 C 上一点， M， N 是 C 上异于点 T 的两点，且满足直线 TM 和直线 TN 的斜率之和为 ，证明直线 MN 恒过定点，并求出定点的坐标83解：(1)设 Q(x0,4)，由抛物线定义，| QF| x0 ，p2又| QF|2| PQ|，即 2x0 x0 ，解得 x0 ，p2 p2将点 Q 代入抛物线方程，解得 p4(p2， 4)
2、(2)由(1)知 C 的方程为 y28 x，所以点 T 坐标为 ，(12， 2)设直线 MN 的方程为 x my n，点 M ， N ，(y218， y1) (y28， y2)由Error! 得 y28 my8 n0，所以 y1 y28 m， y1y28 n，所以 kMT kNT y1 2y218 12y2 2y28 12 8y1 2 8y2 2 ，8 y1 y2 32y1y2 2 y1 y2 4 64m 32 8n 16m 4 83解得 n m1所以直线 MN 方程为 x1 m(y1)，恒过点(1，1)2(2018咸阳三模)已知椭圆 C： 1( a b0)经过点( ，1)，离心率x2a2 y
3、2b2 2为 22(1)求椭圆的方程；(2)过坐标原点作两条直线 l1， l2，直线 l1交椭圆于 A， C，直线 l2交椭圆于 B， D，且|AB|2| BC|2| CD|2| DA|224，直线 l1， l2的斜率分别为 k1， k2，求证： k k 为定2122值(1)解： e ，又 a2 b2 c2，ca 22将点( ，1)代入椭圆 M 方程 1 得到 a2， b ， c ，22a2 1b2 2 2所以椭圆 M 的方程为 1x24 y22(2)证明：由对称性可知，四边形 ABCD 是平行四边形，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 C( x1， y1)， D( x2， y2
4、)，由 1，得 y22 ，x24 y22 x22|AB|2| BC|2| CD|2| DA|22(| AB|2| DA|2)2( x1 x2)2( y1 y2)2( x1 x2)2( y1 y2)24( x x y y )21 2 21 24 24，(x21 2x212 x2 2 x22)所以 x x 4，21 2k k 212y21y2x21x2 (2 x212)(2 x22)x21x2 ，4 x21 x2 14x21x2x21x2 14故 k k 为定值 212143(2018三湘名校联考)已知椭圆 C： 1( a b0)的离心率为 ， Mx2a2 y2b2 32为焦点是 的抛物线上一点，
5、 H 为直线 y a 上任一点， A， B 分别为椭圆 C 的(a4， b) (12， 0)上，下顶点，且 A， B， H 三点的连线可以构成三角形(1)求椭圆 C 的方程；(2)直线 HA， HB 与椭圆 C 的另一交点分别交于点 D， E，求证：直线 DE 过定点(1)解：由题意知，Error!解得Error!椭圆 C 的方程为 y21x24(2)证明：设点 H(m，2)( m0)，易知 A(0,1)， B(0，1)，3直线 HA 的方程为 y x1，3m直线 HB 的方程为 y x11m联立Error! 得 x2 x0，(36m2 1) 24m xD ， yD ，24mm2 36 m2
6、36m2 36同理可得 xE ， yE ， 8mm2 4 4 m24 m2直线 DE 的斜率为 k ，m2 1216m直线 DE 的方程为 y ，4 m24 m2 m2 1216m (x 8mm2 4)即 y x ，m2 1216m 12直线 DE 过定点 (0， 12)4(2018南充三模)已知椭圆 C： 1( a b0)的左焦点 F(2，0)左顶点x2a2 y2b2A1(4,0)(1)求椭圆 C 的方程；(2)已知 P(2,3)， Q(2，3)是椭圆上的两点， A， B 是椭圆上位于直线 PQ 两侧的动点若 APQ BPQ，试问直线 AB 的斜率是否为定值？请说明理由解：(1)由题意可得，
7、 a4， c2, 由 a2 b2 c2，得 b24 22 212所以椭圆 C 的方程为 1x216 y212(2)当 APQ BPQ 时， AP， BP 的斜率之和为 0，设直线 PA 的斜率为 k，则直线 PB 的斜率为 k，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，PA 的方程为 y3 k(x2)联立Error! 消 y 得(34 k2)x28(3 k2 k2)x4(4 k2912 k)480所以 2 x1 .同理 2 x2 8k 2k 33 4k2 8k 2k 33 4k2所以 x1 x2 ， x1 x2 16k2 123 4k2 48k3 4k2所以 kAB y2 y1x2 x1
8、k x1 x2 4kx1 x2 124所以 AB 的斜率为定值 12B 组1如图，过顶点在原点、对称轴为 y 轴的抛物线 E 上的定点 A(2,1)作斜率分别为k1， k2的直线，分别交抛物线 E 于 B、 C 两点(1)求抛物线 E 的标准方程和准线方程；(2)若 k1 k2 k1k2，证明：直线 BC 恒过定点(1)解：设抛物线 E 的标准方程为 x2 ay， a0，将 A(2,1)代入得， a4所以抛物线 E 的标准方程为 x24 y，准线方程为 y1(2)证明：由题意得，直线 AB 的方程为 y k1x12 k1，直线 AC 的方程为 y k2x12 k2，联立Error!消去 y 得
9、 x24 k1x4(12 k1)0，解得 x2 或 x4 k12，因此点 B(4k12，(2 k11) 2)，同理可得 C(4k22，(2 k21) 2)于是直线 BC 的斜率k k1 k21， 2k1 1 2 2k2 1 2 4k1 2 4k2 2 4 k1 k2 k1 k2 14 k1 k2又 k1 k2 k1k2，所以直线 BC 的方程为y(2 k21) 2( k1k21) x(4 k22)，即 y( k1k21) x2 k1k21( k1k21)( x2)3故直线 BC 恒过定点(2，3)2(2018广东联考)已知椭圆 C1： 1( b0)的左、右焦点分别为 F1， F2，点x28 y
10、2b2F2也为抛物线 C2： y28 x 的焦点(1)若 M， N 为椭圆 C1上两点，且线段 MN 的中点为(1,1)，求直线 MN 的斜率；(2)若过椭圆 C1的右焦点 F2作两条互相垂直的直线分别交椭圆于 A， B 和 C， D，设线5段 AB， CD 的长分别为 m， n，证明 是定值1m 1n解：因为抛物线 C2： y28 x 的焦点为(2,0)，所以 8 b24，故 b2所以椭圆 C1： 1x28 y24(1)设 M(x1， y1)， N(x2， y2)，则Error!两式相减得 0， x1 x2 x1 x28 y1 y2 y1 y24又 MN 的中点为(1,1)，所以 x1 x2
11、2， y1 y22. 所以 y2 y1x2 x1 12显然，点(1,1)在椭圆内部，所以直线 MN 的斜率为 12(2)椭圆右焦点 F2(2,0)当直线 AB 的斜率不存在或者为 0 时， 1m 1n 142 122 328当直线 AB 的斜率存在且不为 0 时，设直线 AB 的方程为 y k(x2)，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，联立方程得Error!消去 y 并化简得(12 k2)x28 k2x8 k280，因为 (8 k2)24(12 k2)(8k28)32( k21)0，所以 x1 x2 ， x1x2 8k21 2k2 8 k2 11 2k2所以 m ，1 k2 x1
12、x2 2 4x1x242 1 k21 2k2同理可得 n 42 1 k2k2 2所以 为定值1m 1n 142(1 2k21 k2 k2 21 k2) 3283(2018张家界三模)已知椭圆 C： 1( a b0)的离心率为 ，且椭圆 C 过x2a2 y2b2 22点 .过点(1,0)做两条相互垂直的直线 l1、 l2分别与椭圆 C 交于 P、 Q、 M、 N 四(3， 22)点(1)求椭圆 C 的标准方程；6(2)若 ， ，探究：直线 ST 是否过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，MS SN PT TQ 请说明理由解：(1)由题意知，Error!解得Error!故椭圆 C 的方程为 1x2
13、4 y22(2) ， ，MS SN PT TQ S、 T 分别为 MN、 PQ 的中点当两直线的斜率都存在且不为 0 时，设直线 l1的方程为 y k(x1)，则直线 l2的方程为 y (x1)，1kP(x1， y1)， Q(x2， y2)， M(x3， y3)， N(x4， y4)，联立Error! 得(2k21) x24 k2x2 k240， 24 k2160， x1 x2 ， x1x2 ，4k22k2 1 2k2 42k2 1 PQ 中点 T 的坐标为 ；(2k22k2 1， k2k2 1)同理， MN 中点 S 的坐标为 ，(2k2 2， kk2 2) kST ， 3k2 k2 1直线
14、 ST 的方程为 y ，k2k2 1 3k2 k2 1 (x 2k22k2 1)即 y ， 3k2 k2 1 (x 23)直线 ST 过定点 ；(23， 0)当两直线的斜率分别为 0 和不存在时，则直线 ST 的方程为 y0，也过点 ；(23， 0)综上所述，直线 ST 过定点 (23， 0)4(2018淮北二模)设 P， Q， R， S 是椭圆 M： 1( a b0)的四个顶点，菱x2a2 y2b27形 PQRS 的面积与其内切圆面积分别为 12 ， .椭圆 M 的内接 ABC 的重心(三条中线的3367交点)为坐标原点 O(1)求椭圆 M 的方程；(2) ABC 的面积是否为定值？若是，求
15、出该定值，若不是，请说明理由解：(1)菱形 PQRS 的面积与其内切圆面积分别为 12 ， ，3367 ，aba2 b2 67SPQRS 2a2b12 ，12 3联立解得 a212， b29，故所求椭圆 M 的方程为 1x212 y29(2)当直线 AB 斜率不存在时， O 为 ABC 的重心， C 为椭圆的左、右顶点，不妨设 C(2 ，0)，3则直线 AB 的方程为 x ，3可得| AB|3 ， C 到直线 AB 的距离 d3 ，3 3 S ABC |AB|d 12 272当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 方程为： y kx m， A(x1， y1)， B(x2， y2)联立Erro
16、r! 得(34 k2)x28 kmx4 m2360，则 64 k2m24(34 k2)(4m236)48(12 k29 m2)0即 12k29 m2，x1 x2 ， x1x2 ， 8km3 4k2 4m2 363 4k2 y1 y2 k(x1 x2)2 m 6m3 4k28 O 为 ABC 的重心， ( ) ，OC OA OB ( 8km3 4k2， 6m3 4k2) C 点在椭圆 C1上，故有 1，( 8km3 4k2)212( 6m3 4k2)29化简得 4m212 k29| AB| 1 k2 (8km3 4k2)2 4(4m2 363 4k2) 431 k23 4k2 12k2 9 m2又点 C 到直线 AB 的距离 d (d 是原点到 AB 距离的 3 倍得到)|3m|1 k2 S ABC |AB|d 12 63|m|3 4k212k2 9 m2 633m243m2 272综上可得， ABC 的面积为定值 272
