1、1第二节 不等式证明限时规范训练(限时练夯基练提能练)A级 基础夯实练1(2018广西南宁测试)(1)解不等式| x1| x3|4；(2)若 a， b满足(1)中不等式，求证：2| a b| ab2 a2 b|.解：(1)当 x3 时，| x1| x3| x1 x32 x44，解得 x4，所以4 x3；当3 x1 时，| x1| x3| x1 x324 恒成立，所以3 x1；当 x1 时，| x1| x3| x1 x32 x44，解得 x0，所以1 x0.综上，不等式| x1| x3|4 的解集为 x|4 x0(2)4(a b)2( ab2 a2 b)2( a2b24 a2b4 ab216 a
2、b) ab(b4)( a4)0，所以 4(a b)2( ab2 a2 b)2，所以 2|a b| ab2 a2 b|.2(2018广东宝安中学等七校联考)已知函数 f(x)|2 x1| x a|， aR.(1)当 a1 时，解不等式 f(x)1；(2)当 x(1,0)时， f(x)1 有解，求 a的取值范围解：(1)当 a1 时， f(x)|2 x1| x1|Error!当 x 时， x1，解得 x1，1 x ；12 12当 x1 时，3 x21，解得 x1， x1；12 12当 x1 时， x1，无解综上所述，不等式 f(x)1 的解集为 x|1 x1(2)当 x(1,0)时， f(x)1
3、有解| x a|2 x有解 2x x a2 x有解3x a x有解，3 x3， x1，3 a1，即实数 a的取值范围是(3,1)3(2018安徽安师大附中阶段性检测)设函数 f(x)| x1|2| x1|的最大值为 m.(1)求 m；(2)若 a， b， c(0，)， a22 b2 c2 m，求 ab bc的最大值解：(1)当 x1 时， f(x)3 x2；2当1 x1 时， f(x)13 x2；当 x1 时， f(x) x34.故当 x1 时， f(x)取得最大值 m2.(2)因为 2 a22 b2 c2( a2 b2)( b2 c2)2 ab2 bc2( ab bc)，当且仅当a b c
4、时取等号，22此时， ab bc取得最大值 1.B级 能力提升练4(2018四川成都七中期中)已知函数 f(x) m| x1|， mR，且 f(x2) f(x2)0 的解集为2,4(1)求 m的值；(2)若 a， b， c为正数，且 m，求证： a2 b3 c3.1a 12b 13c解：(1)由 f(x2) f(x2)0 可得| x1| x3|2 m.设 g(x)| x1| x3|，则当 x1 时， g(x)2 x2；当1 x3 时， g(x)4；当 x3 时， g(x)2 x2.所以 g(2) g(4)62 m， m3.(2)由(1)得 3，1a 12b 13c由柯西不等式，得( a2 b3
5、 c) 23 2，当且(1a 12b 13c) (a1a 2b12b 3c13c)仅当 a2 b3 c1 时等号成立，所以 a2 b3 c3.5(2018广东珠海二中期中)已知函数 f(x)| x m|2 x1|( mR)(1)当 m1 时，求不等式 f(x)2 的解集；(2)设关于 x的不等式 f(x)|2 x1|的解集为 A，且 A，求实数 m的取值范34， 2围解：(1)当 m1 时， f(x)| x1|2 x1|，由 f(x)2，得|x1|2 x1|2，Error! 或Error!或Error!解得Error! 或Error!或Error!0 x 或 x1 或 1 x .12 12 4
6、33原不等式的解集为 .x|0 x43(2) A，34， 2当 x 时，不等式 f(x)|2 x1|恒成立，34， 2即| x m|2 x1|2 x1|在 x 上恒成立，34， 2| x m|2 x12 x1，即| x m|2，2 x m2， x2 m x2 在 x 上恒成立，34， 2( x2) max m( x2) min， m0，114实数 m的取值范围是 .114， 06(2018云南昆明适应性检测)已知 a， b， c， m， n， p都是实数，且a2 b2 c21， m2 n2 p21.(1)证明：| am bn cp|1；(2)若 abc0，证明： 1.m4a2 n4b2 p4c2解：(1)易知| am bn cp| am| bn| cp|，因为 a2 b2 c21， m2 n2 p21，所以| am| bn| cp| 1，a2 m22 b2 n22 c2 p22 a2 b2 c2 m2 n2 p22故| am bn cp|1.(2)因为 a2 b2 c21， m2 n2 p21，所以 (a2 b2 c2) 2( m2 n2 p2)m4a2 n4b2 p4c2 (m4a2 n4b2 p4c2) (m2aa n2bb p2cc)21，所以 1.m4a2 n4b2 p4c24
