1、1考点强化练 21 与圆有关的位置关系基础达标一、选择题1.(2018 湖南湘西)已知 O 的半径为 5 cm,圆心 O 到直线 l 的距离为 5 cm,则直线 l 与 O 的位置关系为( )A.相交 B.相切C.相离 D.无法确定答案 B解析 圆心到直线的距离 5cm=5cm, 直线和圆相切 .故选 B.2.(2018 四川眉山)如图所示, AB 是 O 的直径, PA 切 O 于点 A,线段 PO 交 O 于点 C,连接 BC,若 P=36,则 B 等于 ( )A.27 B.32 C.36 D.54答案 A解析 PA 切 O 于点 A, OAP=90, P=36, AOP=54, B=27
2、.故选 A.3.(2018 黑龙江哈尔滨)如图,点 P 为 O 外一点, PA 为 O 的切线, A 为切点, PO 交 O 于点B, P=30,OB=3,则线段 BP 的长为( )A.3 B.3 C.6 D.93答案 A解析 连接 OA,PA 为 O 的切线, OAP=90,2 P=30,OB=3,AO= 3,OP=6,故 BP=6-3=3.故选 A.4.(2018 江苏徐州) O1和 O2的半径分别为 5 和 2,O1O2=3,则 O1和 O2的位置关系是( )A.内含 B.内切 C.相交 D.外切答案 B解析 O1和 O2的半径分别为 5 和 2,O1O2=3,则 5-2=3, O1和
3、O2内切 .故选 B.5.如图,在平面直角坐标系中, M 与 x 轴相切于点 A(8,0),与 y 轴分别交于点 B(0,4)和点 C(0,16),则圆心 M 到坐标原点 O 的距离是( )A.10 B.8 C.4 D.22 13 41答案 D解析 如图,连接 BM,OM,AM,作 MH BC 于点 H. M 与 x 轴相切于点 A(8,0),AM OA,OA=8, OAM= MHO= HOA=90, 四边形 OAMH 是矩形, AM=OH ,MH BC,HC=HB= 6,OH=AM= 10,在 Rt AOM 中, OM= =2 .AM2+OA2= 82+102 41故选 D.6.(2018
4、湖南湘西)如图,直线 AB 与 O 相切于点 A,AC,CD 是 O 的两条弦,且 CD AB,若 O 的半径为 5,CD=8,则弦 AC 的长为( )A.10 B.8C.4 D.43 5答案 D解析 直线 AB 与 O 相切于点 A,OA AB.3又 CD AB,AO CD,记垂足为 E,CD= 8,CE=DE= CD=4,12连接 OC,则 OC=OA=5,在 Rt OCE 中, OE= =3,AE=AO+OE= 8,则OC2-CE2= 52-42AC= =4 .故选 D.CE2+AE2= 42+82 5二、填空题7.(2018 湖北黄冈)如图, ABC 内接于 O,AB 为 O 的直径,
5、 CAB=60,弦 AD 平分 CAB,若 AD=6,则 AC= . 答案 2 3解析 连接 BD.AB 是直径, C= D=90, CAB=60,AD 平分 CAB, DAB=30,AB=AD cos30=4 ,3AC=AB cos60=2 .故答案为 2 .3 38.(2018 山东临沂)如图,在 ABC 中, A=60,BC=5 cm.能够将 ABC 完全覆盖的最小圆形纸片的直径是 cm. 答案10334解析 设圆的圆心为点 O,能够将 ABC 完全覆盖的最小圆是 ABC 的外接圆, 在 ABC 中, A=60,BC=5cm, BOC=120,作 OD BC 于点 D,则 ODB=90,
6、 BOD=60,BD= , OBD=30,52OB= ,得 OB= , 2OB= ,52sin60 533 1033即 ABC 外接圆的直径是 cm.10339.(2018 江苏泰州)如图,在 ABC 中, ACB=90,sin A= ,AC=12,将 ABC 绕点 C 顺时针旋转 90513得到 ABC,P 为线段 AB上的动点,以点 P 为圆心, PA长为半径作 P,当 P 与 ABC 的边相切时, P 的半径为 . 答案15625或 10213解析 如图 1,当 P 与直线 AC 相切于点 Q 时,连接 PQ.则 PQ CA,设 PQ=PA=r, , ,r= .PQCA=PBAB r12
7、=13-r13 15625图 15图 2如图 2,当 P 与 AB 相切于点 T 时,易证 A,B,T 共线, ABT ABC, ,ATAC=ABAB ,AT= ,AT12=1713 20413r= AT= .12 10213综上所述, P 的半径为 .15625或 10213三、解答题10.(2018 湖北随州)如图, AB 是 O 的直径,点 C 为 O 上一点, CN 为 O 的切线, OM AB 于点 O,分别交 AC,CN 于 D,M 两点 .(1)求证: MD=MC;(2)若 O 的半径为 5,AC=4 ,求 MC 的长 .5(1)证明 连接 OC,CN 为 O 的切线,OC CM
8、, OCA+ ACM=90,OM AB, OAC+ ODA=90,OA=OC , OAC= OCA, ACM= ODA= CDM,MD=MC.(2)解 由题意可知 AB=52=10,AC=4 ,5AB 是 O 的直径, ACB=90,BC= =2 ,102-(4 5)2 5 AOD= ACB=90, A= A, AOD ACB, ,即 ,可得 OD=2.5,ODBC=AOAC OD25= 5456设 MC=MD=x,在 Rt OCM 中,由勾股定理得,( x+2.5)2=x2+52,解得 x= ,即 MC= .154 15411.(2018 新疆)如图, PA 与 O 相切于点 A,过点 A
9、作 AB OP,垂足为 C,交 O 于点 B.连接PB,AO,并延长 AO 交 O 于点 D,与 PB 的延长线交于点 E.(1)求证: PB 是 O 的切线;(2)若 OC=3,AC=4,求 sin E 的值 .(1)证明 连接 OB.PO AB,AC=BC ,PA=PB.在 PAO 和 PBO 中 PA=PB,AO=BO,PO=PO, PAO PBO. OBP= OAP=90.PB 是 O 的切线 .(2)解 连接 BD,则 BD PO,且 BD=2OC=6, 在 Rt ACO 中, OC=3,AC=4,AO= 5.在 Rt ACO 与 Rt PAO 中, AOP= COA, PAO= A
10、CO=90 ACO PAO, ,AOCO=POAOPO= ,PB=PA= .253 203在 EPO 与 EBD 中, BD PO, EPO EBD, ,BDPO=EBEP解得 EB= ,PE= ,1207 500217 sinE= . 导学号 13814062PAEP=72512.(2018 湖北襄阳)如图, AB 是 O 的直径, AM 和 BN 是 O 的两条切线, E 为 O 上一点,过点 E 作直线 DC 分别交 AM,BN 于点 D,C,且 CB=CE.(1)求证: DA=DE;(2)若 AB=6,CD=4 ,求图中阴影部分的面积 .3(1)证明 连接 OE,OC,BE.OB=OE
11、 , OBE= OEB.BC=EC , CBE= CEB, OBC= OEC.BC 为 O 的切线, OEC= OBC=90.OE 为半径, CD 为 O 的切线,AD 切 O 于点 A,DA=DE.(2)解 如图,过点 D 作 DF BC 于点 F,则四边形 ABFD 是矩形,AD=BF ,DF=AB=6,DC=BC+AD= 4 .3FC= =2 ,DC2-DF2 3BC-AD= 2 ,BC= 3 .3 3在 Rt OBC 中,tan BOC= ,BCBO= 3 BOC=60.在 OEC 与 OBC 中, OE=OB,OC=OC,CE=CB, OEC OBC(SSS), BOE=2 BOC=
12、120.S 阴影 =S 四边形 BCEO-S 扇形 OBE=2 BCOB- =9 -3 .12 120 OB2360 38能力提升一、选择题1.(2018 山东泰安)如图, M 的半径为 2,圆心 M 的坐标为(3,4),点 P 是 M 上的任意一点, PA PB,且 PA,PB 与 x 轴分别交于 A,B 两点,若点 A、点 B 关于原点 O 对称,则 AB 的最小值为( )A.3 B.4 C.6 D.8答案 C解析 PA PB, APB=90,AO=BO ,AB= 2PO,若要使 AB 取得最小值,则 PO 需取得最小值,连接 OM,交 M 于点 P,当点 P 位于 P位置时, OP取得最
13、小值,过点 M 作 MQ x 轴于点 Q,则 OQ=3,MQ=4,OM= 5,又 MP= 2,OP= 3,AB= 2OP=6,故选 C.2.(2018 上海)如图,已知 POQ=30,点 A、 B 在射线 OQ 上(点 A 在点 O,B 之间),半径长为 2 的 A与直线 OP 相切,半径长为 3 的 B 与 A 相交,则 OB 的取值范围是( )A.5OB9 B.4OB9C.3OB7 D.2OB7答案 A解析 设 A 与直线 OP 的切点为 D,连接 AD,AD OP. O=30,AD=2,OA= 4,当 B 与 A 相内切时,设切点为 C,如图 1,BC= 3,OB=OA+AB= 4+3-
14、2=5;当 A 与 B 相外切时,设切点为 E,如图 2,OB=OA+AB= 4+2+3=9, 当 B 与 A 相交时, OB 的取值范围是 5OB9,9故选 A.图 1图 2二、填空题3.(2018 四川内江)已知 ABC 的三边 a,b,c,满足 a+b2+|c-6|+28=4 +10b,则 ABC 的外接圆a-1半径 = . 答案258解析 a+b 2+|c-6|+28=4 +10b,a-1 (a-1-4 +4)+(b2-10b+25)+|c-6|=0,a-1 ( -2)2+(b-5)2+|c-6|=0,a-1 -2=0,b-5=0,c-6=0,a-1解得 a=5,b=5,c=6,AC=
15、BC= 5,AB=6,作 CD AB 于点 D,则 AD=3,CD=4,设 ABC 的外接圆的半径为 r,则 OC=r,OD=4-r,OA=r, 32+(4-r)2=r2,解得, r= .258三、解答题104.(2018 四川绵阳)如图, AB 是 O 的直径,点 D 在 O 上(点 D 不与 A,B 重合),直线 AD 交过点 B 的切线于点 C,过点 D 作 O 的切线 DE 交 BC 于点 E.(1)求证: BE=CE;(2)若 DE AB,求 sin ACO 的值 .(1)证明 连接 OD,如图, EB ,ED 为 O 的切线, EB=ED ,OD DE,AB CB, ADO+ CDE=90, A+ ACB=90,OA=OD , A= ADO, CDE= ACB,EC=ED ,BE=CE.(2)解 作 OH AD 于点 H,如图,设 O 的半径为 r.DE AB, DOB= DEB=90, 四边形 OBED 为矩形,而 OB=OD, 四边形 OBED 为正方形, DE=CE=r ,易得 AOD 和 CDE 都为等腰直角三角形,OH=DH= r,CD= r,22 2在 Rt OCB 中, OC= r,(2r)2+r2= 5在 Rt OCH 中,sin OCH= ,即 sin ACO 的值为 . 导学号 13814063OHOC= 22r5r= 1010 101011
