1、1山东省泰安第一中学 2018-2019 学年高二上学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1.“ ”是“ ”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不是充分条件也不是必要条件【答案】B【解析】由 可得 ，所以当 成立时可得到 成立，反之不成立，所以 是的必要不充分条件，选 B.2.等差数列a n中，a 4=13，a 6=9，则数列a n前 9 项的和 S9等于（ ）A. 66 B. 99 C. 144 D. 297【答案】B【解析】【分析】由已知结合等差数列的性质可得，a 1+a9=a4+a6，代入求和公式 S9= 可求【详解
2、】等差数列a n中，a 4=13，a 6=9，a 1+a9=a4+a6=22，则数列a n前 9 项的和 S9=99.9(a1+a9)2故选 B.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质及求和公式的简单应用，属于基础试题3. 下列结论正确的是A. 若 ，则 B. 若 ，则ab,cd acbd ab,cd adbcC. 若 ，则 D. 若 ，则ab,cd acbd ab,cdadbc【答案】B【解析】出题考查不等式的性质所以不能推导出 ，A 错ab,cd ab,cbd2B 对因为不知道 的正负情况，所以 C,D 是错的a,b,c,d答案 B点评：不等式两边同时乘以或者除以一个负数时，不等式要变化。4
3、.命题“ ， | | ”的否定是（ ）xR x +x20A. ， | | B. ， | |xR x +x2b0) C2 x2a12y2b12=1(a1b10)焦点，它们在第一象限内交于点 ， ，若椭圆的离心率 ，则双曲M e34,223线 的离心率 的取值范围为（ ）C2 e1A. B. 2147,322 2147, 2)C. D. ( 2,322 322,+)【答案】B【解析】试题分析：设 ，则 ，又 ， ，所以|MF1|=x,|MF2|=y x2+y2=(F1F2)2=4c2 x+y=2a xy=2a1， ，则 ，由 得 ，又 ，所以x2+y2(x+y)2=e2 x2+y2(xy)2=e2
4、1 1e2+1e21=2 e34，223 e12147,322 a1b1，即 ，所以 故选 Be21=c2a21=a21+b21a21 0时 ，x29ky216k=1 9k+16k=(202)2=100k=4,为x236y264=1;有 ，又焦距为 20,所以 ；则双曲线的标准方程kx2x m(x2x)max结合二次函数的性质可得，对于二次函数 ，f(x)=x2x当 时，函数取得最大值 ，x=2 f(2)=2综上可得， 的取值范围是 .m m2点睛：含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：一是利用二次函数区间上的最值来处理；二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般后
5、者比较简单16.已知 为椭圆 上任意一点， 为圆 的任意一条直径，则Px216+y215=1 EF N:(x1)2+y2=4的取值范围是_ PEPF【答案】5,21【解析】8因为 PEPF=(NE-NP)(NF-NP)=NENF-NP(NE+NF)+NP2.=-|NE|NF|cos-0+|NP|2=-4+|NP|2又因为椭圆 的 ，x216+y215=1 a=4,b= 15，c=1N(1,0)为椭圆的右焦点， |NP|a-c,a+c=3,5 .PEPF5,21故答案为：5,21.三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分）17.设命题 p：实数 x 满足 x2-2ax-3a20（a0）
6、，命题 q：实数 x 满足 02-xx-4（）若 a=1，p，q 都为真命题，求 x 的取值范围；（）若 q 是 p 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围【答案】 （）2，3） ； （） .43a 2【解析】【分析】（）把 a=1 代入 x2-2ax-3a20，化为 x2-2x-30，可得-1x3；求解分式不等式可得q 为真命题的 x 的范围，取交集得答案；（）求解 x2-2ax-3a20（a0） ，得-ax3a，由 0，得 2x4，由 q 是 p 的充2-xx-4分不必要条件，可得2，4）（-a，3a） ，由此列关于 a 的不等式组求解【详解】 （）a=1，则 x2-2ax-3a20 化
7、为 x2-2x-30，即-1x3；若 q 为真命题，则 0，解得 2x42-xx-4p，q 都为真命题时 x 的取值范围是2，3） ；（）由 x2-2ax-3a20（a0） ，得 ax3a，由 0，得 2x4，2-xx-4q 是 p 的充分不必要条件，2，4）（a，3a） ，则 ，即 ab0) ca=22，解出求出、 的值即可得出椭圆的方程；（ ）由题意得点 ，4a2+1b2=1,a2=b2+c2 b Q(2,0)设直线方程为 ，将直线 ，代入椭圆方程得到x=ty+2(t0),A(x1,y1),B(x2,y2) x=ty+2(t0)，利用向量的坐标运算性质、一元二次方程的根与系数的关系列方程(
8、2+t2)y2+4ty2=0即可得出的值，从而可求得直线方程试题解析：（）设椭圆 C 的方程为 + =1（ab0） ，由题意得 = ， + =1，a 2=b2+c2解得 a2=6，b 2=c2=3，则椭圆 C： = =1（）由题意得点 Q（2，0） ，设直线方程为 x=ty+2（t0） ，A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则 =（x 12，y 1） ， =（x 22，y 2） ，由 3 + = ，得 3y1+y2=0，y1+y2=2y 1，y 1y2=3 ，得到 = （*）11将直线 x=ty+2（t0） ，代入椭圆方程得到（2+t 2）y 2+4ty2=0，y 1+y2= ，y
9、 1y2= ，代入（*）式，解得：t 2= ，直线 l 的方程为：y= （x2） 【方法点晴】本题主要考查待定系数求椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系和平面向量的线性运算，属于难题.用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；作判断：根据条件判断椭圆的焦点在 轴上，还是在 轴上，还是两个坐标轴都有可能；设方程：根据上述判断设方x y程 或 ；找关系：根据已知条件，建立关于、 、的x2a2+y2b2=1(ab0) x2b2+y2a2=1(ab0) b方程组；得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.20.已知数列a n的前 n 项和为 Sn，a 12.当 n2 时，S n1 1，a n，S n1 成等差
10、数列(1)求证：S n1是等比数列；(2)求数列na n的前 n 项和 Tn.【答案】 （1）见解析（2）T n(2n1)3n+12【解析】解：(1)证明：S n1 1，a n，S n1 成等差数列，2a nS nS n1 2(n2)2(S nS n1 )S nS n1 2，即 Sn3S n1 2，S n13(S n1 1)(n2)S n1是首项为 S113，公比为 3 的等比数列(2)由(1)可知 Sn13 n，S n3 n1.当 n2 时，a nS nS n1 23 n1 .又 a12，a n23 n1 (nN *)na n2n3 n1T n24363 22(n1)3 n2 2n3 n1
11、，3Tn2343 263 32(n1)3 n1 2n3 n，由得，2T n22323 223 n1 2n3 n 2n3n3 n12n3 n，2(13n)13T n .(2n1)3n+121221.某科研小组研究发现：一棵水果树的产量 （单位：百千克）与肥料费用（单位：百元）w满足如下关系： 此外，还需要投入其它成本（如施肥的人工费(x)=12x2+1(0x2)431+x(2x5)等） 百元已知这种水果的市场售价为 16 元/千克（即 16 百元/百千克） ，且市场需求始2x终供不应求记该棵水果树获得的利润为 （单位：百元） L(x)（1）求 的函数关系式；L(x)当投入的肥料费用为多少时，该水
12、果树获得的利润最大？最大利润是多少？【答案】 （1） （2）当投入的肥料费用为 300 元时，种植该果L(x)=8x2+163x(0x2)64481+x3x(2x5)树获得的最大利润是 4300 元【解析】【分析】（1）收入等于售价乘以产量： ，减去成本 即为利润（2）求分段函数最值，16w(x) 2x+x先求各段函数最大值，再取两者最大值中较大的，一个是二次函数最值，注意研究对称轴与定义区间位置关系，一个是对勾函数，利用基本不等式求最值，注意等于号是否取到.【详解】 （1） L(x)=16w(x)-2x-x=8x2+16-3x(0x2)64- 481+x-3x(2x5)（2）当 0x2时 L
13、(x)max=L(2)=42当 2x5时 L(x)=67-8x+1+3(x+1) 67-2 48x+1+3(x+1)=43当且仅当 时，即 时等号成立48x+1=3(x+1) x=3答：当投入的肥料费用为 300 元时，种植该果树获得的最大利润是 4300 元【点睛】这个题目考查了函数的实际应用；对于这种题目，首先理解好题意，找到函数模型，列出数学表达式，注意函数的定义域要结合实际。在处理表达式时，通常会遇到求函数的最值和值域的问题，可能通过换元将函数转化为熟悉的二次函数，或单调函数的模型.22. （本小题满分 16 分）在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C： （ab0）的上顶点到焦点的距离
14、为 2，离x2a2+y2b2=1心率为 32（1）求 a，b 的值13（2）设 P 是椭圆 C 长轴上的一个动点，过点 P 作斜率为 k 的直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点（）若 k1，求OAB 面积的最大值；（）若 PA2PB 2的值与点 P 的位置无关，求 k 的值【答案】 （1） y 21 （2） （）m 时，S OAB 取得最大值 1 （） .x24 102 12【解析】试题分析：（1）由椭圆几何条件知上顶点到焦点的距离为半长轴长，即 a2，又 e，所以 c ，故 b1 （2） （）求OAB 面积的最大值，关键建立其函数关系式，=ca=32 3这要用到点到直线距离公式来求高，利用
15、两点间距离公式来求底边边长：设点 P（m，0）（2m2） ，直线 l 的方程为 yxm则可求得AB| ，高为 ，从而 SOAB 425m25 |m|2|m|，利用基本不等式求最值（）由题意先表示出 PA2PB 2， 再按 m 整理，最后根25m25据与点 P 的位置无关得到对应项系数为零，从而解出 k 的值试题解析：（1）由题设可知 a2，e ，所以 c ，故 b1=ca=32 3因此，a2，b1 2 分（2）由（1）可得，椭圆 C 的方程为 y 21x24设点 P（m，0） （2m2） ，点 A（x 1，y 1） ，点 B（x 2，y 2） ()若 k1，则直线 l 的方程为 yxm联立直线
16、 l 与椭圆 C 的方程，即 将 y 消去，化简得y=xmx24+y2=1 2mxm 210从而有 x1x 2 ，x 1 x2 ，5x24 8m5 4(m21)5而 y1x 1m，y 2x 2m，因此，AB|425m25点 O 到直线 l 的距离 d ，|m|2所以，S OAB |AB|d |m|，12 25m25因此，S 2OAB ( 5m 2)m2 1146 分又2m2，即 m20，4所以，当 5m 2m 2，即 m2 ， m 时，S OAB 取得最大值 18 分()设直线 l 的方程为 yk(xm).将直线 l 与椭圆 C 的方程联立，即 将 y 消去，化简得(14k 2)x28mk 2x4(k 2m21)0，解此方程，可得，x1x 2 ，x 1x2 10 分所以，PA2PB 2(x 1m) 2y 12(x 2m) 2y 22 (x12x 22)2m(x 1x 2)2m 22 （*）. 14 分因为 PA2PB 2的值与点 P 的位置无关，即（*）式取值与 m 无关，所以有8k 46k 220，解得 k 所以，k 的值为 . 16 分考点：椭圆基本量，直线与椭圆位置关系
