1、1聊城一中 2016 级高三第一学期期中考试数学（理科）试题一、选择题。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.1.已知集合 ， ，则 ( )A. 2，+ ） B. 1，2 C. （1，2 D. （ ，1【答案】C【解析】【分析】由题意，可求出 ， ，进而求出 ，然后与 取交集即可。【详解】由题意， ，故 ； 等价于 ，故，则 ，故 .故选 C.【点睛】本题考查了集合的交集与补集，考查了不等式的求法，函数值域的求法，属于基础题。2.若复数满足 ，其中为虚数单位，则复数的共轭复数的模为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由 ，可求出的共轭复数及它的模。z=-
2、2i1-i=1-i【详解】由题意 ，则 ，所以的模为 .z=-2i1-i=-2i(1+i)(1-i)(1+i)=-i(1+i)=1-i z=1+i 12+12= 2故选 A.【点睛】本题考察了复数的除法运算，共轭复数及复数的模的概念。3.下列命题中正确的是（ ）A. “ ”是“ ”的充分不必要条件x1 log2(x+1)12B. 若 则 恒成立x0 xsinxC. 命题“ ”的否定是“ ”x0(0,+),lnx0=x0-1 x(0,+),lnxx-1D. 命题“若 ，则 或 ”的逆否命题是“ 若 或 ，则 ”x2=2 x= 2 x=- 2 x 2 x- 2 x22【答案】B【解析】【分析】选项
3、 A 是充要条件，选项 B，可以构造函数，判断单调性进而可以证明结论成立，选项 C和 D 分别写出否定和逆否命题即可判断都是错误的。【详解】对于 A，充分性：当 时， ，故充分性成立；必要性：由x1 log2(x+1)log22=1，则 ，即 ，故必要性成立，所以 A 错误；log2(x+1)1=log22 x+12 x1对于 B，令 ， 恒成立， 在 单调递增，f(x)=x-sinx f(x)=1-cosx0 f(x)=x-sinx (0， +)， ,B 为真命题；f(x)f(0)=0 xsinx对于 C，命题“ ”的否定是“ ”，故 C 错误；x0(0,+),lnx0=x0-1 x(0,+
4、),lnxx-1对于 D，命题“若 ，则 或 ”的逆否命题是 “若 且 ，则 ”，x2=2 x= 2 x=- 2 x 2 x- 2 x22故 D 错误。故答案为 B.【点睛】本题考查了条件关系，命题和复合命题的真假判定、逆否命题、命题的否定，属于基础题。4.等比数列 中， ，则数列 的前 19 项和等于( )an a10=6 log6anA. 6 B. 9 C. 12 D. 19【答案】D【解析】【分析】由等比数列的性质， ，a1a2.a19=(a10)19=619可得到答案。S19=log6a1+log6a2+.+log6a19=log6(a1a2.a19)=log6(a10)19【详解】由
5、题意， ，a1a2.a19=(a10)19=6193则 .S19=log6a1+log6a2+.+log6a19=log6(a1a2.a19)=log6(a10)19=19故答案为 D.【点睛】本题考查了等比数列的性质，对数的运算法则，属于基础题。5.已知函数 （ ）f(x)=3x+1(x0到，则 的最小值为（ ）A. B. C. D. 6 56 12 512【答案】C【解析】【分析】由 ，而 的图象向左平移 个单位后32sin2x+cos2x-12=32sin2x+1+cos2x2 -12=sin(2x+6) y=sin2x 的解析式为 ，只需 ， ，即可求出 的最小值为 .y=sin(2x
6、+2) =12+k(kN) 0 12【详解】由 ，32sin2x+cos2x-12=32sin2x+1+cos2x2 -12=sin(2x+6)所以 ，函数 的图象向左平移 个单位后的解析式为 ，f(x)=sin(2x+6) y=sin2x y=sin(2x+2)4从而 ， ，有 的最小值为 故选：C=12+k(kN) 0 12【点睛】本题考查了三角函数恒等变换，三角函数图象的平移变换，属于基础题。7.已知 M 是 ABC 内的一点，且 ， ，若 MBC， MCA 和 MAB 的面ABAC=43 BAC=30积分别为 1， ， ，则 的最小值是（ ）x yy+4xxyA. 2 B. 8 C.
7、6 D. 3【答案】D【解析】【分析】由 ， ，可知 ，进而求出 ，从而 ，而ABAC=43 BAC=30 bc=8 SABC=12bcsin30=2 x+y=1，利用基本不等式求最小值即可。y+4xxy=1x+4y=(1x+4y) (x+y)=5+yx+4xy【详解】 ， ， ，化为 ABAC=43 BAC=30 bccos30=43 bc=8 SABC=12bcsin30=12812=2 则 ，1+x+y=2 x+y=1而 =5+4=9，y+4xxy=1x+4y=(1x+4y) (x+y)=5+yx+4xy5+2yx4xy当且仅当 ，即 时取等号，yx=4xy y=2x故 的最小值是 9，
8、故选：Dy+4xxy【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值，考查了向量的数量积，三角形的面积公式，属于中档题。8.设 l、 m、 n 表示不同的直线， 、 、表示不同的平面，给出下列四个命题： 若 ；m/l,且 m,则 l若 ；m/l,且 m/,则 l/若 ；=l,=m,=n,则 l/m/n若 =m,=l,=n,且 n/,则 m/l.其中正确命题的个数是 （ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 45【答案】B【解析】易知命题正确；在命题的条件下，直线 可能在平面 内，故命题为假；在命题的条件下，三条直线可以相交于一点，故命题为假；在命题中，由 知， 且=n，由 及 ， ，得 n m，同理 n
9、 ，故 m ，命题正确，=m故选 B.9.设 ， 满足约束条件 ，若 的最大值为 ，则 的最小值为（ ）x y2xy0x+y1ya z=x+y 6 x+ayA. 4 B. C. D. 12 3 14【答案】D【解析】【分析】作出 x， y 满足约束条件 所表示的平面区域，直线 ，经过点 时，目标函yax+y12x-y0 z=x+y A数取得最大值 6，可求出的值，然后利用斜率求出 的最大值即为 的最小值。yx+a x+ay【详解】作出 x， y 满足约束条件 所表示的平面区域，yax+y12x-y0 由 解得 ，直线 ，经过交点 时，目标函数取得最大值 6，可得 ，y=a2x-y=0 A(a2
10、,a) z=x+y A a2+a=6解得=4，则 的几何意义是：可行域的点与（4，0）连线的斜率，由可行域可知yx+a= yx+4（4，0）与 连线的斜率最大，B6由 可得 B（3，4） ，则 的最大值为 4，即 的最小值为 .y=4x+y=1 yx+a x+ay 14故选 D【点睛】本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想。需要注意的是：一、准确无误地作出可行域;二、画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三、一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得。10.函数 图像如图，在定义域
11、内可导，且其导函数为 ，则不等式 的f(x) (2,) f(x) f(x)sinx0 x(0,) sinx0则 等价于 ，分别求解即可得到答案。f(x)sinx0 x(-2,-4)当 时，因为 ，则 等价于 ，所以 ，x(0,) sinx0 f(x)sinxe ea0 f(x)0 x1 f(x)-e【点睛】本题考查了函数的极值，考查了利用导数求函数的单调性，属于中档题。二填空题.13.已知直线 ，当 时， ，则此直线的方程为_（写成直线方y=kx+b x-3,4 y-8,13程的斜截式形式）【答案】 或y=3x+1 y=3x+4【解析】【分析】分 和 三种情况分别讨论即可。k0,k0 y=kx
12、+b -3k+b=-84k+b=13 k=3， b=1程为 ；y=3x+19当 时，函数 单调递减，则 ，解得 ，直线方程为k0 a1009+a10100 a1009a10100立的最大自然数 是_n【答案】2018【解析】【分析】由题意知， ， ，公差 ,由此结合等差数列的前 项和公式可以得到a10090 a10100 S20180 S20190 a1009+a10100 a1009a10100 a10100 S2018=2018(a1+a2018)2 =2018(a1009+a1010)2 0，S2019=2019a1+a20192 =2019a10100 n【点睛】本题考查了等差数列的性
13、质，考查了等差数列的前 项和，属于中档题。n15.计算： _tan123(4cos2122)sin12+(1+tan17)(1+tan28)=【答案】 2【解析】【分析】由 ，再利用二倍角公式和两角之差的正弦公式可化为tan12-3(4cos212-2)sin12= sin12-3cos122sin12cos12cos24，而 ，利用2sin(12-60)12sin48 =-4 (1+tan17)(1+tan28)=1+tan17+tan28+tan17tan28，得到 代入原式即可tan45=tan(17+28)=tan17+tan281-tan17tan28 tan17+tan28=1-t
14、an17tan28得到答案。10【详解】原式 =sin12-3cos122sin12cos12cos24+1+tan17+tan28+tan17tan28=2sin(12-60)12sin48 +1+tan45(1-tan17tan28)+tan17tan284+1+1= -2【点睛】本题主要考查倍角公式的应用，两角之和的正切公式、正弦公式的应用，要注意灵活运用。16.如图，在正方体 中，点 是棱 上的一个动点，平面 交棱 于ABCDA1B1C1D1 E CC1 BED1 AA1点 下列命题正确的为_.F存在点 ，使得 /平面 ；E A1C1 BED1F对于任意的点 ，平面 平面 ；E A1C
15、1D BED1F存在点 ，使得 平面 ；E B1D BED1F对于任意的点 ，四棱锥 的体积均不变E B1BED1F【答案】【解析】 为棱 上的中点时，此时 也为棱 上的中点，此时E CC1 F AA1；满足 /平面 ，正确A1C1EF A1C BED1F 平面 ，不可能存在点 ，使得 ，错误B1D BED1F E B1D平 面 BED1F连结 则 平面 ，而 平面 ，平面 平面 ，成立，D1B， D1B A1C1D B1D BED1F A1C1D BED1F正确11 四棱锥 B1-BED1F 的体积等于 设正方体的棱VD1BB1F+VD1B1BF，长为 1，无论 在何点，三角形 的面积为 为
16、定值，三棱锥 的高 ，E， F BB1E1211 12 D1BB1E D1C1=1保持不变三角形 的面积为 为定值，三棱锥 的高为 ，保持不BB1F1211 12 D1BB1F D1A1=1变三棱锥 和三棱锥 体积为定值，D1BB1E D1BB1F即四棱锥 的体积等于 为定值， 正确B1BED1F VD1BB1F+VD1B1BF故答案为：三解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.如图, 是直角 斜边 上一点, D ABC BC AC= 3DC（）若 ，求角 的大小；DAC=6 B（）若 ，且 ，求 的长BD=2DC AD=23 DC【答案】 （I） ；（II）2.B=60【解析】
17、【分析】（1）先根据正弦定理求得 ，由此得到 的值，进而求得 ，在直角三角形sinADC ADC C中求得 的大小.（2）设 ，利用 表示出 ，求得 的值，利用余弦定ABC B DC=x DC AB,BD sinB,cosB理列方程，解方程求出 ，也即求得 的值.x DC【详解】 （1）在 中，根据正弦定理，有 ，ADCACsinADC= DCsinDAC ，AC= 3DC12 ，sinADC= 3sinDAC=32又 ，ADC=B+BAD=B+600600 ，ADC=1200于是 ，C=1800-1200-300=300 .B=600（2）设 ，则 ， ， ，DC=x BD=2x BC=3x
18、 AC= 3x于是 ， ， ，sinB=ACBC=33 cosB=63 AB= 6x在 中，由余弦定理，得 ，ABD AD2=AB2+BD2-2ABBDcosB即 ，(23)2=6x2+4x2-2 6x2x63=2x2，故 .x= 6 DC= 6【点睛】本小题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，考查三角形内角和定理，考查方程的思想，属于基础题.18.如图，已知多面体 的底面 是边长为 的菱形， 底面 ， ，且PABCDE ABCD 2 PA ABCD ED/PAPA=2ED=2（）证明：平面 平面 ；PAC PCE（）若直线 与平面 所成的角为 ，求二面角 的余弦值PC ABCD4 PCED【
19、答案】 （1）见解析；（2） 64【解析】试题分析：（1）连接 ，交 于点 ，设 中点为 ，连接 ， ，先根据三角形中位BD AC O PC F OF EF线定理及平行四边形的性质可得 ，再证明 平面 ，从而可得 平面 ，BDEF BD PAC EF PAC进而可得平面 平面 ；（2）以 为原点， ， ， 分别为 轴，建立空间PAC PCE A AMAD AP x， y， z13直角坐标系 ，分别求出平面 与平面 的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公A-xyz PCE CDE式，可得结果试题解析：（1）证明：连接 ，交 于点 ，设 中点为 ，连接 ， O PC F OF EF因为 ， 分别为
20、， 的中点，O F AC PC所以 ，且 ，OFPA OF=12PA因为 ，且 ，DEPA DE=12PA所以 ，且 OFDE OF=DE所以四边形 为平行四边形，所以 ，即 OFED ODEF BDEF因为 平面 ， 平面 ，所以 PA ABCD BD ABCD PABD因为 是菱形，所以 ABCD BDAC因为 ，所以 平面 PAAC=A BD PAC因为 ，所以 平面 BDEF EF PAC因为 平面 ，所以平面 平面 FE PCE PAC PCE（2）解法：因为直线 与平面 所成角为 ， PC？ ABCD 45所以 ，所以 PCA=45 AC=PA=2所以 ，故 为等边三角形AC=AB
21、 ABC14设 的中点为 ，连接 ，则 BC M AM AMBC以 为原点， ， ， 分别为 轴，建立空间直角坐标系 （如图） A AMAD AP x， y， z A-xyz则 ， ， ， ，P(0,0， 2) C( 3,1， 0) E(0,2， 1) D(0,2， 0)， ，CE=(- 3,1， 1)5i=1(xi-x)2= (-3)2+(-1)2+02+12+32=25，设平面 的法向量为 ，PCE n=x1,y1,z1则 即nPC=0,nCE=0, 3x1+y1-2z1=0,- 3x1+y1+z1=0. 则 所以 令 y1=1, x1= 3,z1=2. n=( 3,1,2)设平面 的法向
22、量为 ，CDE m=(x2,y2,z2)则 即 令 则 所以 mDE=0,mCE=0, z2=0,- 3x2+y2+z2=0. x2=1, y2= 3,z2=0. m=(1, 3,0)设二面角 的大小为，由于为钝角，P-CE-D所以 cos=-|cosn,m|=-|nm|n|m|=- 23222=- 64所以二面角 的余弦值为 P-CE-D -64【方法点晴】本题主要考查线面垂直及面面垂直的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于难题. 空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用
23、两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19.已知数列 满足an a1=1,an+1=n+1nan+n+12n(1)设 ，求数列 的通项公式bn=ann bn（2）求数列 的前 项和an n Sn【答案】 （1） （2）bn=212n1 Sn=n(n+1)4+n+22n1【解析】15【分析】（1）由 得到 ，即 ，用累加法可以得到an+1=n+1nan+n+12n an+1n+1=ann+12n bn+1=bn+12n；（2）由 得到 ，用分组求和可以得到 的bn=1+12+122+.+ 12n-1=2- 12n-1
24、bn=ann an=2n- n2n-1 an前 项和 .n Sn【详解】 （1）因为 a1=1,an+1=n+1nan+n+12n所以 即an+1n+1=ann+12n bn+1=bn+12n则 ， ， ，b2-b1=12 b3-b2=122 bn-bn-1= 12n-1以上各式相加得： bn-b1=12+122+.+ 12n-1故bn=1+12+122+.+ 12n-1=1-12n1-12=2- 12n-1（2）由（1）可知 an=2n-n2n-1设 与 的前 项和分别为2n n2n-1 n Rn,Tn则 Rn=2+4+6+.+2n=n(2+2n)2 =n(n+1)Tn=120+221+32
25、2+.+ n2n-112Tn=121+222+323+.+n-12n-1+n2n两式相减得12Tn=1+12+122+.+ 12n-1-n2n=1-12n1-12-n2n=2-n+22n所以 ，Tn=4-n+22n-1所以 Sn=Rn-Tn=n(n+1)-4+n+22n-1【点睛】本题考查了累加法求数列的通项公式，考查了等比数列的前 项和，分组求和求数n列的前 项和，及错位相减求数列的前 项和，属于中档题。n n20.（1）已知函数 ，解不等式 ；f(x)=|x+2|2|x1| f(x)1（2）光线沿直线 射入，遇直线 后反射，求反射光线所在的直线l1:x2y+5=0 l:3x2y+7=0方程
26、. （把最后结果写成直线的一般式方程）16【答案】 （1） 或 .（2） .x|x3 x13 29x2y+33=0【解析】【分析】（1）对 去绝对值得到 ，然后分类讨论解不等式 即可；f(x)f(x)=x-4， (x-2)3x， (-21) f(x)1（2）先求出 与的交点 M，然后取直线 上一点 P(5，0)，求出 P 关于直线 ll1 x-2y+5=0的对称点 ，进而求出直线 的方程即为所求。P0 P0M【详解】 （1） ，f(x)=x-4， (x-2)3x， (-21) 当 时， ， ， ；x-2 x-41 x5 x-2当 时， ， ， ；-21 -x+41 x3 x3综上，不等式的解集
27、为 或 . x|x3 x13(2)由 得x-2y+5=03x-2y+7=0 x=-1y=2 反射点 M 的坐标为(1，2).又取直线 上一点 P(5，0)，设 P 关于直线 l 的对称点 ，x-2y+5=0 P0(x0,y0)由 可知， .PPl kPP=-23= y0x0+5而 的中点 Q 的坐标为 ，又 Q 点在上，PP (x0-52,y02) .由 得3x0-52-2y02+7=0 y0x0+5=-2332(x0-5)-y0+7=0 x0=-1713y0=-3213 根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为 .29x-2y+33=0【点睛】本题考查了绝对值不等式的求解，考查了
28、直线的方程，点关于直线的对称问题， 17属于中档题。21.已知函数 f(x)=3x+3x(R)（1）是否存在实数使得 为奇函数？若存在，求出实数，若不存在，请说明理由；f(x)（2）在（1）的结论下，若不等式 在 上恒成立，求实数 的取f(4t1)+f(2tm)0 t1,1 m值范围【答案】 （1）见解析；（2） mf(m-2t) 4t-1m-2t m0则 在 上为增函数，f(x) R 为奇函数， ，f(x) f(4t-1)+f(2t-m)0即 ， f(4t-1)f(m-2t)又 在 上为增函数， ，f(x) R 4t-1m-2t则 恒成立，m0 a12有 2 个极值点；当 时， 没有极值点.
29、f(x) a=12 f(x)结合函数的定义域可知，原问题等价于 对 恒成立.设 ，则(2) aex-x2-1x x0 g(x)=ex-x2-1x.讨论函数 g(x)的最小值.设 ，结合 h(x)的最值可得 在g(x)=(x-1)(ex-x-1)x2 h(x)=ex-x-1 g(x)上单调递减，在 上单调递增， ，的取值范围是 .(0,1) (1,+) g(x)g(1)=e-2 (-,e-2试题解析：.(1) f(x)=xex-2ax=x(ex-2a)当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增， 有 1 个极值点；a0 f(x) (-,0) (0,+) f(x)当 时， 在 上单调递增，在 上单调
30、递减，在 上单调递增，012 f(x) (-,0) (0,ln2a) (ln2a,+)有 2 个极值点；f(x)当 时， 有 1 个极值点；当 且 时， 有 2 个极值点；当 时， 没有 a0 f(x) a0 a12 f(x) a=12 f(x)极值点.由 得 .(2) f(x)+exx3+x xex-x3-ax2-x0当 时， ，即 对 恒成立.x0 ex-x2-ax-10 aex-x2-1x x019设 ，则 .g(x)=ex-x2-1x g(x)=(x-1)(ex-x-1)x2设 ，则 .h(x)=ex-x-1 h(x)=ex-1， ，在 上单调递增，即 ，在 上单调递减，在 上单调递增， ，的取值范围是 .
