1、1考点强化练 18 相似三角形夯实基础1.(2018广东)在 ABC中,点 D、 E分别为边 AB、 AC的中点,则 ADE与 ABC的面积之比为( )A. B.12 13C. D.14 16答案 C解析 相似三角形面积比等于相似比的平方,由中位线性质知相似比为 1 2,所以 ADE与 ABC的面积之比为 .142.(2018浙江义乌)学校门口的栏杆如图所示,栏杆从水平位置 BD绕 O点旋转到 AC位置,已知AB BD,CD BD,垂足分别为 B,D,AO=4 m,AB=1.6 m,CO=1 m,则栏杆 C端应下降的垂直距离 CD为( )A.0.2 m B.0.3 m C.0.4 m D.0.
2、5 m答案 C解析 AB BD,CD BD, ABO= CDO=90, AOB= COD(对顶角相等), AOB COD, ,AOAB=COCD,41.6=1CDCD= 0.4m,故选 C.3.(2017四川攀枝花)如图, D是等边 ABC边 AB上的点, AD=2,BD=4.现将 ABC折叠,使得点 C与点D重合,折痕为 EF,且点 E,F分别在边 AC和 BC上,则 = . CFCE答案542解析 由题易知 A= B= EDF=60, AED= FDB. AED BDF, .EDDF=AE+ED+ADDF+BF+DB由翻折易知 EC=ED,FC=FD, . .CFEC=BC+BDAC+AD
3、 CFEC=544.(2018四川巴中)如图,已知在 ABC中, BC边上的高 AD与 AC边上的高 BE交于点 F,且 BAC=45,BD=6,CD=4,则 ABC的面积为 . 答案 60解析 先推导出 ABE是等腰直角三角形,再根据等腰直角三角形的性质可得 AE=BE,利用同角的余角相等求出1 =2,然后利用“角边角”证明 AFE和 BCE全等;求出 BC的长为 6+4=10,再根据全等三角形对应边相等可得 AF=BC=10,然后求出 ACD和 BFD相似,设 DF=x. ADC BDF, , .ADDC=BDDF 10+x4 =6x整理得 x2+10x-24=0,解得 x=2或 -12(
4、舍弃),AD=AF+DF= 12,S ABC= BCAD= 1012=60.12 125.(2018江苏常州)如图,在 ABC纸板中, AC=4,BC=2,AB=5,P是 AC上一点,过点 P沿直线剪下一个与 ABC相似的小三角形纸板,如果有 4种不同的剪法,那么 AP长的取值范围是 . 答案 3 APy2.67=303530374所以甲同学设计的方案较好 .7.(2018山东莱芜)已知 ABC中, AB=AC, BAC=90,D、 E分别是 AB、 AC的中点,将 ADE绕点 A按顺时针方向旋转一个角度 (0 BCD矛盾,舍去 .综上所述, ACB=96或 114.(3)由已知得 AC=AD
5、=2. BCD BAC, ,设 BD=x,BCBA=BDBC则( )2=x(x+2),解得 x=-1 ,2 3x 0,x= -1.3 BCD BAC, ,CDAC=BDBC= 3-126CD= 2= -1)= . 导学号 167341213-12 2( 3 6- 2提升能力9.(2018内蒙古包头)如图,在 Rt ACB中, ACB=90,AC=BC,D是 AB上的一个动点(不与点 A、 B重合),连接 CD,将 CD绕点 C顺时针旋转 90得到 CE,连接 DE,DE与 AC相交于点 F,连接 AE.下列结论: ACE BCD; 若 BCD=25,则 AED=65;DE 2=2CFCA; 若
6、 AB=3 ,AD=2BD,则 AF= .253其中正确的结论是 .(填写所有正确结论的序号) 答案 解析 由题意易得 BCD= ACE,由“边角边”证明 ACE BCD,故 正确; ACE BCD, CAE= CBD=45. BCD=25, ACE= BCD=25. AED= AEC- CED=(180-25-45)-45=65,故 正确; CAE= CED=45, ACE= FCE, ACE ECF, ,ACEC=ECFC即 EC2=ACFC.在 Rt DCE中, DE2=2CE2=2FCAC,DE 2=2CFCA,故 正确; 作 DM BC于点 M,DM=BM= 1.CM= 3-1=2,
7、DC=CE= .5由 可知 DE2=2CFCA, ( CE)2=23FC.2FC= .106=53AF= 3- ,故 错误 .53=43710.(2018海南)已知,如图 1,在 ABCD中,点 E是 AB中点,连接 DE并延长,交 CB的延长线于点 F.图 1图 2(1)求证: ADE BFE;(2)如图 2,点 G是边 BC上任意一点(点 G不与点 B,C重合),连接 AG交 DF于点 H,连接 HC,过点 A作 AK HC,交 DF于点 K. 求证: HC=2AK; 当点 G是边 BC中点时,恰有 HD=nHK(n为正整数),求 n的值 .解 (1)证明:在 ABCD中,有 AD BC,
8、 ADE= F. 点 E是 AB中点, AE=BE. AED= BEF, ADE BFE.(2) 在 ABCD中,有 AB CD,AB=CD. AEK= CDH,AK HC, AKE= CHD, AEK CDH. .AECD=AKCHE 是边 AB的中点, 2AE=AB=CD,HC= 2AK. 当点 G是边 BC中点时,在 ABCD中,有 AD BC,AD=BC, AHD GHF, .ADGF=HDHF由(1)得, ADE BFE,AD=BF.G 是 BC中点, 2BG=AD=BF, ,DH= HF.ADGF=23=DHHF 23AD FC, ADK= F.AK HC,8 AKH= CHK,
9、AKD= CHF. AKD CHF. ,KD= HF,HK=HD-KD= HF, =4,n= 4.ADCF=KDHF=12 12 16 HDHK11.(2017辽宁大连)如图 1,四边形 ABCD的对角线 AC,BD相交于点O,OB=OD,OC=OA+AB,AD=m,BC=n, ABD+ ADB= ACB.(1)填空: BAD与 ACB的数量关系为 ; (2)求 的值;mn(3)将 ACD沿 CD翻折,得到 ACD(如图 2),连接 BA,与 CD相交于点 P.若 CD= ,求 PC的长 .5+12解 (1) BAD+ ACB=180(2)如图,作 DE AB,交 AC于点 E,则 DEA=
10、BAE, OBA= ODE,又 OB=OD , OAB OED(AAS).AB=DE ,OA=OE.设 AB=DE=CE=x,OA=OE=y, EDA+ DAB=180, EDA= ACB. DEA= EAB, EAD ABC. ,EDAC=AEAB=DACB=mn即 ,4y2+2xy-x2=0.xx+2y=2yx -1=0,解得 .(2yx)2+2yx 2yx= -1+ 529 .mn= 5-12(3)DE=CE , DCA= DCA,DE CA.AB DE,AB CA. ABC+ ACB=180. EAD ACB, DAE= BCA= DAE. DAE+ BCA=180,AD BC. PA
11、D PBC,PC= CD=1. 导学号 16734122nm+n创新拓展12.如图,在 Rt ABC中, ACB=90,AC=5 cm, BAC=60,动点 M从点 B出发,在 BA边上以每秒 2 cm的速度向点 A匀速运动,同时动点 N从点 C出发,在 CB边上以每秒 cm的速度向点 B匀速运动,设3运动时间为 t秒(0 t5),连接 MN.(1)若 BM=BN,求 t的值;(2)若 MBN与 ABC相似,求 t的值;(3)当 t为何值时,四边形 ACNM的面积最小?并求出最小值 .解 (1) 在 Rt ABC中, ACB=90,AC=5, BAC=60,AB= 10,BC=5 .3由题意知
12、 BM=2t,CN= t,BN=5 t,3 3- 3由 BM=BN,得 2t=5 t.3- 3解得 t= =10 -15.532+ 3 3(2) 当 MBN ABC时, ,MBAB=BNBC即 .解得 t= .2t10=53- 3t53 5210 当 NBM ABC时, ,NBAB=BMBC即 .解得 t= .53- 3t10 = 2t53 157综上所述,当 t= 或 t= 时, MBN与 ABC相似 .52 157(3)如图,过 M作 MD BC于点 D,则 MD=t.设四边形 ACNM的面积为 y,则 y=S ABC-S BMN= ACBC- BNMD12 12= 55 (5 t)t= t2- t+12 3-12 3- 3 32 532 2532= .32(t-52)2+758 3根据二次函数的性质可知,当 t= 时,52y的值最小,此时, y 最小 = . 导学号 16734123758 3
