1、1考点强化练 17 全等三角形夯实基础1.(2018南京)如图, AB CD,且 AB=CD.E、 F 是 AD 上两点, CE AD,BF AD.若 CE=a,BF=b,EF=c,则 AD的长为 ( )A.a+cB.b+cC.a-b+cD.a+b-c答案 D解析 AB CD,CE AD,BF AD, AFB= CED=90, A+ D=90, C+ D=90, A= C.AB=CD , ABF CDE,AF=CE=a ,BF=DE=b,EF=c ,AD=AF+DF=a+ (b-c)=a+b-c.故选 D.2.(2018贵州安顺)如图,点 D,E 分别在线段 AB,AC 上, CD 与 BE
2、相交于 O 点,已知 AB=AC,现添加以下的哪个条件仍不能判定 ABE ACD( )A. B= C B.AD=AEC.BD=CE D.BE=CD答案 D解析 利用判断三角形全等的方法判断即可得出结论 .3.2(2018安徽名校联考)如图,已知 CD=CA,1 =2,要使 ECD BCA,需添加的条件是 (只写出一个条件) . 答案 CE=CB(或 D= A 或 E= B)解析 1 =2,可得 DCE= ACB.CD=CA ,若添加 CE=CB,可根据“SAS”判断两三角形全等;若添加 D= A,可根据“ASA”判断两三角形全等;若添加“ E= B”,可根据“AAS”判定两三角形全等,故答案为
3、 CE=CB(或 D= A 或 E= B).4.(2018山东临沂)如图, ACB=90,AC=BC.AD CE,BE CE,垂足分别是点 D、 E,AD=3,BE=1,则 DE的长是 . 答案 2解析 根据条件可以得出 E= ADC=90,进而得出 CEB ADC,BE=DC= 1,CE=AD=3.DE=EC-CD= 3-1=2.5.(2018浙江嘉兴)已知:在 ABC 中, AB=AC,D 为 AC 的中点, DE AB,DF BC,垂足分别为点 E,F,且DE=DF.求证: ABC 是等边三角形 .证明 DE AB,DF BC,垂足分别为点 E,F, AED= CFD=90,D 为 AC
4、 的中点, AD=DC ,在 Rt ADE 和 Rt CDF 中, AD=DC,DE=DF, Rt ADERt CDF, A= C.BA=BC ,AB=AC ,AB=BC=AC. ABC 是等边三角形 .6.(2018江苏镇江)如图, ABC 中, AB=AC,点 E、 F 在边 BC 上, BE=CF,点 D 在 AF 的延长线上, AD=AC.(1)求证: ABE ACF;3(2)若 BAE=30,则 ADC= . (1)证明 AB=AC , B= ACF,在 ABE 和 ACF 中, AB=AC, B= ACF,BE=CF, ABE ACF(SAS).(2) ABE ACF, BAE=3
5、0, BAE= CAF=30.AD=AC , ADC= ACD, ADC= =75.180-302故答案为 75.7.(2018内蒙古通辽)如图, ABC 中, D 是 BC 边上一点, E 是 AD 的中点,过点 A 作 BC 的平行线交 BE的延长线于 F,且 AF=CD,连接 CF.(1)求证: AEF DEB;(2)若 AB=AC,试判断四边形 ADCF 的形状,并证明你的结论 .证明 (1)E 是 AD 的中点, AE=DE ,AF BC, AFE= DBE, EAF= EDB. AEF DEB(AAS).(2)四边形 ADCF 是平行四边形 .证明如下:连接 DF,AF CD,AF
6、=CD, 四边形 ADCF 是平行四边形 . AEF DEB,FE=BE.AE=DE , 四边形 ABDF 是平行四边形, DF=AB ,AB=AC ,DF=AC ,4 四边形 ADCF 是矩形 .8.(2017湖北恩施)如图, ABC, CDE 均为等边三角形,连接 BD、 AE 交于点 O,BC 与 AE 交于点 P.求证: AOB=60.证明 在 ACE 和 BCD 中,AC=BC, ACE= BCD,CE=CD. ACE BCD, CAE= CBD, AOB=180- BAO- ABO=180- BAO- ABC- CBD=180- ABC- BAO- CAE=180-60-60=60
7、.9.(2017重庆)在 ABM 中, ABM=45,AM BM,垂足为 M.点 C 是 BM 延长线上一点,连接 AC.(1)如图 1,若 AB=3 ,BC=5,求 AC 的长;2(2)如图 2,点 D 是线段 AM 上一点, MD=MC,点 E 是 ABC 外一点, EC=AC,连接 ED 并延长交 BC 于点 F,且点 F 是线段 BC 的中点,求证: BDF= CEF.(1)解 AM BM, AMB= AMC=90. ABM=45, ABM= BAM=45,AM=BM.AB= 3 ,AM=BM= 3.2BC= 5,MC= 2.AC= .22+32= 13(2)证明 延长 EF 到点 G
8、,使得 FG=EF,连接 BG.5DM=MC , BMD= AMC=90,BM=AM, BMD AMC,AC=BD.又 CE=AC,BD=CE , 点 F 是线段 BC 的中点,BF=FC.BF=FC , BFG= EFC,FG=FE, BFG CFE,BG=CE , G= E.BD=CE=BG , BDG= G, BDF= E.提升能力10.(2018山东东营)如图,点 E 在 DBC 的边 DB 上,点 A 在 DBC 内部, DAE= BAC=90,AD=AE,AB=AC.给出下列结论:BD=CE ; ABD+ ECB=45;BD CE;BE 2=2(AD2+AB2)-CD2.其中正确的
9、是( )A. B.C. D.答案 A解析 DAE= BAC=90, DAB= EAC,AD=AE ,AB=AC, DAB EAC,BD=CE , ABD= ACE,故 正确; ABD+ ECB= ECA+ ECB= ACB=45,故 正确; ECB+ EBC= ABD+ ECB+ ABC=45+45=90, CEB=90,即 CE BD,故 正确;BE 2=BC2-EC2=2AB2-(CD2-DE2)=2AB2-CD2+2AD2=2(AD2+AB2)-CD2,故 正确 .故选 A.11.6(2018广东深圳)如图,四边形 ACDF 是正方形, CEA 和 ABF 都是直角且点 E,A,B 三点
10、共线, AB=4,则阴影部分的面积是 . 答案 8解析 四边形 ACDF 是正方形,AC=AF , CAF=90, EAC+ FAB=90, ABF=90, AFB+ FAB=90. EAC= AFB,在 CAE 和 AFB 中, CAE= AFB, AEC= FBA,AC=AF, CAE AFB,EC=AB= 4, 阴影部分的面积 = ABCE=8.1212.(2018安徽名校联考)如图,在 ABC 中, D 为 AC 边中点,过点 D 作 AC 边垂线,与 BC 边交于点 E,以点 A 为圆心, EC 长为半径画圆,交直线 ED 于点 F,有下列结论: AFD CED; BAC= C;ED
11、=FD ;AB EF,其中正确的结论是 (请将正确结论的序号都填上) .导学号 16734120 答案 解析 正确,可以根据 HL 证明 ADF CDE. 错误,连接 AE,可得 AE=EC, C= EAC,推出 BAC C,无法判断 BAC=90,即无法判断 AB EF,故 错误 .13.(2017江苏泰州)如图,正方形 ABCD 中, G 为 BC 边上一点, BE AG 于 E,DF AG 于 F,连接 DE.(1)求证: ABE DAF;(2)若 AF=1,四边形 ABED 的面积为 6,求 EF 的长 .(1)证明 在正方形 ABCD 中, AB=AD, BAD=90,即 DAF+ BAE=90.BE AG,DF AG, AEB= DFA=90. ABE+ BAE=90,7 ABE= DAF, ABE DAF.(2)解 设 EF=x,则 AE=1+x.由(1)可知 ABE DAF,故 BE=AF=1,DF=AE=1+x.S 四边形 ABED=S ABE+S AED= BEAE+ AEDE= (1+x)+ (1+x)2,12 12 12 12又 S 四边形 ABED=6, (1+x)+ (1+x)2=6,12 12解得 x1=-5(不合题意,舍去), x2=2.故 EF 的长为 2.
