1、2.4 指数与指数函数,-2-,知识梳理,双基自测,2,3,1,1.根式 (1)根式的概念,-3-,知识梳理,双基自测,2,3,1,2.实数指数幂 (1)分数指数幂的表示且n1). 0的正分数指数幂是 ,0的负分数指数幂无意义.,0,-4-,知识梳理,双基自测,2,3,1,(2)有理数指数幂的运算性质 aras= (a0,r,sQ). (ar)s= (a0,r,sQ). (ab)r= (a0,b0,rQ). (3)无理数指数幂 一般地,无理数指数幂a(a0,是无理数)是一个 的实数,有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.,ar+s,ars,arbr,确定,-5-,知识梳理,双基自测,2
2、3,1,上方,(0,1),-6-,知识梳理,双基自测,2,3,1,R,(0,+),单调递减,单调递增,y=1,y1,0y1,0y1,y1,2,-7-,知识梳理,双基自测,3,4,1,5,1.下列结论正确的打“”,错误的打“”.(4)函数y=32x与y=2x+1都不是指数函数. ( ) (5)若aman,则mn. ( ),答案,-8-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,A.是偶函数,且在R上是增函数 B.是奇函数,且在R上是增函数 C.是偶函数,且在R上是减函数 D.是奇函数,且在R上是减函数,答案,解析,-9-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,3.(2017广西桂林模拟)已知x
3、0时,函数f(x)=(2a-1)x的值恒大于1,则实数a的取值范围是( ),答案,解析,-10-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,4.在同一平面直角坐标系中,函数y=2x与 的图象之间的关系是( ) A.关于y轴对称 B.关于x轴对称 C.关于原点对称 D.关于直线y=x对称,答案,解析,-11-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,答案,解析,-12-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,自测点评2.指数幂运算化简的依据是幂的运算性质,应防止错用、混用公式.对根式的化简,要先化成分数指数幂,再由指数幂的运算性质进行化简. 3.指数函数的单调性是由底数a的大小决定的,因此,应用
4、指数函数的单调性解题时,当底数a不确定时,应分a1和0a1两种情况进行讨论.,-13-,考点1,考点2,考点3,答案,解析,-14-,考点1,考点2,考点3,解题心得指数幂运算的一般原则: (1)有括号的先算括号里的. (2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数. (3)底数是负数,先确定符号;底数是小数,先化成分数;底数是带分数的,先化成假分数. (4)若是根式,则化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解答. (5)运算结果不能同时含有根号和分数指数幂,也不能既有分母又含有负指数幂.,-15-,考点1,考点2,考点3,-16-,考点1,考点2,考点3,例2(1)函数
5、f(x)=ax-b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是( ) A.a1,b1,b0 C.00 D.0a1,b0 (2)若曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b的取值范围是 . 思考画指数函数的图象及应用指数函数的图象解决问题应注意什么?,答案,-17-,考点1,考点2,考点3,解析: (1)由f(x)=ax-b的图象可以看出,函数f(x)=ax-b在定义域上单调递减,所以0a1.函数f(x)=ax-b的图象是在f(x)=ax的图象的基础上向左平移得到的,所以b0.故选D. (2)曲线|y|=2x+1与直线y=b的图象如图所示,由图可知,若|y|=2x+1与直线y=b没
6、有公共点,则b应满足的条件是b-1,1.,-18-,考点1,考点2,考点3,解题心得1.画指数函数y=ax(a0,且a1)的图象,应抓住三个关键,2.与指数函数有关的函数图象的研究,往往利用相应指数函数的图象,通过平移、对称变换得到其图象.特别地,当底数a与1的大小关系不确定时,应注意分类讨论. 3.一些指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解.,-19-,考点1,考点2,考点3,对点训练2(1)函数y=ax- (a0,a1)的图象可能是( ),(2)若函数y=2-x+1+m的图象不经过第一象限,则m的取值范围是 .,答案,解析,-20-,考点1,考点2,考点3,考
7、向一 比较指数式的大小A.y3y1y2 B.y2y1y3 C.y1y2y3 D.y1y3y2 思考如何进行指数式的大小比较?,答案,解析,-21-,考点1,考点2,考点3,考向二 解简单的指数方程或指数不等式A.(-,-3) B.(1,+) C.(-3,1) D.(-,-3)(1,+)思考如何解简单的指数方程或指数不等式?,答案,解析,-22-,考点1,考点2,考点3,考向三 指数型函数与函数性质的综合(1)判断f(x)的奇偶性; (2)讨论f(x)的单调性; (3)当x-1,1时,f(x)b恒成立,求b的取值范围. 思考如何求解指数型函数与函数性质的综合问题?,-23-,考点1,考点2,考点
8、3,解 (1)函数定义域为R,关于原点对称.(2)当a1时,a2-10,y=ax在R上为增函数,y=a-x在R上为减函数, 从而y=ax-a-x在R上为增函数,故f(x)在R上为增函数. 当00,且a1时,f(x)在R上单调递增. (3)由(2)知,f(x)在R上为增函数, 所以f(x)在区间-1,1上为增函数.故要使f(x)b在区间-1,1上恒成立,则只需b-1, 故b的取值范围是(-,-1.,-24-,考点1,考点2,考点3,解题心得1.比较两个指数幂大小的方法: (1)化同底,化同底后就可以应用指数函数的单调性比较大小,所以能够化同底的尽可能化同底. (2)取中间值法,不同底、不同指数比
9、较大小时,先与中间值0或1比较大小,再间接地得出大小关系. (3)图象法,作出函数图象后比较大小即可. 2.解决简单的指数方程或不等式的问题主要利用指数函数的单调性,要特别注意底数a的取值范围,并在必要时进行分类讨论. 3.求解指数型函数与函数性质的综合问题,要明确指数型函数的构成,涉及值域、奇偶性、单调区间、最值等问题时,都要借助相关性质的知识分析判断.,-25-,考点1,考点2,考点3,A.c3成立的x的取值范围为( ) A.(-,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,+),答案,对点训练3(1)已知 则a,b,c的大小关系是( ),-26-,考点1,考点2,考点3,-27-
10、考点1,考点2,考点3,1.比较大小问题,常利用指数函数的单调性及中间值. 2.指数型函数、方程及不等式问题,可利用指数函数的图象、性质求解.,解决指数函数有关问题时,若底数不确定,应注意对a1及0a1进行分类讨论.,-28-,-29-,典例2方程4x-2x+1-3=0的解是 . 答案x=log23 解析原方程可化为(2x)2-22x-3=0. 令2x=t,则t0,即原方程为t2-2t-3=0, 解得t=3或t=-1(舍去). 由2x=3,解得x=log23.,-30-,反思提升1.与指数函数有关的复合函数的单调性,要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成;而与其有关的最值问题,往往转化为二次函数的最值问题. 2.换元法是高中数学解题的基本方法,对于同时含有ax与a2x(a0,且a1)的函数、方程、不等式等问题,通常应用换元法以达到化繁为简的目的.换元时,应注意确定新元的范围,以达到等价转化的目的,避免失误.,
