1、3.2 函数的单调性与最值,第三章 函数概念与基本初等函数,NEIRONGSUOYIN,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,课时作业,1,基础知识 自主学习,PART ONE,1.函数的单调性 (1)单调函数的定义,f(x1)f(x2),f(x1)f(x2),知识梳理,ZHISHISHULI,(2)单调区间的定义 如果函数yf(x)在区间D上是 或 ，那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性， 叫做yf(x)的单调区间.,上升的,下降的,增函数,减函数,区间D,2.函数的最值,f(x)M,f(x0)M,f(x)M,f(x0)M,1.在判断函数的单调性时，你还知道哪些等
2、价结论？,【概念方法微思考】,题组一 思考辨析,1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)若定义在R上的函数f(x)，有f(1)f(3)，则函数f(x)在R上为增函数.( ) (2)对于函数f(x)，xD，若对任意x1，x2D，x1x2且(x1x2)f(x1)f(x2)0，则函数f(x)在区间D上是增函数.( ) (3)函数yf(x)在1，)上是增函数，则函数的单调递增区间是1，). ( ) (4)函数y|x|在R上是增函数.( ),基础自测,JICHUZICE,1,2,3,4,5,6,7,(5)函数y 的单调递减区间是(，0)(0，).( ) (6)闭区间上的单调函数，其最值
3、一定在区间端点取到.( ),1,2,3,4,5,6,7,题组二 教材改编,2.P39B组T1函数f(x)x22x的单调递增区间是_.,1,2,3,4,5,6,1，)(或(1，),3.P31例4函数y 在2,3上的最大值是_.,2,7,4.P44A组T9若函数f(x)x22mx1在2，)上是增函数，则实数m的取值范围是_.,解析 由题意知，2，)m，)， m2.,1,2,3,4,5,6,(，2,7,5.函数y (x24)的单调递减区间为_.,(2，),1,2,3,4,5,6,题组三 易错自纠,7,1,2,3,4,5,6,7,6.若函数f(x)|2xa|的单调增区间是3，)，则a的值为_.,6,1
4、,2,3,4,5,6,7.(2015浙江)已知函数f(x) 则f(f(3)_，f(x)的最小值是_.,0,当x1时，f(x)lg(x21)lg 10，当且仅当x0时，取等号，,7,2,题型分类 深度剖析,PART TWO,解析 由x22x80，得x4或x2. 设tx22x8，则yln t为增函数. 要求函数f(x)的单调递增区间，即求函数tx22x8的单调递增区间. 函数tx22x8的单调递增区间为(4，)， 函数f(x)的单调递增区间为(4，). 故选D.,题型一 确定函数的单调性(区间),命题点1 给出具体解析式的函数的单调性 例1 (1)函数f(x)ln(x22x8)的单调递增区间是 A
5、.(，2) B.(，1) C.(1，) D.(4，),多维探究,(2)函数yx22|x|3的单调递减区间是_.,1,0，1，),解析 由题意知， 当x0时，yx22x3(x1)24； 当x0时，yx22x3(x1)24，,二次函数的图象如图.,由图象可知，函数yx22|x|3的单调递减区间为1,0，1，).,命题点2 解析式含参数的函数的单调性 例2 判断并证明函数f(x)ax2 (其中1a3)在1,2上的单调性.,证明：设1x1x22，则,由1x1x22，得x2x10,2x1x24，,又因为1a3，所以2a(x1x2)12，,从而f(x2)f(x1)0，即f(x2)f(x1)，故当a(1,3
6、)时，f(x)在1,2上单调递增.,如何用导数法求解本例？,1x2，1x38， 又1a3，2ax310，f(x)0，,确定函数单调性的方法 (1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法. (2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”. (3)图象法，图象不连续的单调区间不能用“”连接. (4)具有单调性函数的加减.,跟踪训练1 (1)设函数f(x)与g(x)的定义域为R，且f(x)单调递增，F(x)f(x)g(x)，G(x)f(x)g(x).若对任意x1，x2R(x1x2)，不等式f(x1)f(x2)2g(x1)g(x2)2恒成立.则 A.F(x)，G(x)都是增函数 B.
7、F(x)，G(x)都是减函数 C.F(x)是增函数，G(x)是减函数 D.F(x)是减函数，G(x)是增函数,解析 对任意x1，x2R(x1x2)， 不等式f(x1)f(x2)2g(x1)g(x2)2恒成立， 不妨设x1x2， f(x)单调递增，f(x1)f(x2)g(x1)g(x2)， 且f(x1)f(x2)g(x1)g(x2)， F(x1)f(x1)g(x1)， F(x2)f(x2)g(x2)， F(x1)F(x2)f(x1)g(x1)f(x2)g(x2)f(x1)f(x2)(g(x2)g(x1)0， F(x)为增函数； 同理可证G(x)为增函数，故选A.,(2)函数y(x3)|x|的单调
8、递增区间是_.,题型二 函数的最值(值域),1.(2017浙江)若函数f(x)x2axb在区间0,1上的最大值是M，最小值是m，则Mm A.与a有关，且与b有关 B.与a有关，但与b无关 C.与a无关，且与b无关 D.与a无关，但与b有关,自主演练,解析 方法一 设x1，x2分别是函数f(x)在0,1上的最小值点与最大值点，,显然此值与a有关，与b无关. 故选B.,方法二 由题意可知，函数f(x)的二次项系数为固定值， 则二次函数图象的形状一定.随着b的变动，相当于图象上下移动， 若b增大k个单位，则最大值与最小值分别变为Mk，mk， 而(Mk)(mk)Mm，故与b无关.随着a的变动，相当于图
9、象左右移动， 则Mm的值在变化，故与a有关，故选B.,2.(2018宁波九校联考)设函数f(x)log2xaxb(a0)，若存在实数b，使得对任意的xt，t2(t0)都有|f(x)|1a，则t的最小值是,解析 f(x)在(0，)上单调递增， 由对任意的xt，t2(t0)都有|f(x)|1a， 可得1af(x)1a恒成立， 1af(x)minf(t)log2tatb， 1af(x)maxf(t2)log2(t2)a(t2)b， 即1alog2(t2)a(t2)b， 可得22alog2tatblog2(t2)a(t2)b，,4.若函数f(x) 的值域为R，则实数a的取值范围是_.,1,2,解析 依
10、题意，y2xa(x1)， ya2ln x(x1)在各自的定义域上单调递增， 由函数f(x)的值域为R，得2aa2，解得1a2.,求函数最值的五种常用方法及其思路 (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值. (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值. (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值. (4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值. (5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值.,题型三 函数单调性的应用,命题点1 比较大小 例3 已知函数
11、f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2x11时，f(x2)f(x1)(x2x1)ab B.cba C.acb D.bac,多维探究,解析 根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x1对称，,命题点2 解函数不等式 例4 若f(x)是定义在(0，)上的单调增函数，且满足f(xy)f(x)f(y)，f(3)1，则当f(x)f(x8)2时，x的取值范围是 A.(8，) B.(8,9 C.8,9 D.(0,8),解析 211f(3)f(3)f(9)， 由f(x)f(x8)2，可得fx(x8)f(9)， 因为f(x)是定义在(0，)上的单调增函数，,命题点3 求参数范围(或值),(2)已知e
12、xx3x10， 27y33y10，则ex3y的值为_.,1,解析 根据题意有x与3y满足同一个方程，emm3m10， 令f(m)emm3m1， 因为f(m)em3m210， 所以f(m)是增函数，所以f(m)0只有唯一解， 所以x3y，所以x3y0，所以有ex3y1.,函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 (1)比较大小.比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决. (2)解不等式.在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域.,(3)利用单调性求参数. 视参数为已知数，依据函
13、数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数； 需注意若函数在区间a，b上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的； 分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.,所以yf(x)在(，)上是增函数.,(2)定义在R上的奇函数yf(x)在(0，)上单调递增，且 0，则不等式f( x)0的解集为_.,f(x)在(，0)上也单调递增.,3,课时作业,PART THREE,1.(2018台州路桥中学检测)如果函数f(x)x22(a1)x2在区间(，4上单调递减，那么实数a的取值范围是 A.a3 B.a3 C.a5 D.a5,解析 由题意得，函数f(x)x
14、22(a1)x2的对称轴为x1a， 所以二次函数的单调递减区间为(，1a， 又函数在区间(，4上单调递减，所以1a4，所以a3.,基础保分练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,A.(，1 B.3，) C.(，1 D.1，),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 设tx22x3，由t0，即x22x30， 解得x1或x3，所以函数f(x)的定义域为(，13，). 因为函数tx22x3的图象的对称轴为x1， 所以函数t在(，1上单调递减，在3，)上单调递增， 所以函数f(x)的单调递增区间为3，).,1,2,3
15、,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,f(x)是R上的减函数.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,4.(2019湖州质检)已知f(x)是(0，)上的增函数，若 1，则f(e)等于 A.2 B.1 C.0 D.e,解析 由题意得f(x)ln x为常数，设为a， 则f(a)ln aa， 又f(a)1，1ln aa，a1， 因此f(e)ln e12.,5.已知定义在R上的奇函数f(x)在0，)上单调递减，若f(x22xa)f(x1)对任意的x1,2恒
16、成立，则实数a的取值范围为,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 依题意得f(x)在R上是减函数， 所以f(x22xa)x1对任意的x1,2恒成立，等价于ax23x1对任意的x1,2恒成立. 设g(x)x23x1(1x2)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,A.(1,3 B.(1,3) C.(3，) D.3，),解析 当x3时，函数f(x)x22x4(x1)23的值域为3，)， 当x3时，2logax3，即x3时，logax1
17、logaa， a1，且x3时xa恒成立. 1a3， 实数a的取值范围是(1,3.,7.已知奇函数f(x)在R上是增函数.若a cf(20.8)，则a，b，c的大小关系为_.,解析 f(x)在R上是奇函数，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,abc,又f(x)在R上是增函数， 且log25log24.1log24220.8， f(log25)f(log24.1)f(20.8)，abc.,8.设函数f(x) g(x)x2f(x1)，则函数g(x)的单调递减区间是_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,0,1),
18、函数g(x)的图象如图所示，其单调递减区间为0,1).,解析 由题意得，0x2，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,10.设函数f(x) 若函数yf(x)在区间(a，a1)上单调递增，则实数a的取值范围是_.,(，14，),解析 作函数f(x)的图象如图所示， 由图象可知f(x)在(a，a1)上单调递增， 需满足a4或a12， 即a1或a4.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,11.已知f(x) (xa).(1)若a2，试证f(x)在(，2)上单调递增；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12
19、,13,14,15,16,因为(x12)(x22)0，x1x20， 所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)， 所以f(x)在(，2)上单调递增.,(2)若a0且f(x)在(1，)上单调递减，求a的取值范围.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 设1x1x2，,因为a0，x2x10， 所以要使f(x1)f(x2)0， 只需(x1a)(x2a)0恒成立， 所以a1.综上所述，0a1.,12.函数f(x)4x24axa22a2在区间0,2上有最小值3，求a的值.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,f
20、(x)minf(0)a22a2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,f(x)minf(2)a210a18.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,13.已知f(x) 不等式f(xa)f(2ax)在a，a1上恒成立，则实数a的取值范围是_.,技能提升练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(，2),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 二次函数y1x24x3的对称轴是x2， 该函数在(，0上单调递减， x24x33，同样可知函
21、数y2x22x3在(0，)上单调递减， 且在x0时两个表达式的值都为3. f(x)在R上单调递减， 由f(xa)f(2ax)得到xa2ax， 即2xa，2xa在a，a1上恒成立， 2(a1)a，a2， 实数a的取值范围是(，2).,14.已知函数f(x)2 020xln( x)2 020x1，则不等式f(2x1)f(2x)2的解集为_.,解析 由题意知，f(x)f(x)2， f(2x1)f(2x)2可化为f(2x1)f(2x)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,拓展冲刺练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16
22、,A.存在t0，|f(t)f(t)|f(t)f(t) B.存在t0，|f(t)f(t)|f(t)f(t) C.存在t0，|f(1t)f(1t)|f(1t)f(1t) D.存在t0，|f(1t)f(1t)|f(1t)f(1t),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 作出函数f(x)minx2，x3的图象，显然该函数是单调递增的，所以对任意的t0均有 |f(t)f(t)|f(t)f(t)， 且|f(1t)f(1t)|f(1t)f(1t)，因此排除B，D. 考虑选项A，当0t1时，f(t)t3，f(t)t3，则 |f(t)f(t)|t3(t)3|t3t3
23、0， f(t)f(t)2t30； 当t1时，f(t)t2，f(t)t3，则 |f(t)f(t)|t2t3|t3t2，f(t)f(t)t2t3，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,又t3t2(t2t3)2t20， 所以|f(t)f(t)|f(t)f(t)， 排除A.故选C.,16.(2018浙江金华十校联考)若定义在(0,1)上的函数f(x)满足f(x)0且对任意的x(0,1)，有 2f(x)，则 A.对任意的正数M，存在x(0,1)，使f(x)M B.存在正数M，对任意的x(0,1)，使f(x)M C.对任意的x1，x2(0,1)且x1x2，有f(x1)f(x2) D.对任意的x1，x2(0,1)且x1x2，有f(x1)f(x2),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,所以xn是单调递增数列. 由题意可知，f(xn1)2f(xn)， 所以f(xn)是以f(x1)为首项，2为公比的等比数列， 所以f(xn)f(x1)2n1，则对任意的整数M，,则当nN时，f(xn)f(x1)2n1,
