1、- 1 -2019 届高三 12 月联合调研测试数学试题一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.全集 ，集合 ， ，则 _.【答案】【解析】【分析】根据集合的基本运算，先求出 AB，再求其补集即可【详解】全集 U1，2，3，4，5，集合 A1，3,4，B3，5，AB3，则 U（AB ）1，2，4，5，故答案为：1，2，4，5【点睛】本题主要考查了集合的交集和补集的基本运算，属于基础题2.复数 （ 为虚数单位）的模为_.【答案】【解析】【分析】由复数代数形式的乘除运算化简，再利用模的公式计算即可【详解】 复数 的模为 故答案为： 【点
2、睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，属于基础题3.在平面直角坐标系 中，已知 是双曲线 的一条渐近线方程，则此双曲线的离心率为 【答案】2【解析】- 2 -试题分析：由题意 ， .考点：双曲线的标准方程及其几何性质.4.已知 4 瓶饮料中有且仅有 2 瓶是果汁饮料，从这 4 瓶饮料中随机取 2 瓶，则所取两瓶中至少有一瓶是果汁饮料的概率是_.【答案】【解析】【分析】先求出从 4 瓶饮料中随机抽出 2 瓶的所有的抽法种数，再求出取出的 2 瓶不是果汁类饮料的种数，利用对立事件的概率即可求得.【详解】从 4 瓶饮料中随机抽出 2 瓶，所有的抽法种数为 6（种） ，取出的 2
3、瓶不是果汁类饮料的种数为 1（种） 所以所取 2 瓶中至少有一瓶是果汁类饮料的概率为 P1 故答案为： 【点睛】本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了对立事件的概率，解答的关键是掌握对立事件的概率和等于 1,属于基础题.5.如图程序运行的结果是 【答案】【解析】试题分析：初始条件 ， ；运行第一次， ， ；运行第二次， ；运行第三次， ， 满足条件，停止运行，所以输出的 ，- 3 -所以答案应填： 考点：程序框图6.如图是样本容量为 200 的频率分布直方图根据此样本的频率分布直方图估计，样本数据落在 内的频数为 【答案】64【解析】试题分析：样本数据落在 内的频率为 ，所以样本数据落在
4、内的频数为.考点：频率分布直方图.7.设等比数列 的前 项积为 ，若 ，则 的值是_.【答案】2【解析】【分析】由 P12=32P7，得 a8a9a12=32，再利用等比数列的性质，可求 a10【详解】等比数列a n的前 n 项积为 Pn，且P12=32P7，a 1a2a3a12=32a1a2a3a7，即 a8a9a12=32，由等比数列的性质，得（a 10） 5=32，解得 a10=2故答案为：2【点睛】本题考查等比数列a n的前 n 项积，考查等比数列的性质，属于基础题8.已知直线 、 与平面 、 ， ， ，则下列命题中正确的是_（填写正确命题对应的序号）. 若 ，则 若 ，则若 ，则 若
5、 ，则【答案】- 4 -【解析】【分析】列举反例，利用面面垂直的判定定理，利用面面垂直的性质定理，即可判断【详解】如图所示，设 c，lc，mc 满足条件，但是 与 不平行，故不正确；假设 ，l，ll，lm，则满足条件，但是 与 不垂直，故不正确；由面面垂直的判定定理，若 l，则 ，故正确；若 ，n，由面面垂直的性质定理知，mn 时，m，故不正确综上可知：只有正确故答案为：【点睛】熟练掌握线面、面面垂直与平行的判定与性质定理是解题的关键否定一个命题，只要举出一个反例即可，属于中档题9.已知 ， ，则 _.【答案】【解析】【分析】由二倍角公式和同角三角函数基本关系可得 cos2 和 sin2，代入
6、 sin（2 ） sin2 cos2，计算可得【详解】cos（+ ） ，且 （0， ） ，+ （ ， ） ，sin（+ ），sin2cos（2+ ）12 ，- 5 -cos2sin2（+ ）2sin（+ ）cos（+ ） ，sin（2 ）sin2cos cos2sin ，故答案为： 【点睛】本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及二倍角公式和同角三角函数基本关系，属于中档题10.在等腰三角形 中，底边 ， ， ，若 ，则_.【答案】【解析】【分析】由 ，得 D 是 AC 的中点，利用已知条件求出 BA 的长度，求出 cosB，即可 的值【详解】因为 D 是 AC 的中点 ，且 所以 ，因为在等腰
7、三角形 中，底边 ，得 AB= 所以 cosB = 且所以 = 2 52 故答案为： 【点睛】本题考查了向量加减法的几何中的应用和平面向量的数量积的应用，也考查计算能力，属于基础题.11.已知 ，若过 轴上的一点 可以作一直线与 相交于 ， 两点，且满足 ，则 的取值范围为_.【答案】【解析】- 6 -【分析】由圆的方程，可得 M（1，4）且半径为 2，由 PABA，利用圆的几何性质得动点 P 到圆 M 的最近的点的距离小于或等于 4，由此建立关于 a 的不等式，解得即可【详解】圆 M：（x1） 2+（y4） 24，圆心为 M（1，4） ，半径 r2，直径为 4，故弦长 BA 的范围是（0，4
8、又PABA，动点 P 到圆 M 的最近的点的距离小于或等于 4，圆与 x 轴相离，可得 P 到圆上的点的距离恒大于 0P 到 M 的距离小于或等于 6，根据两点间的距离公式有： ，解之得 12 a1+2 ，即 a 的取值范围为12 ，1+2 故答案为：12 ，1+2 【点睛】本题主要考查直线和圆相交的性质，两点间的距离公式和直线与圆的位置关系等知识，转化为数形结合的数学思想，属于中档题12.如图,在三棱锥 中, 、 、 两两垂直,且 .设 是底面 内一点,定义 ,其中 、 、 分别是三棱锥 、 三棱锥 、三棱锥的体积.若 ,且 恒成立,则正实数 的最小值为_.【答案】1【解析】- 7 -PA、
9、PB、PC 两两垂直，且 PA=3PB=2，PC=1 = +x+y即 x+y= 则 2x+2y=1，又 ，解得a1正实数 a 的最小值为 113.已知 的三边长 ， ， 成等差数列，且 ，则实数 的取值范围是_.【答案】 .【解析】【分析】由 a，b，c 成等差数列，设公差为 d，则有 abd，cb+d，代入已知等式求出 b 的最大值,由三角形三边关系列出不等式，整理后求出 b 的范围，即可确定出满足题意 b 的范围【详解】设公差为 d，则有 abd，cb+d，代入 a2+b2+c263，化简可得 3b2+2d263，当 d0 时，b 有最大值为 ，由三角形任意两边之和大于第三边，得到较小的两
10、边之和大于最大边，即 a+bc，整理得：b2d，可得：3b 2+2（ ） 263，解得：b3 ，则实数 b 的取值范围是（3 ， 故答案为：（3 ， 【点睛】本题考查了余弦定理，等差数列的性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于中档题.14.已知函数 ，若给定非零实数 ，对于任意实数 ，总存在非零常数 ，使得恒成立，则称函数 是 上的 级 类周期函数，若函数 是 上的 2 级 2 类周期函数，且当 时， ，又函数.若 ， ，使 成立，则实数 的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】- 8 -由函数 f（x）在0，2）上的解析式，可得函数 f（x）在0，2）上的最值，结
11、合 a 级类周期函数的含义，可得 f（x）在6，8上的最大值，对于函数 g（x） ，对其求导分析可得g（x）在区间（0，+）上的最小值，将原问题转化为 g（x） minf（x） max的问题求解【详解】根据题意，对于函数 ，当 时， ，可得：当 时，有最大值 ，最小值 ，当 时， ，函数 的图像关于直线 对称，则此时有 ，又由函数 是定义在区间 内的 2 级类周期函数，且 ；则在 上， ，则有 ，则 ，则函数 在区间 上的最大值为 8，最小值为 0；对于函数 ，有 ，得在 上， ，函数 为减函数，在 上， ，函数 为增函数，则函数 在 上，由最小值 .若 ， ，使 成立，必有 ，即 ，解可得
12、，即 的取值范围为 .故答案为： .【点睛】本题考查了函数的最值问题，数学转化思想方法，利用了导数求函数的最值，属于中档题二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.在如图所示的平面直角坐标系中，已知点 A(1,0)和点 B(1，0)， 1，且AOCx，其中 O 为坐标原点- 9 -（）若 x ，设点 D 为线段 OA 上的动点，求 的最小值和最大值；（）若 ，向量 ， (1cosx，sinx2cosx)，求 的最小值及对应的 x值.【答案】 （） （） ，此时 .【解析】试题分析：（） 设 （ ） ，又所以所以所以当 时， 最小值为（）
13、由题意得 ,则因为 ,所以所以当 ，即 时， 取得最大值所以 时， 取得最小值- 10 -所以 的最小值为 ，此时 .考点：三角函数中的恒等变换应用；平面向量的综合题点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，两个向量的数量积的公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题16.如图，在正三棱柱 中，点 在棱 上， ,点 分别是 的中点.（1）求证： 为 的中点；（2）求证: 平面 .【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】试题分析：（1）要证 为 的中点，又 AB=AC，即证即可；（）连接 ，连接 交 于点 ，连接 ，由（）易证 ，从而问题得证试题解析：- 11 -（1） 正三棱柱 ， 平面
14、，又 平面 ， ，又 ，平面 ， 又 正三棱柱 ，平面 平面 ， ， 为 的中点 （2） 连接 ，连接 交 于点 ，连接矩形 ， 为 的中点，又由(1)得 为 的中点， 中， 又 点 ， 分别是 ， 的中点， 中， ， ，又 平面 ， 平面平面点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.17.某校在圆心角为直角，半径为 的扇形区域内进行野外生存训练.如图所示，在相距的 ， 两个位置分别为 300,100 名学生，在道路 上设置集合地点 ，要求所有学生沿
15、最短路径到 点集合，记所有学生进行的总路程为 .- 12 -（1）设 ，写出 关于 的函数表达式；（2）当 最小时，集合地点 离点 多远？【答案】 （1） ，（2）集合地点 离出发点 的距离为 时，总路程最短，其最短总路程为 .【解析】【分析】（1）AOD 中，由正弦定理求得 AD、OD，再计算 S300AD+100BD 的值；（2）令函数 y ，求导判断函数单调性与最值，从而求出 y 的最小值以及对应 AD 的值和 S 的最小值【详解】 （1）因为在 中， ， ，所以由正弦定理可知，解得 ， ，且 ，故 ，（2）令 ，则有 ，令 得记 ， ，列表得0 极小值 - 13 -可知，当且仅当 时，
16、 有极小值也是最小值为 ，当 时，此时总路程 有最小值 .答：当集合点 离出发点 的距离为 时，总路程最短，其最短总路程为 .【点睛】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了三角函数图象与性质的应用问题，是中档题18.如图， 、 分别为椭圆 的焦点，椭圆的右准线 与 轴交于 点，若，且 .（）求椭圆的方程；（）过 、 作互相垂直的两直线分别与椭圆交于 、 、 、 四点，求四边形 面积的取值范围.【答案】 （） ；（） .【解析】【分析】（I） 先确定 A 点坐标为（a 2，0） ，利用 ，可得 F2是 AF1的中点，由此可求椭圆方程；（II）当直线 MN 与 PQ 中有一条与 x 轴垂直时，四边
17、形 PMQN 面积 ；当直线 PQ，MN 均与 x 轴不垂直时，设直线 PQ、MN 的方程与椭圆方程联立，求得|PQ|，|MN|，表示出四边形 PMQN 面积，再换元，即可求得四边形 PMQN 面积的取值范围【详解】 （）由 得 ， 点坐标为 ； 是 的中点- 14 - ， 椭圆方程为（）当直线 与 之一与 轴垂直时，四边形 面积 ；当直线 ， 均与 轴不垂直时，不妨设 ，联立 代入消去 得设 ， 则 ， ，同理四边形 面积令 ，则 ， ，易知 是以 为变量的增函数所以当 ， 时， ，综上可知， ，四边形 面积的取值范围为【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系和四边形面积的
18、计算，正确表示四边形的面积是关键，属于中档题.19.已知函数 ， ，设 .（）若 在 处取得极值，且 ，求函数 的单调区间；（）若 时函数 有两个不同的零点 、 .求 的取值范围；求证： .【答案】 （1）在区间（0,1）上单调增；在区间（1,+ ）上单调减.（2）（ ，0）详见解析- 15 -【解析】试题分析：（1）先确定参数：由 可得 a=b-3. 由函数极值定义知所以 a=“ -2,b=1“ .再根据导函数求单调区间（2）当 时，原题转化为函数 与直线 有两个交点，先研究函数 图像，再确定 b 的取值范围是（ ，0）. ，由题意得 ,所以 ，因此须证 ，构造函数 ，即可证明试题解析：（1
19、）因为 ，所以 ,由 可得 a=b-3.又因为 在 处取得极值，所以 ，所以 a=“ -2,b=1“ . 所以 ，其定义域为（0，+ ）令 得 ，当 （0,1）时， ，当 （1,+ ） ，所以函数 h（x）在区间（0,1）上单调增；在区间（1,+ ）上单调减.（2）当 时， ，其定义域为（0，+ ）.由 得 ，记 ，则 ,所以 在 单调减，在 单调增，所以当 时 取得最小值 .又 ，所以 时 ，而 时 ,- 16 -所以 b 的取值范围是（ ，0）.由题意得 ,所以 ,所以 ，不妨设 x1x2,要证 , 只需要证 .即证 ，设 ,则 ,所以 ,所以函数 在（1，+ ）上单调增，而 ，所以 即
20、,所以 .考点：函数极值，构造函数利用导数证明不等式20.已知数列 的前 项和为 ，把满足条件 的所有数列 构成的集合记为 .（1）若数列 通项为 ，求证： ；（2）若数列 是等差数列，且 ，求 的取值范围；（3）若数列 的各项均为正数，且 ，数列 中是否存在无穷多项依次成等差数列，若存在，给出一个数列 的通项；若不存在，说明理由.【答案】 （1）见解析；（2） ；（3）数列 中不存在无穷多项依次成等差数列.【解析】- 17 -【分析】(1)由 ，得 和 ，再证明 ，即可满足题意；（2）设 的公差为 ，由，得 ，又 ，即 ，所以 d=1， 的取值范围；（3）假设数列 中存在无穷多项依次成等差数
21、列，不妨设该等差数列的第 项为（ 为常数） ，由 ，得到当 时，关于 的不等式 有无穷多个解，推出矛盾，所以不存在.【详解】 （1）因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，即 .（2）设 的公差为 ，因为 ，所以特别的当 时， ，即 ，由 得 ，整理得 ，因为上述不等式对一切 恒成立，所以必有 ，解得 ，又 ，所以 ，于是 ，即 ，所以 ，即 ，所以 ，因此 的取值范围是 .（3）由 得 ，所以 ，即 ，所以 ，- 18 -从而有 ，又 ，所以 ，即 ，又 ， ，所以有 ，所以 ，假设数列 中存在无穷多项依次成等差数列，不妨设该等差数列的第 项为 （ 为常数） ，则存在 ， ，使得 ，即 ，设 ， ，
22、 ，则即 ，于是当 时， ，从而有：当 时 ，即 ，于是当 时，关于 的不等式 有无穷多个解，显然不成立，因此数列 中是不存在无穷多项依次成等差数列.【点睛】本题考查的是数列定义的应用和等差数列的性质应用，运用反证法解决存在问题是本题的关键，属于中档题.数学（附加题）【选做题】本题包括 21，22，23 三小题，请选定其中两题作答，每小题 10 分，共计 20 分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.- 19 -21.选修 4-2：矩阵与变换-求曲线 在矩阵 对应的变换作用下得到的曲线所围成图形的面积.【答案】【解析】试题分析：先由矩阵变换得到曲线方程： ，再根据曲线形状：菱形，计算其面
23、积：试题解析：设点 为曲线 上的任一点，在矩阵 对应的变换作用下得到的点为 ，则由 ， 3 分得： 即 5 分所以曲线 在矩阵 对应的变换作用下得到的曲线为 ， 8 分所围成的图形为菱形，其面积为 10 分考点：矩阵变换22.在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数） ，以直角坐标系原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标，直线 的极坐标方程为 ，试求直线 与曲线的交点的极坐标.【答案】【解析】【分析】将两方程化为普通方程，联立，即可求出直线 l 与曲线 C 的交点的直角坐标,进而即可得解.【详解】将直线 的极坐标方程化直角坐标系方程为将曲线 的参数方程化为普通方程可得：- 20
24、 -由 得 ，解得 或 ，又 ，所以 ，所以直线 与曲线 的交点的直角坐标为 .所以直线 与曲线 的交点的极坐标为 .【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，普通方程的互化，注意自变量的范围，属于基础题.23.若正数 ， ， 满足 ，求 的最小值.【答案】 .【解析】【分析】由 a+2b+4c3，可得（a+1）+2（b+1）+4（c+1）10，由柯西不等式可得的最小值.【详解】因为正数 ， ， 满足 ，所以 ，所以 ，即 .当且仅当 ， ， 时，取最小值 .【点睛】本题考查三元柯西不等式及其应用，考查基本的运算能力，属于基础题【必做题】第 24 题、第 25 题，每题 10 分，共计 20 分
25、.解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.24.在某次活动中，有 5 名幸运之星.这 5 名幸运之星可获得 、 两种奖品中的一种，并规定：每个人通过抛掷一枚质地均为的骰子决定自己最终获得哪一种奖品（骰子的六个面上的点数分别为 1 点、2 点、3 点、4 点、5 点、6 点） ，抛掷点数小于 3 的获得 奖品，抛掷点数不小于 3 的获得 奖品.（1）求这 5 名幸运之星中获得 奖品的人数大于获得 奖品的人数的概率；（2）设 、 分别为获得 、 两种奖品的人数，并记 ，求随机变量 的分布列及数学期望.【答案】 （1） ；（2） ， 的分布列见解析.【解析】- 21 -【分析】首先求出 5 名幸运
26、之星中，每人获得 A 奖品的概率和 B 奖品的概率 （1）获得 A 奖品的人数大于获得 B 奖品的人数，得到获得 A 奖品的人数可能为 3，4，5，利用独立重复试验求得概率；（2）由 |XY|，可得 的可能取值为 1，3，5，同样利用独立重复试验求得概率，然后列出频率分布表，代入期望公式求期望【详解】这 5 名幸运之星中，每人获得 奖品的概率为 ， 奖品的概率为 .（1）要获得 奖品的人数大于获得 奖品的人数，则 奖品的人数可能为 3，4，5，则所求概率为 .（2） 的可能取值为 1，3，5，且 ，所以 的分布列是：1 3 5故随机变量 的数学期望 .【点睛】本题考查了离散型随机变量的期望的应
27、用，也考查了独立重复试验，属于中档题25.在数学上，常用符号来表示算式，如记 = ，其中 ， .（1）若 ， ， ， 成等差数列，且 ，求证： ；（2）若 ， ，记 ，且不等式恒成立，求实数 的取值范围.【答案】 （1）详见解析（2）- 22 -【解析】试题分析：（）由题意求出等差数列的通项公式，然后结合二项式系数的性质证明；（）在二项式展开式中分别取 x=-1，x=1，求出 bn，再借助于二项式系数的性质化简可得 ，代入不等式 ，分 n 为奇数和偶数求得 t 的取值范围试题解析：（1）设等差数列的通项公式为 ，其中 为公差则 因为 ，所以 所以 = .注：第（1）问也可以用倒序相加法证明.（酌情给分） （2）令 ，则令 ，则 ，所以 根据已知条件可知， 所以将 、 代入不等式 得，当 为偶数时， ，所以 ；当 为奇数， ，所以 ；综上所述，所以实数 的取值范围是 .考点：数列的求和，二项式系数的性质- 23 -
