1、1大题精做二 物体的静态与动态平衡问题1 【2019 浙江省模拟】如图所示，在地面上竖直固定了刻度尺和轻质弹簧，弹簧原长时上端与刻度尺上的 A点等高。质量 m=0.5kg 的篮球静止在弹簧正上方，其底端距 A 点高度 h1=1.10m。篮球静止释放，测得第一次撞击弹簧时，弹簧的最大形变量 x1=0.15m，第一次反弹至最高点，篮球底端距 A 点的高度 h2=0.873m，篮球多次反弹后静止在弹簧的上端，此时弹簧的形变量 x2=0.01m，弹性势能为 Ep=0.025J。若篮球运动时受到的空气阻力大小恒定，忽略篮球与弹簧碰撞时的能量损失和篮球的形变，弹簧形变在弹性限度范围内。求：（1）弹簧的劲度
2、系数；（2）篮球在运动过程中受到的空气阻力；（3）篮球在整个运动过程中通过的路程；（4）篮球在整个运动过程中速度最大的位置。【解析】 （1）球静止在弹簧上，根据共点力平衡条件可得 ；mg-kx2=0（2）球从开始运动到第一次上升到最高点，动能定理 ，mg(h1-h2)-f(h1+h2+2x1)=0解得 ；f=0.5N（3）球在整个运动过程中总路程 s： ，解得 ；mg(h1+x2)=fs+Ep s=11.05m（4）球在首次下落过程中，合力为零处速度最大，速度最大时弹簧形变量为 ；x3则 ；mg-f-kx3=0在 A 点下方，离 A 点 x3=0.009m1 【2018 年全国模拟】一热气球体
3、积为 V，内部充有温度为 的热空气，气球外冷空气的温度为 已知空气Ta Tb.在 1 个大气压、温度为 时的密度为 ，该气球内、外的气压始终都为 1 个大气压，重力加速度大小为 gT0 0（1）求该热气球所受浮力的大小；（2）求该热气球内空气所受的重力；（3）设充气前热气球的质量为 ，求充气后它还能托起的最大质量m0【解析】 （i）设 1 个大气压下质量为 m 的空气在温度 T0时的体积为 V0，密度为 0=mV02温度为 T 时的体积为 VT，密度为： (T)=mVT由盖-吕萨克定律可得： V0T0=VTT联立解得： (T)= 0T0T气球所受的浮力为： f=( Tb)gV联立解得： f=
4、0gVT0Tb()气球内热空气所受的重力： G=( Ta)Vg联立解得： G=Vg 0T0Ta()设该气球还能托起的最大质量为 m，由力的平衡条件可知： mg=fGm0g联立可得： m= 0VT0Tb - 0VT0Ta -m02 【2018 年浙江省模拟】如图所示，在竖直方向上， A、 B 两物体通过劲度系数为 k16 N/m 的轻质弹簧相连，A 放在水平地面上， B、 C 两物体通过细线绕过轻质定滑轮相连， C 放在倾角 30的固定光滑斜面上。用手拿住 C，使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证 ab 段的细线竖直、 cd 段的细线与斜面平行。已知 A、 B 的质量均为 m0.2 kg，重力加速
5、度取 g10 m/s 2，细线与滑轮之间的摩擦不计，开始时整个系统处于静止状态。释放 C 后它沿斜面下滑， A 刚离开地面时，B 获得最大速度，求：(1)从释放 C 到物体 A 刚离开地面时，物体 C 沿斜面下滑的距离；(2)物体 C 的质量；(3)释放 C 到 A 刚离开地面的过程中细线的拉力对物体 C 做的功。【解析】 （1）设开始时弹簧的压缩量为 xB，得：kx B=mg设物体 A 刚离开地面时，弹簧的伸长量为 xA，得：kx A=mg当物体 A 刚离开地面时，物体 C 沿斜面下滑的距离为：h=x A+xB由解得：h= =0.25 m2mgk（2）物体 A 刚离开地面时，物体 B 获得最
6、大速度 vm，加速度为零，设 C 的质量为 M，对 B 有：T-mg-kx A=0对 C 有：Mgsin-T=0联立可得：Mgsin-2mg=0解得：M=4m=0.8 kg（3）由于 xA=xB，物体 B 开始运动到速度最大的过程中，弹簧弹力做功为零，且 B、C 两物体速度大小相等，由能量守恒有：3Mghsin-mgh= （m+M）v m2；12解得：v m=1 m/s对 C 由动能定理可得：Mghsin+W T= Mvm212解得：W T=-0.6 J3 【2018 湖北省模拟】如图所示，一本质量分布均匀的大字典置于水平桌面上，字典总质量 M=1.5kg，宽L=16cm，高 H=6cm一张白
7、纸（质量和厚度均可忽略不计，页面大于字典页面）夹在字典最深处，白纸离桌面的高度 h=2cm假设字典中同一页纸上的压力分布均匀，白纸上、下表面与字典书页之间的动摩擦因数均为 1，字典与桌面之间的动摩擦因数为 2，且各接触面的最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，重力加速度 g 取 10m/s2。（1）水平向右拉动白纸，要使字典能被拖动，求 1与 2满足的关系；（2）若 1=0.25， 2=0.4，求将白纸从字典中水平向右抽出拉力至少做的功 W。【解析】 （1）白纸上字典的质量为 ，那么，白纸上下表面受到的正压力都为 ，3M23Mg故白纸受到的最大静摩擦力 gf1142；桌面对字典的最大静摩擦力 f2=
8、 2Mg，所以，水平向右拉动白纸，要使字典能被拖动，那么，f1f 2， ；143（2）若 1=0.25， 2=0.4，那么，将白纸从字典中水平向右抽出时字典保持静止；白纸向右运动过程只有拉力和摩擦力做功，故由动能定理可知：将白纸从字典中水平向右抽出拉力至少做的功 W 等于克服摩擦力做的功；当白纸向右运动 x（0x0.16m）时，白纸上下表面受到的正压力都为 ，故摩擦力23LxMgMgLf312故由 f 和 x 呈线性关系可得：克服摩擦力做的功 110.4236WgLJ故将白纸从字典中水平向右抽出拉力至少做的功 W 为 0.4J.4 【2019 北京市模拟】如图所示，光滑的直角细杆 AOB 固定
9、在竖直平面内， OA 杆水平， OB杆竖直有两个质量相等均为 0.3 kg 的小球 a 与 b 分别穿在 OA、 OB 杆上，两球用一轻绳连接，轻绳长 L25 cm.两球在水平拉力 F 作用下目前处于静止状态，绳与 OB 杆的夹角 53(sin530.8，cos530.6)，( g10 m/s 2)求：（1）此时细绳对小球 b 的拉力大小，水平拉力 F 的大小；（2）现突然撤去拉力 F，两球从静止开始运动，设 OB 杆足够长，运动过程中细绳始终绷紧，则当 374时，小球 b 的速度大小【解析】 （1）以小球 b 为研究对象，设绳子拉力为 FT，由小球 b 受力平衡得5cos3bTmgFN对小球
10、 a 和小球 b 整体考虑，拉力 F 等于 OB 杆对 b 球的弹力所以 tn4（2）对小球 a 和 b 整体用机械能守恒定律，有 221cos37s5b bamgLmv同时，小球 a 和 b 的速度满足 cos37inbav两式联立，解得 0.6/vm5 【2018 河南省模拟】如图所示，一轻质弹簧小端固定在水平地面上，上端与物体 A 连接，物体 A 又与一跨过定滑轮的轻绳相连，绳另一端悬挂着物体 B 和 C， A、 B、 C 均处于静止状态现剪断 B 和 C 之间的绳子，则 A 和 B 将做简谐运动已知物体 A 质量为 3kg， B 和 C 质量均为 2kg，弹簧劲度系数为 k=100N/
11、m.（g 取 10 m/s2）试求：（1）剪断 B 和 C 间绳子之前， A、 B、 C 均处于静止状态时，弹簧的形变量 x1；（2）剪断 B 和 C 间绳之后，物体 A 振动过程中的最大速度 vm及此时弹簧的形变量 x2；（3）振动过程中，绳对物体 B 的最大拉力 Fmax和最小拉力 Fmin【解析】 （1）剪断 B 和 C 间绳子之前，A，B，C 均处于静止状态时，设绳子拉力为 F，对 A：m Ag+kx1=F，对 BC 系统：（m B+mC）g=F，解得：x 1=0.1m=10cm；（2）A 振动过程受到最大时在平衡位置，此时合力为零，A、B 间绳子拉力为 F0，弹簧压缩量为 x2对 B
12、：F 0=mBg，对 A：m Ag=kx2+F0，解得：x 2=0.1m=10cm，剪断 B、C 间绳子后到速度最大的过程中，机械能守恒，因 x1=x2，在这两位置时弹簧的弹性势能相等，A 下降的高度和 B 上升的高度为：d=x 1+x2=20cm，由机械能守恒定律得：m Agd-mBgd= （m A+mB）v m2，解得：v m= m/s；5（3）B 振动到最低点时拉力最大，为 Fmax；振动到最高点时拉力最小，为 Fmin；由简谐振动的对称性可知，在最高点与最低点加速度 a 大小相等，B 在振动过程的最低点：F max-mBg=mBa，m Ag+kx1-Fmax=mAa，解得：F max=
13、28N；B 在振动过程的最高点：m Bg-Fmin=mBa，解得：F min=12N56 【2018 云南省模拟】有一如图所示的装置，轻绳上端系在竖直杆的顶端 O 点，下端 P连接一个小球(小球可视为质点)，轻弹簧一端通过铰链固定在杆的 A 点，另一端连接在P 点，整个装置可以在外部驱动下绕 OA 轴旋转。刚开始时，整个装置处于静止状态，弹簧处于水平方向。现在让杆从静止开始缓慢加速转动，整个过程中，绳子一直处于拉伸状态，弹簧始终在弹性限度内，忽略一切摩擦和空气阻力。已知：OA=4m，OP=5m，小球质量 m=1kg，弹簧原长 l=5m，重力加速度 g 取 10m/2。求：（1）弹簧的劲度系数
14、k；（2）当弹簧弹力为零时，整个装置转动的角速度 。【解析】 （1）开始整个装置处于静止状态，对小球进行受力分析，如图所示：根据平衡条件得：F弹AP=mgOA，F弹 =k(l-AP) AP= OP2-OA2联立并代入数据解得： k=3.75Nm（2）当弹簧弹力为零时，小球上移至 位置，绕 中点 C 做匀速圆周运动，受P OA力分析如图所示：由 图 可 得 ， 轨 道 半 径 为 ， ， 其 中r = CP = OP2 - OC2 tan =CPOCAP = OP = 5m,OC = 2m根据牛顿第二定律得： mgtan =m 2r联立解得： = 5rads7 【2018 湖北省模拟】如图（a）
15、所示，三棱柱的左、右两侧斜面的倾角45，物块 P、Q 用跨过定滑轮的轻绳相连，分别放在两侧的斜面上，此时物块 P 恰好不向下滑动。已知 P、Q 与斜面之间的动摩擦因数均为tanl5，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。（1）求物块 P、Q 的质量之比 m1：m 2；（2）当三棱柱缓慢绕右侧棱边顺时针转动角，如图（b）所示，物块 Q 恰好不下滑，求角。【解析】 （1）三棱柱转动之前，物块 P 恰好不向下滑动。分析 P 的受力，有 ， ，Ff1= FN1FN1=m1gcos m1gsin -Ff1=FT分析 Q 的受力，有 ， ，Ff2= FN2FN2=m2gcos m2gsin +Ff2=FT6解得：m1m2= 3（2）三棱柱转动角后，物块 Q 恰好不下滑。分析 Q 的受力，有， ，Ff2= FN2FN2=m2gcos()m2gsin( +) +Ff1=FT分析 P 的受力，有 ， ，Ff1= FN1FN1=m1gcos( -) m1gsin( -) +Ff1=FT联立解得：m1m2=sin(30+)sin(60-)
