1、1考点强化练 23 与圆有关的位置关系夯实基础1.(2018山东泰安)如图, M的半径为 2,圆心 M的坐标为(3,4),点 P是 M上的任意一点, PA PB,且 PA、 PB与 x轴分别交于 A、 B两点,若点 A、点 B关于原点 O对称,则 AB的最小值为( )A.3 B.4 C.6 D.8答案 C解析 PA PB, APB=90.AO=BO ,AB= 2PO.若要使 AB取得最小值,则 PO需取得最小值,连接 OM,交 M于点 P,当点 P位于 P位置时, OP取得最小值 .过点 M作 MQ x轴于点 Q,则 OQ=3,MQ=4,OM= 5.MP= 2,OP= 3,AB= 2OP=6,
2、故选 C.2.(2018蒙城模拟)如图,已知平面直角坐标系内三点 A(3,0)、 B(5,0)、 C(0,4), P经过点 A、 B、 C,则点 P的坐标为( )A.(6,8) B.(4,5)C. 4, D. 4,318 338答案 C解析2 P经过点 A、 B、 C, 点 P在线段 AB的垂直平分线上, 点 P的横坐标为 4,设点 P的坐标为(4,y),作 PE OB于 E,PF OC于 F,由题意得, ,解得 y= ,故选 C.42+(y-4)2= 12+y23183.(2018四川自贡)如图,若 ABC内接于半径为 R的 O,且 A=60,连接 OB、 OC,则边 BC的长为 ( )A.
3、 R B. R C. R D. R232 22 3答案 D解析延长 BO交 O于 D,连接 CD,则 BCD=90, D= A=60, CBD=30.BD= 2R,DC=R ,BC= R,故选 D.34.(2018江苏无锡)如图,矩形 ABCD中, G是 BC的中点,过 A、 D、 G三点的 O与边 AB、 CD分别交于点 E、 F.给出下列说法:(1) AC与 BD的交点是 O的圆心;(2) AF与 DE的交点是 O的圆心;(3) BC与 O相切 .其中正确说法的个数是( )A.0 B.1 C.2 D.3答案 C3解析 矩形 ABCD中, A= D=90,AF 与 DE都是 O的直径, AC
4、与 BD不是 O的直径,AF 与 DE的交点是 O的圆心, AC与 BD的交点不是 O的圆心, (1)错误,(2)正确 .连接 AF、 OG,则点 O为 AF的中点,G 是 BC的中点, OG 是梯形 FABC的中位线,OG AB.AB BC,OG BC,BC 与 O相切 . (3)正确 .综上所述,正确结论有两个 .5.(2018浙江湖州)如图,已知 ABC的内切圆 O与 BC边相切于点 D,连接 OB,OD.若 ABC=40,则 BOD的度数是 . 答案 70解析 O内切于 ABC,OB 平分 ABC. ABC=40, OBD=20. BOD=70.6.(2017浙江衢州)如图,在直角坐标
5、系中, A的圆心 A的坐标为( -1,0),半径为 1,点 P为直线y=- x+3上动点,过点 P作 A的切线,切点为 Q,则切线长 PQ的最小值是 . 34答案 2 2解析 作切线 PQ,连接 PA,AQ.有 PQ= ,PA2-AQ2又 AQ=1,故当 AP有最小值时 PQ最小 .过 A作 AP MN,则有 AP最小 =3,此时 PQ 最小 = =2 .32-12 247.(2017湖南常德)如图,已知 AB是 O的直径, CD与 O相切于 C,BE CO.(1)求证: BC是 ABE的平分线;(2)若 DC=8, O的半径 OA=6,求 CE的长 .(1)证明 OC=OB , OCB= O
6、BC.BE CO, OCB= EBC. OBC= EBC.BC 是 ABE的平分线 .(2)解 CD 与 O相切于 C, DCO为直角三角形 .DC= 8, O的半径 OC=OA=6,DO= 10.BE CO,BD和 DE相交于点 D, ,CE= 4.8.DOOB=DCCE8.(2018甘肃白银)如图,在 ABC中, ABC=90.(1)作 ACB的平分线交 AB边于点 O,再以点 O为圆心, OB的长为半径作 O(要求:不写作法,保留作图痕迹) .(2)判断(1)中 AC与 O的位置关系,直接写出结果 .解 (1)如图, O为所求作的圆, OC为所求作的 ACB的平分线 .(2)AC为 O的
7、切线 .9.(2018山东滨州)如图, AB为 O的直径,点 C在 O上, AD CD于点 D,且 AC平分 DAB.求证:(1)直线 DC是 O的切线;5(2)AC2=2ADAO.证明 (1)连接 OC,AC 平分 DAB,所以 DAC= OAC.由题意可知 OA=OC, OAC= OCA. DAC= OCA,OC AD.AD CD, ADC=90. ADC= OCD=90, 直线 DC是 O的切线 .(2)连接 BC,因为 AB是 O的直径,所以 ACB=90,所以 ACB= ADC=90, DAC= BAC,所以 ADC ACB,所以 ,ACAD=ABAC所以 AC2=ADAB,所以 A
8、C2=2ADAO.提升能力10.(2018江苏泰州)如图, ABC中, ACB=90,sin A= ,AC=12,将 ABC绕点 C顺时针旋转 90得513到 ABC,P为线段 AB上的动点,以点 P为圆心、 PA长为半径作 P,当 P与 ABC的边相切时,P的半径为 .导学号 16734133 答案15625或 10213解析 设 P的半径为 r, ACB=90, =sinA= ,BC2+AC2=AB2.BCAB 513AC= 12,BC= 5,AB=13.由旋转得 ACB= ACB=90, A= A,AC=AC=12,BC=BC=5,AB=AB=13, ACB=180,A 、 C、 B三点
9、共线, 点 P到直线 BC的距离小于半径 PA,6 P与直线 BC始终相交,如图 1,过点 P作 PD AC于点 D,则 BDP= BCA=90.图 1 DBP= CBA, BDP BCA, . .PDAC=PBAB PD12=13-r13PD= =12- r.12(13-r)13 1213当 P与 AC边相切时, PD=PA, 12- r=r,r= .1213 15625如图 2,延长 AB交 AB于点 E,图 2 A+ B=90, A= A, A+ B=90, AEB=90,同上得 AE= AB= .1213 20413当 P与 AB边相切时, AE=2PA,r= .10213综上所述,
10、P的半径为 .15625或 1021311.7(2016江苏无锡)如图, AOB中, O=90,AO=8 cm,BO=6 cm,点 C从 A点出发,在边 AO上以 2 cm/s的速度向 O点运动,与此同时,点 D从点 B出发,在边 BO上以 1.5 cm/s的速度向 O点运动,过OC的中点 E作 CD的垂线 EF,则当点 C运动了 s时,以 C点为圆心,1 .5 cm为半径的圆与直线 EF相切 . 答案178解析 当以点 C为圆心,1 .5cm为半径的圆与直线 EF相切时,此时, CF=1.5,AC= 2t,BD= t,32OC= 8-2t,OD=6- t,32 点 E是 OC的中点, CE=
11、 OC=4-t,12 EFC= O=90, FCE= DCO, EFC DOC, .EFOD=CFOCEF= .3OD2OC=3(6-32t)2(8-2t)=98由勾股定理可知 CE2=CF2+EF2, (4-t)2= ,(32)2+(98)2解得 t= 或 t= ,178 478 0 t4, t= .17812.(2018四川绵阳)如图, AB是 O的直径,点 D在 O上(点 D不与 A,B重合) .直线 AD交过点 B的切线于点 C,过点 D作 O的切线 DE交 BC于点 E.(1)求证: BE=CE;(2)若 DE AB,求 sin ACO的值 .(1)证明 连接 OD,如图,EB ,E
12、D为 O的切线,8EB=ED ,OD DE,AB CB, ADO+ CDE=90, A+ ACB=90.OA=OD , A= ADO. CDE= ACB.EC=ED.BE=CE.(2)解 作 OH AD于 H,如图,设 O的半径为 r,DE AB, DOB= DEB=90. 四边形 OBED为矩形,而 OB=OD, 四边形 OBED为正方形,DE=CE=r.易得 AOD和 CDE都为等腰直角三角形,OH=DH= r,CD= r.22 2在 Rt OCB中, OC= r,(2r)2+r2= 5在 Rt OCH中,sin OCH= ,OHOC= 22r5r= 1010即 sin ACO的值为 .1
13、010创新拓展13.如图,四边形 ABCD内接于 O,对角线 AC为 O的直径,过点 C作 AC的垂线交 AD的延长线于点 E,点 F为 CE的中点,连接 DB,DC,DF.(1)求 CDE的度数;(2)求证: DF是 O的切线;(3)若 AC=2 DE,求 tan ABD的值 .5(1)解 对角线 AC为 O的直径, ADC=90, CDE=90.9(2)证明 如图,连接 DO, EDC=90,F是 EC的中点, DF=FC , FDC= FCD,OD=OC , OCD= ODC, OCF=90, ODF= ODC+ FDC= OCD+ DCF=90,又 点 D在 O上, DF 是 O的切线 .(3)解 由题意可得 ABD= ACD, E+ DCE=90, DCA+ DCE=90, DCA= E,又 ADC= CDE=90, CDE ADC, ,DC 2=ADDE,DCAD=DEDCAC= 2 DE,5 设 DE=x,则 AC=2 x,5则 AC2-AD2=ADDE,即(2 x)2-AD2=ADx,5整理得 AD2+ADx-20x2=0,解得 AD=4x或 -5x(负数舍去),则 DC= =2x,(2 5x)2-(4x)2故 tan ABD=tan ACD= =2. 导学号 16734134ADDC=4x2x10
