1、- 1 -第 4 节 圆周运动一、 线速度1定义：物体做圆周运动通过的弧长与通过这段弧长所用时间的比值。2定义式： v 。 s t3标、矢性：线速度是矢量，方向与圆弧相切，与半径垂直。4匀速圆周运动(1)定义：沿着圆周，并且线速度的大小处处相等的运动。(2)性质：线速度的方向是时刻变化的，所以是一种变速运动。二、 角速度1定义：连接物体与圆心的半径转过的角度与转过这一角度所用时间的比值。2定义式： 。 t3单位：弧度每秒，符号是 rad/s 或 rads1 。4匀速圆周运动的角速度：匀速圆周运动是角速度不变的圆周运动。5转速与周期转速 周期定义 物体单位时间内转过的圈数 做圆周运动的物体，转过
2、一周所用的时间符号 n T单位 转每秒(r/s) 秒(s)1圆周运动是变速运动，匀速圆周运动是线速度大小处处相等的圆周运动。2质点通过的圆弧长度与所用时间的比值为线速度大小；半径转过的角度 与所用时间的比值称为角速度，角速度恒定的圆周运动是匀速圆周运动。3做匀速圆周运动的物体，经过一周所用的时间叫周期，物体单位时间内转过的圈数叫转速。4线速度、角速度、周期的关系为：vr ，2rTT 。2- 2 -转每分(r/min)三、 线速度与角速度的关系1两者关系：在圆周运动中，线速度的大小等于角速度大小与半径的乘积。2关系式： v r 。1自主思考判一判(1)做圆周运动的物体，其速度一定是变化的。()(
3、2)角速度是标量，它没有方向。()(3)圆周运动线速度公式 v 中的 s 表示位移。() s t(4)做匀速圆周运动的物体相等时间内通过的弧长相等。()(5)做匀速圆周运动的物体相等时间内通过的位移相同。()(6)匀速圆周运动是一种匀速运动。()2合作探究议一议(1)打篮球的同学可能玩过转篮球，让篮球在指尖旋转，展示自己的球技，如图所示，若篮球正绕指尖所在的竖直轴旋转，那么篮球上不同高度的各点的角速度相同吗？线速度相同吗？提示：篮球上各点的角速度是相同的。但由于不同高度的各点转动时的圆心、半径不同，由 v r 可知不同高度的各点的线速度不同。(2)如图所示，若钟表的指针都做匀速圆周运动，秒针和
4、分针的周期各是多少？角速度之比是多少？提示：秒针的周期 T 秒 1 min60 s，分针的周期 T 分 1 h3 600 s。- 3 -由 得 。2T 秒 分 T分T秒 601描述圆周运动的物理量间的关系1意义的区别(1)线速度、角速度、周期、转速都能描述圆周运动的快慢，但它们描述的角度不同。线速度 v 描述质点运动的快慢，而角速度 、周期 T、转速 n 描述质点转动的快慢。(2)要准确全面地描述匀速圆周运动的快慢仅用一个量是不够的，既需要一个描述运动快慢的物理量，又需要一个描述转动快慢的物理量。2各物理量之间的关系3 v、 及 r 间的关系(1)由 v r 知， r 一定时， v ； 一定时
5、， v r。 v 与 、 r 间的关系如图甲、乙所示。(2)由 知， v 一定时， ， 与 r 间的关系如图甲、乙所示。vr 1r- 4 -传动装置问题分析1甲沿着半径为 R 的圆周跑道匀速跑步，乙沿着半径为 2R 的圆周跑道匀速跑步，在相同的时间内，甲、乙各自跑了一圈，它们的角速度和线速度分别为 1、 2和 v1、 v2 。则( )A 1 2， v1v2 B 1vC，线速度相等时，角速度与半径成反比，则得 A B，由上可得： A B C， vA vBvC，故 C 正确，A、B、D 错误。答案 C解决传动问题的两个关键点(1)绕同一轴转动的各点角速度 、转速 n 和周期 T 相等，而各点的线速
6、度 v r 与半径 r 成正比。(2)在皮带不打滑的情况下，皮带和皮带连接的轮子边缘各点线速度的大小相等，不打滑的摩擦传动两轮边缘上各点线速度大小也相等，而角速度 与半径 r 成反比。 vr- 6 -1.如图所示，跷跷板的支点位于板的中点， A、 B 是板的两个端点，在翘动的某一时刻，A、 B 的线速度大小分别为 vA、 vB，角速度分别为 A、 B，则( )A vA vB， A B B vA vB， A BC vA vB， A B D vA vB， A B解析：选 A A 与 B 均绕跷跷板的中点做圆周运动，在相同的时间转过的角度相等，由角速度的定义式 ，可知角速度相等。由角速度与线速度关系
7、公式 v r ，两端点 t的转动半径相同，故线速度相等，A 正确。2.如图所示的是一个玩具陀螺。 a、 b 和 c 是陀螺上的三个点。当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度 稳定旋转时，下列表述正确的是( )A a、 b 和 c 三点的线速度大小相等B a、 b 和 c 三点的角速度相等C a、 b 的角速度比 c 的大D c 的线速度比 a、 b 的大解析：选 B a、 b、 c 三点为共轴转动，故角速度相等，B 正确，C 错误；又由题图知，三点的转动半径 ra rb rc，根据 v r 知， va vb vc，故 A、D 错误。3.如图所示， A、 B 两点分别位于大小轮的边缘上、 C 点位于大
8、轮半径的中点，大轮的半径是小轮的 2 倍，它们之间靠摩擦传动，接触面上没有滑动，以下说法正确的是( )A A2 C B B2 AC vA vC D vA2 vB解析：选 B 由题图可知， A 与 C 属于同轴转动，所以角速度是相等的，故 A 错误；点A 和点 B 属于同缘传送，具有相同的线速度大小，由： v r ，结合 A 的半径是 B 的半径的2 倍，所以 B2 A，故 B 正确，D 错误； A、 C 两点角速度大小相等， C 点位于大轮半径的中点，半径是 A 点半径的一半，再根据 v r 可知， A、 C 两点的线速度之比为 21，故 C- 7 -错误。匀速圆周运动的多解问题典例 多选如图
9、所示，直径为 d 的竖直圆筒绕中心轴线以恒定的转速匀速转动。一子弹以水平速度沿圆筒直径方向从左侧射入圆筒，从右侧射穿圆筒后发现两弹孔在同一竖直线上且相距为 h，则( )A子弹在圆筒中的水平速度为 v0 dg2hB子弹在圆筒中的水平速度为 v02 dg2hC圆筒转动的角速度可能为 g2hD圆筒转动的角速度可能为 3g2h解析 子弹做平抛运动，故运动的时间 t ，水平位移为 d，则 d v0t，解得水平2hg速度 v0 d ，故 A 正确，B 错误；由题意知， t ， n0,1,2,3，；解得g2h 2hg (n 12)2 2 ，当 n0 时， C 选项正确，当 n1 时， D 选项正确。(n12
10、) g2h答案 ACD匀速圆周运动的多解问题的解题思路(1)明确两个物体参与运动的性质和求解的问题；两个物体参与的两个运动虽然独立进行，但一定有联系点，其联系点一般是时间或位移等，抓住两运动的联系点是解题关键。(2)注意圆周运动的周期性造成的多解。分析问题时可暂时不考虑周期性，表示出一个周期的情况，再根据运动的周期性，在转过的角度 上再加上 2n，具体 n 的取值应视情况而定。- 8 -1.多选如图所示，直径为 d 的纸筒绕垂直于纸面的 O 轴匀速转动(图示为截面)。从枪口射出的子弹以速度 v 沿直径穿过圆筒，若子弹穿过圆筒时先后在筒上留下 A、 B 两个弹孔。AO 与 BO 的夹角为 ，则圆
11、筒转动的角速度 可能为( )A. v B. v2 d 2 dC. v D. v3 d 3 d解析：选 CD 如果圆筒顺时针转动，圆筒转过的角度为 2 n (其中：n0,1,2，)，经历的时间为 t ，故圆筒转动的角速度 dv t 2n dvv，当 n1 时， v，故 C 正确；子弹穿过圆筒的过程中，如果 2n 1 d 3 d圆筒逆时针转动，圆筒转过的角度为 2 n (其中： n0,1,2，)，时间：t ，故圆筒转动的角速度 v，当 n1 时， dv t 2n dv 2n 1 dv，故 D 正确。3 d2多选如图所示， M 是水平放置的半径足够大的圆盘，绕过圆心 O 的竖直轴 OO匀速转动，规定
12、经过 O 点且水平向右为 x 轴的正方向。在 O 点正上方距盘面高为 h 处有一个可间断滴水的容器，从 t0 时刻开始随传送带沿与 x 轴平行的方向做匀速直线运动。已知t0 时刻滴下第一滴水，以后每当前一滴水刚好落到盘面上时，后一滴水恰好开始下落。要使每一滴水在盘面上的落点都位于同一直线上，圆盘转动的角速度可能为( )A. B 2 gh 2ghC D2g2h gh- 9 -解析：选 BC 水滴在竖直方向做自由落体运动，有： h gt2，解得： t ，要使每12 2hg一滴水在圆盘面上的落点都位于同一条直线上，在相邻两滴水的下落时间内，圆盘转过的角度为 n，所以角速度为 n (n1,2,3，)，
13、故 B、C 正确，A、D 错误。nt g2h1多选下列关于匀速圆周运动的说法中，正确的是( )A是线速度不变的运动 B是角速度不变的运动C是周期不变的运动 D是位移不变的运动解析：选 BC 匀速圆周运动中线速度的大小不变，方向不断变化；角速度的大小和方向都不变，周期不变，位移的方向时刻改变，故 A、D 错误，B、C 正确。2多选关于地球上的物体随地球自转的角速度、线速度的大小，下列说法正确的是( )A在赤道上的物体线速度最大B在两极的物体线速度最大C在赤道上的物体角速度最大D在北京和广州的物体角速度一样大解析：选 AD 地球上的物体随地球一起绕地轴匀速转动，物体相对地面的运动在此一般可忽略，因
14、此物体随地球一起绕地轴匀速转动的角速度一样，由 v r 知半径大的线速度大。物体在地球上绕地轴匀速转动时，在赤道上距地轴最远，线速度最大，在两极距地轴为0，线速度为 0。在北京和广州的物体角速度一样大。故 A、D 正确。3多选关于匀速圆周运动的角速度与线速度，下列说法中正确的是( )A半径一定，角速度与线速度成反比B半径一定，角速度与线速度成正比C线速度一定，角速度与半径成反比D角速度一定，线速度与半径成正比解析：选 BCD 根据 知，半径一定，角速度与线速度成正比，故 A 错误，B 正确；vr根据 知，线速度一定，角速度与半径成反比，C 正确；根据 v r 知，角速度一定，vr线速度与半径成
15、正比，D 正确。4如图所示是自行车传动结构的示意图，其中 A 是半径为 r1的大齿轮， B 是半径为 r2的小齿轮， C 是半径为 r3的后轮，假设脚踏板的转速为 n r/s，则自行车前进的速度为( )- 10 -A. B. nr1r3r2 nr2r3r1C. D.2 nr1r3r2 2 nr2r3r1解析：选 C 前进速度即为后轮的线速度，由于同一个轮上的各点的角速度相等，同一条线上的各点的线速度相等，可得 1r1 2r2， 3 2，又 12 n， v 3r3，所以v 。选项 C 正确。2 nr1r3r25.如图所示，一个球绕中心轴线 OO以角速度 转动，则( )A若 30，则 vA vB1
16、2B若 30，则 vA vB21C A、 B 两点的角速度相等D A、 B 两点的线速度相等解析：选 C 共轴转动的各点角速度相等，故 A、 B 两点的角速度相等； A 点的转动半径为 Rcos 30 R， B 点的转动半径为 R，根据 v R 公式，线速度之比 vA vB RA RB32R R 2，故 A、B、D 错误， C 正确。32 36.两小球固定在一根长为 L 的杆的两端，绕杆上的 O 点做圆周运动，如图所示。当小球1 的速度为 v1时，小球 2 的速度为 v2，则 O 点到小球 2 的距离是( )A. B.Lv1v1 v2 Lv2v1 v2C. D.L v1 v2v1 L v1 v
17、2v2解析：选 B 由题意知两小球角速度相等，即 1 2，设球 1、2 到 O 点的距离分别为r1、 r2，则 ，又 r1 r2 L，所以 r2 ，B 正确。v1r1 v2r2 Lv2v1 v2- 11 -7多选如图所示为某一皮带传动装置。主动轮的半径为 r1，从动轮的半径为 r2。已知主动轮做顺时针转动，转速为 n，转动过程中皮带不打滑。下列说法正确的是( )A从动轮做顺时针转动B从动轮做逆时针转动C从动轮的转速为 nr1r2D从动轮的转速为 nr2r1解析：选 BC 主动轮做顺时针转动，从动轮通过皮带的摩擦力带动转动，所以从动轮逆时针转动，A 错误，B 正确。由于通过皮带传动，皮带与轮边缘
18、接触处的线速度相等，根据v2 nr 得 n2r2 nr1，所以 n2 ，故 C 正确，D 错误。nr1r28汽车在公路上行驶一般不打滑，轮子转一周，汽车向前行驶的距离等于车轮的周长。某国产轿车的车轮半径约为 30 cm，当该型号的轿车在高速公路上行驶时，速率计的指针指在 120 km/h 上，可估算此时该车车轮的转速为( )A1 000 r/s B1 000 r/minC1 000 r/h D2 000 r/s解析：选 B 由题意得 v120 km/h m/s， r0.3 m，又 v2 nr，1203.6得 n 18 r/s1 000 r/min。v2 r9.变速自行车靠变换齿轮组合来改变行驶
19、速度。如图是某一变速车齿轮转动结构示意图，图中 A 轮有 48 齿， B 轮有 42 齿， C 轮有 18 齿， D 轮有 12 齿，则( )A该车可变换两种不同挡位B该车可变换五种不同挡位C当 A 轮与 D 轮组合时，两轮的角速度之比 A： D14D当 A 轮与 D 轮组合时，两轮的角速度之比 A： D41- 12 -解析：选 C A 轮通过链条分别与 C、 D 轮连接，自行车可有两种速度， B 轮分别与 C、 D轮连接，又可有两种速度，所以该车可变换四种挡位，故 A、B 错误。同缘传动边缘点线速度相等，前齿轮的齿数与转动圈数的乘积等于后齿轮齿数与转动圈数的乘积，当 A 与 D 组合时，两轮
20、边缘线速度大小相等，得： NA ND ，解得： A2 D2 A： D ND NA124814，故 C 正确，D 错误。10.如图所示，半径为 20 cm 的轻质定滑轮固定在天花板上，轻绳一端系一质量 m2 kg的物体，另一端跨过定滑轮并施一恒定的竖直向下的拉力 F25 N，已知 A 为滑轮边缘上的点， B 到滑轮中心的距离等于滑轮半径的一半。设在整个运动过程中滑轮与轻绳没有相对滑动，不计一切阻力，那么( g 取 10 m/s2)( )A A、 B 均做匀速圆周运动B在 F 作用下，物体从静止开始运动，2 s 末 A 点的线速度是 2.5 m/sC在 F 作用下，物体从静止开始运动，2 s 末
21、B 点的角速度是 25 rad/sD在任何时刻， A 点的角速度总是大于 B 点的角速度解析：选 C 对物体受力分析知 F mg ma，物体及细绳以共同的加速度 a2.5 m/s2做匀加速运动，细绳和滑轮没有相对滑动， vA v 绳 at,2 s 末速度 vA5 m/s， A、 B 同轴转动，故与滑轮具有共同的角速度，线速度与半径成正比，故 vB2.5 m/s，因为 A、 B 两点的速度在变化，所以不是做匀速圆周运动，A、B、D 错误；根据 v r 可知滑轮在 2 s 末的角速度 rad/s25 rad/s，故 C 正确。atr 50.211.如图所示，竖直圆筒内壁光滑，半径为 R，顶部有入口
22、 A，在 A 的正下方 h 处有出口B。一质量为 m 的小球从入口 A 沿圆筒壁切线方向水平射入圆筒内，要使小球从出口 B 飞出。小球进入入口 A 处的速度 v0应满足什么条件？解析：该题中小球的运动轨迹是空间螺旋曲线，可将其分解为两个简单的分运动：一个是以初速度 v0在筒内壁弹力作用下做匀速圆周运动，如图甲所示；另一个是在重力作用下做自由落体运动。因此若将圆筒直线 AB展开为平面，则小球沿圆筒壁的运动是平抛运动，如图乙所示。据此得小球在筒内运动的时- 13 -间 t 。2hg由题设条件得水平方向的位移应是圆周长的整数倍，即 l v0t2 n R(n1,2,3，)。联立以上两式得v0 n R
23、，( n1,2,3，)。2gh答案： v0 n R ，( n1,2,3，)2gh12.如图所示，小球 A 在光滑的半径为 R 的圆形槽内做匀速圆周运动，当它运动到图中a 点时，在圆形槽中心 O 点正上方 h 处，有一小球 B 沿 Oa 方向以某一初速度水平抛出，结果恰好在 a 点与 A 球相碰，求：(1)B 球抛出时的水平初速度。(2)A 球运动的线速度最小值。(3)试确定 A 球做匀速圆周运动的周期的可能值。解析：(1)小球 B 做平抛运动，其在水平方向上做匀速直线运动，则 R v0t。在竖直方向上做自由落体运动，则 h gt2。12由得 v0 R 。Rt g2h(2)A 球的线速度取最小值时， A 球刚好转过一圈的同时， B 球落到 a 点与 A 球相碰，则A 球做圆周运动的周期正好等于 B 球的飞行时间，即 T ，2hg所以 vA 2 R 。2 RT g2h(3)能在 a 点相碰，则 A 球在平抛的 B 球飞行时间内又回到 a 点。即平抛运动的时间等于 A 球周期的整数倍，所以- 14 -t nT， T ， n1,2,3，2hg 1n2hg答案：(1) R (2)2 Rg2h g2h(3) (n1,2,3，)1n2hg
