1、第2课时 数列的综合应用,第七章 7.4 数列求和、数列的综合应用,NEIRONGSUOYIN,内容索引,题型分类 深度剖析,课时作业,题型分类 深度剖析,1,PART ONE,题型一 数列和解析几何的综合问题,例1 (2004浙江)已知OBC的三个顶点坐标分别为O(0,0)，B(1,0)，C(0,2)，设P1为线段BC的中点，P2为线段CO的中点，P3为线段OP1的中点，对于每一个正整数n，Pn3为线段PnPn1的中点，令Pn的坐标为(xn，yn)，an ynyn1yn2. (1)求a1，a2，a3及an的值；,师生共研,所以a1a2a32，,所以an为常数列， 所以ana12，nN*.,(
2、3)若记bny4n4y4n，nN*，求证：bn是等比数列.,利用题目中曲线或直线上点的坐标之间的关系，得到数列的递推关系，然后利用数列的递推关系寻求数列通项，从而求解题目.,跟踪训练1 (2016浙江)如图，点列An，Bn分别在某锐角的两边上，且|AnAn1|An1An2|，AnAn2，nN*，|BnBn1|Bn1Bn2|，BnBn2，nN*(PQ表示点P与Q不重合).若dn|AnBn|，Sn为AnBnBn1的面积，则,解析 作A1C1，A2C2，A3C3，AnCn垂直于直线B1Bn，垂足分别为C1，C2，C3，Cn， 则A1C1A2C2AnCn. |AnAn1|An1An2|，|CnCn1|
3、Cn1Cn2|. 设|A1C1|a，|A2C2|b，|B1B2|c， 则|A3C3|2ba， |AnCn|(n1)b(n2)a (n3)，,数列Sn是等差数列.,题型二 数列与不等式的综合问题,多维探究,命题点1 可求通项的裂项放缩,故当n2时，Snb1b2b3bn12b2b3bn,又n1时，S11215，综上有12Sn15.,命题点2 可求通项构造放缩,命题点3 不可求通项裂项放缩,所以an1(nN*)， 所以anan11(nN*).,所以anan11(nN*).,命题点4 不可求通项构造放缩,(an11)(an1)(an1)210， 故an11与an1同号. 又a1110， an10，,当
4、n2时，(an1)2(an1)2(an11)2(an11)2(an21)2(a21)2(a11)2(a11)22(n1)12n1.,所以当n2时，ana1(a2a1)(a3a2)(an1an2)(anan1)，,数列与不等式的综合问题把数列知识与不等式的内容整合在一起，形成了关于证明不等式、求不等式中参数的取值范围、求数列中的最大(小)项、比较数列中项的大小等问题.而数列的条件可能是等差数列、等比数列，甚至是一个递推公式等，求解方法既要用到不等式知识(如比较法、放缩法、基本不等式法等)，又要用到数列的基础知识.,因此|an|2n1(|a1|2)，n1时也成立.,证明 任取nN*，由(1)知，对
5、于任意mN*，mn，,由m的任意性得|an|2.否则，存在n0N*， 有 取正整数 且m0n0，则 ，与式矛盾. 综上，对于任意nN*，均有|an|2.,课时作业,2,PART TWO,基础保分练,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,an13，an3.,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,由(1)知3ana1a， 3an4， 设an3t，则0t1.,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,又当n1时，a1a4满足上式，,1,2,3,4,5,6,2.(2018温州市适应性考试)数列an，bn的每一项都是正数，a18，b116，且an，bn，an1成等差数列，bn，
6、an1，bn1成等比数列，n1,2,3，. (1)求a2，b2的值，并求数列an，bn的通项公式；,1,2,3,4,5,6,解 由2b1a1a2，可得a22b1a124.,因为an，bn，an1成等差数列， 所以2bnanan1. 因为bn，an1，bn1成等比数列，,因为数列an，bn的每一项都是正数，,1,2,3,4,5,6,当n1时，a18，满足该式子，所以对一切正整数n，都有an4n(n1).,1,2,3,4,5,6,7n27n0(n1)(n2)0，,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,
7、5,6,故当x(0,1)时，g(x)0，函数g(x)在(0,1)上单调递增， 所以g(x)g(0)0，即f(x)2x.,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,(3)若x1(0，a)，a(0,1)，求证：对任意的正整数m，都有,1,2,3,4,5,6,证明 令,所以,要证,由(2)及x1(0，a)可得 综上即可证得.,1,2,3,4,5,6,5.已知正项数列an满足a13， an2，nN*. 求证：(1)数列an是单调递减数列；,1,2,3,4,5,6,技能提升练,1,2,3,4,5,6,即(an2an1)(an2an1)an1an， 因为an0，所以an2an10， 所以an2an1
8、与an1an同号.,所以an1an0， 即an1an， 故数列an是递减数列.,1,2,3,4,5,6,由(an12)(an12)an2，知an12与an2同号， 由a12320，知an20，即an2， 故an124.,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,证明 由(2)知，当n2时，,1,2,3,4,5,6,所以当n2时，,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,拓展冲刺练,1,2,3,4,5,6,所以an1an， 即数列an是递减数列， 故ana11.,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,所以当n2，nN*时，,1,2,3,4,5,6,两边再次平方即证n1，显然成立.,1,2,3,4,5,6,
