1、1考点强化练 20 圆的有关概念及性质基础达标一、选择题1.(2018 广西贵港)如图,点 A,B,C 均在 O 上,若 A=66,则 OCB 的度数是( )A.24 B.28C.33 D.48答案 A解析 A=66, COB=132.CO=BO , OCB= OBC= (180-132)=24,12故选 A.2.(2018 江苏盐城)如图, AB 为 O 的直径, CD 是 O 的弦, ADC=35,则 CAB 的度数为( )A.35 B.45C.55 D.65答案 C解析 由圆周角定理得, ABC= ADC=35,AB 为 O 的直径, ACB=90, CAB=90- ABC=55,故选
2、C.3.2(2018 湖北襄阳)如图,点 A,B,C,D 都在半径为 2 的 O 上,若 OA BC, CDA=30,则弦 BC 的长为( )A.4 B.2 2C. D.23 3答案 D解析 OA BC,CH=BH , ,AC=AB AOB=2 CDA=60,BH=OB sin AOB= ,BC= 2BH=2 ,故选 D.3 3二、填空题4.如图, O 的直径 AB 过弦 CD 的中点 E,若 C=25,则 ADC= . 答案 65解析 C=25, A= C=25. O 的直径 AB 过弦 CD 的中点 E,AB CD, AED=90, D=90-25=65.5.(2018 江苏扬州)如图,已
3、知 O 的半径为 2, ABC 内接于 O, ACB=135,则 AB= . 答案 2 2解析 连接 AD,BD,OA,OB,3 O 的半径为 2, ABC 内接于 O, ACB=135, ADB=45, AOB=90,OA=OB= 2,AB= 2 .2三、解答题6.“今有圆材,埋在壁中,不知大小,以锯锯之,深 1 寸,锯道长一尺,问径几何?”这是九章算术中的问题,用现在的数学语言可以表述为:如图, CD 为 O 的直径,弦 AB CD 于点 E,CE=1 寸, AB=10 寸,求直径 CD 的长 .解 如图,连接 OA,根据垂径定理,得 AE=5 寸 .在 Rt AOE 中,设 OA=x 寸
4、,则 OE=(x-1)寸,根据勾股定理有 52+(x-1)2=x2,解得 x=13,所以直径CD=26 寸 . 导学号 138140607.(2018 浙江湖州)如图,已知 AB 是 O 的直径, C,D 是 O 上的点, OC BD,交 AD 于点 E,连接 BC.(1)求证: AE=ED;(2)若 AB=10, CBD=36,求 的长 .AC(1)证明 AB 是 O 的直径, ADB=90,OC BD, AEO= ADB=90,即 OC AD,AE=ED.(2)解 OC AD, ,AC=CD4 ABC= CBD=36, AOC=2 ABC=236=72, 的长 = =2 .AC 72 51
5、80能力提升一、选择题1.(2018 贵州安顺)已知 O 的直径 CD=10 cm,AB 是 O 的弦, AB CD,垂足为 M,且 AB=8 cm,则 AC 的长为( )A.2 cm B.4 cm5 5C.2 cm 或 4 cm D.2 cm 或 4 cm5 5 3 3答案 C解析 连接 AC,AO, O 的直径 CD=10cm,AB CD,AB=8cm,AM= AB= 8=4cm,OD=OC=5cm,12 12当 C 点位置如图 1 所示时,OA= 5cm,AM=4cm,CD AB,OM= =3cm,OA2-AM2= 52-42CM=OC+OM= 5+3=8cm,AC= =4 cm;AM2
6、+CM2= 42+82 5当 C 点位置如图 2 所示时,同理可得 OM=3cm,OC= 5cm,MC= 5-3=2cm,在 Rt AMC 中, AC= =2 cm.AM2+MC2= 42+22 5故选 C.2.(2018 湖北咸宁)如图,已知 O 的半径为 5,弦 AB,CD 所对的圆心角分别是 AOB, COD,若 AOB 与 COD 互补,弦 CD=6,则弦 AB 的长为( )A.6 B.8C.5 D.52 3答案 B5解析 如图,延长 AO 交 O 于点 E,连接 BE,则 AOB+ BOE=180,又 AOB+ COD=180, BOE= COD,BE=CD= 6,AE 为 O 的直
7、径, ABE=90,AB= =8,AE2-BE2= 102-62故选 B.二、填空题3.(2018 湖北孝感)已知 O 的半径为 10 cm,AB,CD 是 O 的两条弦, AB CD,AB=16 cm,CD=12 cm,则弦 AB 和 CD 之间的距离是 cm. 答案 2 或 14解析 当弦 AB 和 CD 在圆心同侧时,如图 1,AB= 16cm,CD=12cm,AE= 8cm,CF=6cm,OA=OC= 10cm,EO= 6cm,OF=8cm,EF=OF-OE= 2cm. 当弦 AB 和 CD 在圆心异侧时,如图 2,AB= 16cm,CD=12cm,AF= 8cm,CE=6cm,OA=
8、OC= 10cm,OF= 6cm,OE=8cm,EF=OF+OE= 14cm.AB 与 CD 之间的距离为 14cm 或 2cm.三、解答题4.如图,有一座拱桥是圆弧形的,它的跨度为 60 m,拱高 18 m,当洪水泛滥到跨度只有 30 m 时,要采取紧急措施 .若拱顶离水面只有 4 m,即 PN=4 m 时是否要采取紧急措施?6解 不需要采取紧急措施 .如图,设弧的圆心为 O,由圆的对称性知点 P,N,O 共线,连接 OA,OA,PO,设PO 交 AB 于点 M,该圆的半径为 r,由题意得 PM=18,AM=30,则( r-18)2+302=r2,解得 r=34.当 PN=4 时, ON=3
9、0,所以 AN=16,则 AB=3230,故不需要采取紧急措施 . 导学号 138140615.(2018 湖北宜昌)如图,在 ABC 中, AB=AC,以 AB 为直径的圆交 AC 于点 D,交 BC 于点 E,延长 AE 至点F,使 EF=AE,连接 FB,FC.(1)求证:四边形 ABFC 是菱形;(2)若 AD=7,BE=2,求半圆和菱形 ABFC 的面积 .(1)证明 AB 是直径, AEB=90,AE BC,AB=AC ,BE=CE ,AE=EF , 四边形 ABFC 是平行四边形,AC=AB , 四边形 ABFC 是菱形 .(2)解 设 CD=x.连接 BD.AB 是直径, ADB= BDC=90,AB 2-AD2=CB2-CD2, (7+x)2-72=42-x2,解得 x=1 或 x=-8(舍去)AC= 8,BD= ,82-72= 15S 菱形 ABFC=8 .15S 半圆 = 4 2=8 .127
