1、1第五章 分式与分式方程1.分式的概念及应用(1)分式的判断：依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式.【例 1】下列式子是分式的是( )A. B. C. +y D.x2 x+1 x2 x3【标准解答】选 B.因为 ， +y， 的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式 . 分母中含x2 x2 x3 x+1有字母，因此是分式.(2)分式有意义、无意义、值为零的条件：若分式的值为零，需同时具备两个条件：分子为 0；分母不为 0.这两个条件缺一不可.分式有意义的条件是分母不为 0；分式无意义的条件是分母等于 0.【例 2】如果分式 的值为 0，则 x 的值应
2、为_.32273【标准解答】根据分式的分子为 0 且分母不为 0 时，分式的值是 0，可得 解得 x=-3.3227=0,30,答案：-31.下列式子： ， ， (a+b)， ， ， ， ， ，其中分式的个数是( )x2 2+1 12 2 x+1 x3 2 x+ a22+2A.1 B.2 C.3 D.42.若分式 的值为 0，则 x 的值等于_.x21+13.当 x_时，分式 有意义.134.当 x_时，分式 的值为负.212+12.分式的基本性质及应用(1)分式的基本性质：利用分式的基本性质进行变形时，要特别注意同乘(或除以)的整式不等于 0.【例 1】若分式 的 a，b 的值同时扩大到原来
3、的 10 倍，则此分式的值( )2+A.是原来的 20 倍 B.是原来的 10 倍C.是原来的 D.不变110【标准解答】选 D.根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于 0 的整式，分式的值不变；可知该运算中分式的值没有改变.2(2)分式的基本性质的应用约分在分式的化简中，若分子、分母中是多项式时，要把多项式先分解因式，再根据分式的基本性质“分式的分子、分母同时乘以或除以同一个非 0 的数或式子，分式的值不变”进行约分、化简.【例 2】化简分式 的结果是_.a2+21【标准解答】 = = .a2+21 a(+1)(+1)(1) a1答案：a1(3)分式的基本性质的应用通分
4、找最简公分母的方法：找系数：如果各分母的系数都是整数，那么取它们的最小公倍数.找字母：凡各分母因式中出现的所有因式或含字母的式子都要选.找指数：取各分母因式中出现的所有字母或含字母的式子中指数的最大值.【例 3】下列三个分式 ， ， 的最简公分母是( )122 514() 3A.4(m-n)x B.2(m-n)x2C. D.4(m-n)x2142()【标准解答】选 D.2x2，4(m-n)，x 的最简公分母为 4(m-n)x2.1.下列运算正确的是( )A. =-y yB. =2+3+23C. =x+yx2+2+D. =-y22 1+2.化简： =_.x2933.分式通分： 和 .x12 x1
5、2+33.分式的运算(1)分式的乘除运算：首先根据分式除法的运算法则“分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘”把除法转化为乘法，然后把分子、分母分解因式，再进行约分即可.能正确进行约分是解题关键.【例 1】化简： .b+124 b2+2【标准解答】原式= = .b+1(2)(+2) a+2(+1) 1(2)(2)分式的加减运算：首先通分，然后根据同分母的分式加减运算法则求解即可.【例 2】计算 - 的结果是( )1 1A.- B.y() 2+()C. D.2() y()【标准解答】选 A. - = - = =- .1 1 x() x()x() y()(3)分式的混合运算：分式
6、的混合运算的顺序与实数的混合运算的顺序相似，按照先乘方、再乘除、最后算加减的顺序进行，有括号的先算括号内的，若是同级运算，按从左到右的顺序进行.本题可按照分式的混合运算法则进行，先将括号里面的通分，然后将除法转换成乘法，约分化简得到最简分式或整式.注意运算顺序.【例 3】计算： .a (a22 )【标准解答】原式= a a22+2= = .a a()2 1(4)分式的化简求值：首先对分式进行化简，先算括号里的，通分，把除法转化为乘法，再进行约分，把分式化成最简分式或整式，最后代入求值.【例 4】先化简 ，然后从-2x2 的范围内选取一个合适的整数作为 x 的值代入(1 11) x24+4214
7、求值.【标准解答】原式= = .x21 (+1)(1)(2)2 x+12x 满足-2x2 且为整数，若使分式有意义，x 只能取 0，-2.当 x=0 时，原式=- (或当 x=-2 时，原式= ).12 141.计算 - 的结果为( )11 a1A. B. C.-1 D.2a+11 a12.化简 的结果是( )(-) n2A.-m-1 B.-m+1C.-mn+m D.-mn-n3.化简： 的结果为_.(2+2 2) x244.先化简 ，然后从不等式组 的解集中，选取一个你认为符合题意的 x(x5 5) 2225 -23,2b，如果 + = ，ab=2，那么 a-b 的值为_.11322.已知
8、+ =3，则代数式 的值为_.112 25+44363.先化简，再求值： - ，其中 2x+4y-1=0.x22+211 x+222+15.分式运算中的不完全归纳法不完全归纳法是从一个或几个(但不是全部)特殊情况得出一般性结论的归纳推理.不完全归纳法又叫做普通归纳法.不完全归纳法是根据对某类事物部分对象的考察而得出一般性结论的推理形式.运用不完全归纳法可将“观察、实验、猜测、验证”与“推理”有机结合起来.【例】观察下面的变形规律：=1- ； = - ； = - ；112 12 1231213 1341314解答下面的问题：(1)若 n 为正整数，请你猜想 =_.1(+1)(2)证明你猜想的结论
9、.7(3)求和： + + + .112 123 134 12 0152 016【标准解答】(1) - .1 1+1(2) - = - = = .1 1+1 n+1(+1) n(+1)n+1(+1) 1(+1)(3)原式=1- + - + - + - =1- = .1212131314 12 01512 01612 0162 0152 0161.观察下列一组数： ， ， ， ， ，它们是按一定规律排列的，那么这一组数据的第 n 个数是14 39 516 725 936_.2.已知： = ； = ；21221213 43+214232+221215计算： =_；65+43+216252+4232+
10、2212猜想： =_.(2+2)(2+1)+(21)(2+2)2(2+1)2+(2212)6.分式运算在生活中的应用分式是刻画数量关系的一种重要的数学模型，与我们日常生活有着密切的联系，其应用十分广泛，解决此类问题的关键有两点：(1)挖掘题意中的数量关系列出分式.(2)根据题意确定运算的类型，最后根据法则进行计算即可.【例 1】甲、乙两地间铁路长 2400 千米，经技术改造后，列车实现了提速.提速后比提速前速度增加 20千米/时，设提速后列车速度为 x 千米/时，则列车从甲地到乙地行驶时间减少多少小时?【标准解答】提速后列车速度为 x 千米/时，则提速前列车从甲地到乙地行驶时间为 小时，提速后
11、2 40020列车从甲地到乙地行驶时间为 小时. - =2 400 2 400202 4002400x(20)20(20)= ，48 000(20)所以提速后列车从甲地到乙地行驶时间减少 小时 .48 000(20)【例 2】某商场销售某种商品，第一个月将此商品的进价提高 25%作为销售价，共获利 6000 元.第二个月商场搞促销活动，将商品的进价提高 10%作为销售价，设此商品进价为 x 元，若要商场第二个月比第一个月多获利 400 元，则第二个月的销售量必须比第一个月多多少件?8【标准解答】此商品进价为 x 元，根据题意，得第二个月的销售量为 件，第一个月的销售量为6 40010%件，又
12、- = (件)，所以第二个月的销售量必须比第一个月多 件.6 00025% 6 40010%6 00025%40 000 40 000【例 3】某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书.工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，有如下方案：(1)甲队单独完成这项工程要比规定日期少用 1 天.(2)乙队单独完成这项工程要比规定日期多用 1 天.(3)若甲先做 1 天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成.试问：在不耽误工期的前提下，设规定日期为 x 天，若采用第三种施工方案时，求甲队 1 天完成的工作量与乙队(x-1)天完成的工作量的积.【标准解答】分别用分式表示出甲队 1 天完成的工
13、作量，乙队(x-1)天完成的工作量，再求出它们的积.由题意可知，甲队的工作效率为 ，乙队的工作效率为 ，则甲队 1 天完成的工作量为 ，乙队11 1+1 11(x-1)天完成的工作量为 ，x1+1又 = .11 x1+1 1+1所以甲队 1 天完成的工作量与乙队(x-1)天完成的工作量的积为 .1+1为了支援灾区，某中学师生自愿捐款，已知第一天捐款 4800 元，第二天捐款 6000 元，第二天捐款人数比第一天捐款人数多 50 人，设第一天捐款 x 人，则第二天人均捐款是第一天人均捐款的多少倍?7.分式方程(1)妙用分式方程的增根解分式方程时，一般要将分式方程变形为整式方程.由于这种变形可能扩
14、大了未知数的取值范围，所以使得方程产生增根，不少同学往往只重视对增根的检验，忽视充分发挥增根的潜在作用.如果能进一步认真分析增根产生的原因，那么在确定有关分式方程字母系数的值时，往往能够巧妙得解.9【例 1】若关于 x 的方程 + =2- 有增根 x=-1，求 a 的值.3 a+1 3+1【标准解答】去分母整理得(a-2)x2+4x+3=0，已知方程有增根 x=-1，把 x=-1 代入，解得 a=3，即当 a=3 时满足题意.【例 2】当 m 为何值时，关于 x 的方程 + = 会产生增根?22 m24 3+2【标准解答】去分母得，2(x+2)+mx=3(x-2).整理得(m-1)x=-10，
15、当 m=1 时，方程无解.当 m1 时，x= .-101如果方程产生增根，那么必须有最简公分母(x+2)(x-2)=0，即 x=2 或 x=-2.(1)当 x=2 时，2= ，解得 m=-4；-101(2)当 x=-2 时，-2= ，解得 m=6.-101综上所述，当 m=-4 或 m=6 时，原方程会产生增根.1.已知关于 x 的分式方程 + =1 的解是非负数，则 m 的取值范围是( )m1 31A.m2 B.m2C.m2 且 m3 D.m2 且 m32.关于 x 的分式方程 = 有解，则字母 a 的取值范围是( )5 a2A.a=5 或 a=0 B.a0C.a5 D.a5 且 a03.若
16、关于 x 的方程 -1=0 有增根，则 a 的值为_.a+114.若分式方程 - =2 有增根，则这个增根是_.x1 m1(2)分式方程探究题解决分式方程探究题的三个步骤：10仔细观察所给的已知条件，根据已知条件寻找规律；对所找的规律进行验证；写出正确的答案.【例】先阅读下列一段文字，然后解答问题.下面是一类方程和它的解的情况：x- =1 的解是 x1=2，x 2=- ；1 12 12x- =2 的解是 x1=3，x 2=- ；1 23 13x- =3 的解是 x1=4，x 2=- ；1 34 14x- =4 的解是 x1=5，x 2=- ；1 45 15问题：观察上述方程及其解，再猜想出方程
17、x- =10 的解，并写出检验.1 1011【标准解答】因为 1 =2- ， 2 =3- ，3 =4- ，4 =5- ，12 12 23 13 34 14 45 15而 10 =11- ，1011 111所以由此可以猜想出方程 x- =10 的解是 x1=11，x 2=- .1 1011 111检验：当 x1=11 时，x- =11- =10 ，当 x2=- 时，x- =- - =10 ，所以 x1=11，x 2=- 都是方程1 111 1011 111 1 111 1111 1011 111x- =10 的解.1 1011阅读下列材料：关于 x 的方程：x+ =c+ 的解是 x1=c，x 2
18、= ；1 1 1x+ =c+ 的解是 x1=c，x 2= ；2 2 2x+ =c+ 的解是 x1=c，x 2= ；3 3 3(1)请观察上述方程与解的特征，比较关于 x+ =c+ (m0)与它们的关系，猜想它的解是什么，并利用m m“方程的解”的概念进行验证.11(2)请用这个结论解关于 x 的方程：x+ =a+ .21 2112跟踪训练答案解析1.分式的概念及应用【跟踪训练】1.【解析】选 D.分母中含有字母的式子有 4 个，它们是 ， ， ， .2+1 2 x+ a22+22.【解析】由分式的值为零的条件得 x2-1=0，x+10，由 x2-1=0，得 x=-1 或 x=1，由 x+10，
19、得 x-1，x=1.答案：13.【解析】由分式有意义，得 3-x0，所以 x3.答案：34.【解析】x 2+11，分式的值为负时，只需分子为负数，由此，可得一元一次不等式：2x-1b，a-b= =()2 (+)24= =1.3242答案：12.【解析】由 + =3 得 =3，所以 2b+a=6ab，112 2+2= = =- .25+44362+454(3+6)12541812答案：-123.【解析】原式= - x2(+2)11 (1)2+2= - = .x+2x1+2 1+22x+4y-1=0，x+2y= ，12原式= =2.1125.分式运算中的不完全归纳法【跟踪训练】1.【解析】分子依次
20、为 1，3，5，7，9，可表示为 2n-1；分母依次为 22，3 2，4 2，5 2，6 2，可表示为(n+1) 2，所以第 n 个数是 .21(+1)214答案：21(+1)22.【解析】由 = ；21221213 43+214232+2212= = ，(43)+(21)4232+221215计算得65+43+216252+4232+2212= = ，由上面三个式子可以观察出分子等于 n+1 个 1 相加，结果等于 n+1；分母(65)+(43)+(21)6252+4232+221217是(4n+3)+(4n-1)+3= =(n+1)(2n+3)，(+1)(4+3+3)2所以： = = .(
21、2+2)(2+1)+(21)(2+2)2(2+1)2+(2212) n+1(+1)(2+3) 12+3答案： 17 12+36.分式运算在生活中的应用【跟踪训练】【解析】因为第一天捐款 x 人，则第二天捐款(x+50)人，则第一天人均捐款 元，4 800第二天人均捐款 元，6 000+50又 = = .6 000+504 800 6 000+50 x4 80054(+50)所以第二天人均捐款是第一天人均捐款的 倍.54(+50)7.分式方程(1)妙用分式方程的增根【跟踪训练】1.【解析】选 C.方程两边同乘以 x-1 得：m-3=x-1，解得 x=m-2，由题意 x0，且 x-10，即 m-2
22、0，m-2-10，解得 m2 且 m3.2.【解析】选 D. = ，5 a2去分母得：5(x-2)=ax，去括号得：5x-10=ax，移项，合并同类项得：(5-a)x=10，关于 x 的分式方程 = 有解，5 a25-a0，x0 且 x2，即 a5，且 a0.153.【解析】方程两边都乘(x-1)，得 ax+1-(x-1)=0，原方程有增根，最简公分母 x-1=0，即增根为 x=1，把 x=1 代入整式方程，得 a=-1.答案：-14.【解析】根据分式方程有增根，得到 x-1=0，即 x=1，则方程的增根为 x=1.答案：x=1(2)分式方程探究题【跟踪训练】【解析】(1)解是：x 1=c，x 2= ，m检验：当 x1=c 时，方程左边=c+ =右边；当 x2= 时，方程左边= + = +c=右边，故 c 和 是原方程的解.m m mmm m(2)根据题意得：x=a 或 x-1= ，21x 1=a，x 2=1+ = .21a+11
