1、1第 3 讲 机械能守恒定律一、重力做功与重力势能的关系1重力做功的特点(1)重力做功与路径无关，只与该物体始、末位置的高度差有关(2)重力做功不引起物体机械能的变化2重力势能(1)表达式： Ep mgh.(2)重力势能的特点重力势能是物体和地球所共有的，重力势能的大小与参考平面的选取有关，但重力势能的变化与参考平面的选取无关3重力做功与重力势能变化的关系(1)定性关系：重力对物体做正功，重力势能减小；重力对物体做负功，重力势能增大(2)定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的减小量即 WG( Ep2 Ep1) Ep.自测 1 关于重力势能，下列说法中正确的是( )A物体的位置一旦确定，它
2、的重力势能的大小也随之确定B物体与零势能面的距离越大，它的重力势能也越大C一个物体的重力势能从5J 变化到3J，重力势能减少了D重力势能的减少量等于重力对物体做的功答案 D二、弹性势能1定义：发生弹性形变的物体之间，由于有弹力的相互作用而具有的势能2弹力做功与弹性势能变化的关系：弹力做正功，弹性势能减小；弹力做负功，弹性势能增加即 W Ep.自测 2 (多选)关于弹性势能，下列说法中正确的是( )A任何发生弹性形变的物体，都具有弹性势能B任何具有弹性势能的物体，一定发生了弹性形变C物体只要发生形变，就一定具有弹性势能D弹簧的弹性势能只跟弹簧被拉伸或压缩的长度有关答案 AB2三、机械能守恒定律1
3、内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变2表达式： mgh1 mv mgh2 mv .12 12 12 223条件(1)系统只受重力或弹簧弹力的作用，不受其他外力(2)系统除受重力或弹簧弹力作用外，还受其他内力和外力，但这些力对系统不做功(3)系统内除重力或弹簧弹力做功外，还有其他内力和外力做功，但这些力做功的代数和为零(4)系统跟外界没有发生机械能的传递，系统内、外也没有机械能与其他形式的能发生转化自测 3 (多选)如图 1 所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是( )图 1A甲图中，物体 A 将弹簧压缩的过程中，物体 A 机械能守恒B乙图中，
4、物体 A 固定，物体 B 沿斜面匀速下滑，物体 B 的机械能守恒C丙图中，不计任何阻力和定滑轮质量时， A 加速下落， B 加速上升过程中， A、 B 组成的系统机械能守恒D丁图中，小球沿水平面做匀速圆锥摆运动时，小球的机械能守恒答案 CD自测 4 (多选)如图 2 所示，在地面上以速度 v0抛出质量为 m 的物体，抛出后物体落到比地面低 h 的海平面上若以地面为零势能面，而且不计空气阻力，则下列说法中正确的是( )图 2A重力对物体做的功为 mgh3B物体在海平面上的重力势能为 mghC物体在海平面上的动能为 mv mgh12 02D物体在海平面上的机械能为 mv12 02答案 AD命题点一
5、 机械能守恒的判断1只有重力做功时，只发生动能和重力势能的相互转化如自由落体运动、抛体运动等2只有系统内弹力做功，只发生动能和弹性势能的相互转化如在光滑水平面上运动的物体碰到一个弹簧，和弹簧相互作用的过程中，对物体和弹簧组成的系统来说，机械能守恒3只有重力和系统内弹力做功，只发生动能、弹性势能、重力势能的相互转化如自由下落的物体落到竖直的弹簧上，和弹簧相互作用的过程中，对物体和弹簧组成的系统来说，机械能守恒4除受重力(或系统内弹力)外，还受其他力，但其他力不做功，或其他力做功的代数和为零如物体在沿斜面向下的拉力 F 的作用下沿固定斜面向下运动，拉力的大小与摩擦力的大小相等，在此运动过程中，物体
6、机械能守恒例 1 (多选)(2018苏州市期中)下列情形中物体或系统机械能守恒的是(空气阻力均不计)( )A抛出的篮球在空中运动B物体沿粗糙斜面匀速下滑C细绳拴着小球在竖直平面内做圆周运动D系统只有重力或弹簧弹力做功的过程答案 ACD解析 空气阻力不计，故篮球在空中只受重力，机械能守恒，故 A 正确；物体沿粗糙斜面匀速下滑时，摩擦阻力做负功，机械能不守恒，故 B 错误；细绳拴着小球在竖直平面内做圆周运动，绳子拉力不做功，只有重力做功，机械能守恒，故 C 正确；系统只有重力或弹簧弹力做功的过程，符合机械能守恒的条件，机械能一定守恒，故 D 正确变式 1 一轻质弹簧，固定于天花板上的 O 点处，原
7、长为 L，如图 3 所示，一个质量为 m 的物块从 A 点竖直向上抛出，以速度 v 与弹簧在 B 点相接触，然后向上压缩弹簧，到 C 点时物块速度为零，在此过程中无机械能损失，则下列说法正确的是( )4图 3A由 A 到 C 的过程中，动能和重力势能之和不变B由 B 到 C 的过程中，弹性势能和动能之和不变C由 A 到 C 的过程中，物块 m 的机械能守恒D由 B 到 C 的过程中，物块与弹簧组成的系统机械能守恒答案 D命题点二 单个物体的机械能守恒1表达式2一般步骤3选用技巧在处理单个物体机械能守恒问题时通常应用守恒观点和转化观点，转化观点不用选取零势能面例 2 (2018盐城市期中)如图
8、4 甲所示，游乐场的过山车可以底朝上在圆形轨道上运行，游客却不会掉落下来我们把这种情景抽象为如图乙所示的模型：高 h 的弧形轨道下端与半径为 R 的竖直圆形轨道平滑相接，使质量为 m 的小球从弧形轨道上端由静止滚下，小球进入圆形轨道下端后沿圆形轨道运动不计一切阻力，重力加速度为 g.5图 4(1)求小球运动到圆形轨道最低点时的角速度；(2)求小球在圆形轨道上运动而不脱离时 h 的取值范围答案 (1) (2)0 h R 或 h R2ghR 52解析 (1)对小球从静止到运动至圆形轨道最低点的运动过程，由机械能守恒可得： mghmv2，所以 v ，则角速度 ；12 2gh vR 2ghR(2)小球
9、在圆形轨道上运动而不脱离，那么，小球运动的最高点高度 H2 R 或 0 H R；当 H2 R 时，设在最高点的速度为 v，则由牛顿第二定律可得： mg ；对小球从静mv 2R止到运动到最高点的过程，由机械能守恒可得： mg(h2 R) mv 2 mgR，所以 h R；12 12 52当 0 H R 时，设在最高点的速度为 0，对小球从静止到运动到最高点的过程，由动能定理可得： mg(h H)0，所以 h H，即 0 h R；故小球在圆形轨道上运动而不脱离， h 的取值范围为 0 h R 或 h R.52变式 2 (多选)(2018无锡市期中)物体做自由落体运动， Ek代表动能， Ep代表势能，
10、 h 代表下落的距离，以水平地面为零势能面下列所示图象中，能正确反映各物理量之间关系的是( )答案 BD解析 自由落体运动的速度 v gt，则动能 Ek mv2 mg2t2，故 Ek与 t、 v 均成二次函数12 12关系，物体的重力势能： Ep E Ek E mv2 E mg2t2，故 Ep与 t、 v 均成二次函数关系，12 12开口的方向均向下，故 A 错误，B 正确因为在整个运动的过程中，机械能守恒，所以Ek Ep C(常量)，所以 Ep C Ek， Ep与 Ek成一次函数关系，故 C 错误，由动能定理，Ek mgh，则 Ep C mgh， Ep与 h 成一次函数关系，D 正确6命题点
11、三 连接体的机械能守恒1多个物体组成的系统机械能守恒的判断一般从能量转化的角度：判断是否只有动能与重力势能(或弹性势能)之间的相互转化，有无其它形式的能量参与或判断：有无摩擦、碰撞、绳子绷紧等现象2绳、杆相连物体的速度往往不同，要注意各物体间的速度关系3 “链条” “液柱”等不能看成质点的物体，可分析重心位置的变化，也可分段处理，明确初末状态各部分的高度与速度4列机械能守恒方程时，一般选用 Ek Ep或 EA EB的形式例 3 (2018江苏单科14)如图 5 所示，钉子 A、 B 相距 5l，处于同一高度细线的一端系有质量为 M 的小物块，另一端绕过 A 固定于 B.质量为 m 的小球固定在
12、细线上 C 点， B、 C间的线长为 3l.用手竖直向下拉住小球，使小球和物块都静止，此时 BC 与水平方向的夹角为 53.松手后，小球运动到与 A、 B 相同高度时的速度恰好为零，然后向下运动忽略一切摩擦，重力加速度为 g，取 sin530.8，cos530.6.求：图 5(1)小球受到手的拉力大小 F；(2)物块和小球的质量之比 M m；(3)小球向下运动到最低点时，物块 M 所受的拉力大小 T.答案 (1) Mg mg (2)6553(3)8mMg5m M(4855mg或 811Mg)解析 (1)对小球受力分析，如图所示，设小球受 AC、 BC 的拉力分别为 F1、 F2在水平方向： F
13、1sin53 F2cos53在竖直方向： F mg F1cos53 F2sin53且 F1 Mg由式解得 F Mg mg53(2)小球运动到与 A、 B 相同高度过程中7由几何关系得小球上升高度 h13 lsin53物块下降高度 h22 l物块和小球组成的系统机械能守恒，根据机械能守恒定律mgh1 Mgh2由式解得 Mm 65(3)根据机械能守恒定律，小球回到起始点，设此时 AC 方向的加速度大小为 a，物块受到的拉力为 T对物块由牛顿第二定律得Mg T Ma根据牛顿第三定律，小球受 AC 的拉力T T对小球，在沿 AC 方向，由牛顿第二定律得T mgcos53 ma解得 T (结合式，也可得
14、到 T mg 或 T Mg)8mMg5m M 4855 811变式 3 (多选)(2018沛县中学调研)如图 6 所示，质量相等的两个物块 A 和 B 用跨过滑轮的轻绳相连，不计摩擦、滑轮质量和空气阻力， B 物块套在光滑的竖直杆上，在 B 下落的过程中，下列说法正确的是( )图 6A物块 B 减少的机械能等于物块 A 增加的机械能B物块 B 减少的重力势能等于物块 A 和 B 增加的动能之和C绳拉力对 A 做的功等于 B 克服绳拉力做的功D物块 A 和 B 的速度大小相等答案 AC解析 A、 B 两物块组成的系统，只有重力做功，系统机械能守恒，则 A 增加的机械能与 B减小的机械能相等，故
15、A 正确因为系统机械能守恒，则 A、 B 系统重力势能的减小量等于物块 A、 B 增加的动能之和，故 B 错误绳子拉力对 A 做的功等于 A 的机械能增加量， B 克服绳子拉力做的功等于 B 机械能的减小量，因为机械能守恒，则绳拉力对 A 做的功等于 B 克服绳拉力做的功，故 C 正确物块 B 速度在沿绳子方向的分速度等于 A 的速度，可知 B 的速8度大于 A 的速度，故 D 错误命题点四 含弹簧类机械能守恒问题1由于弹簧发生形变会具有弹性势能，系统的总动能将发生变化，若系统所受的外力(除重力外)和除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒2弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长(或压缩至最短)时，两
16、端的物体具有相同的速度，弹性势能最大3如果系统内每个物体除弹簧弹力外所受合力为零，当弹簧为自然长度时，系统内弹簧某一端的物体具有最大速度(如绷紧的弹簧在光滑桌面上由静止释放)例 4 (多选)(2018南京市三模)如图 7 所示，轻弹簧一端固定于 O 点，另一端与可视为质点的小滑块连接，把滑块放在光滑斜面上的 A 点，此时弹簧恰好水平，将滑块从 A 点由静止释放，经 B 点到达位于 O 点正下方的 C 点，当滑块运动到 B 点时弹簧与斜面垂直，运动到C 点时弹簧恰好处于原长，已知 OC 的距离为 L，斜面倾角为 30，弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为 g.则滑块由 A 运动到 C 的过程中(
17、)图 7A滑块的加速度一直减小B滑块经过 B 点时的速度一定最大C滑块经过 C 点的速度大于 2gLD滑块的加速度大小等于 的位置一共有三处g2答案 CD变式 4 (多选)(2018南通市等七市三模)如图 8 所示，斜面体静置在水平面上，斜面底端固定一挡板，轻弹簧一端连接在挡板上，弹簧原长时自由端在 B 点一小物块紧靠弹簧放置，在外力作用下将弹簧压缩至 A 点物块由静止释放后，恰能沿粗糙斜面上滑至最高点C，然后下滑，最终停在斜面上，斜面体始终保持静止则( )图 8A物块最终会停在 A、 B 之间的某位置B物块上滑过程速度最大的位置与下滑过程速度最大的位置相同C整个运动过程中产生的内能小于弹簧的
18、最大弹性势能D物块从 A 上滑到 C 过程中，地面对斜面体的摩擦力先减小再增大，然后不变9答案 ACD1.背越式跳高是一项跳跃垂直障碍的运动项目，包括助跑、起跳、过杆和落地四个阶段，如图 9 所示为从起跳到落地运动过程分解图，某同学身高 1.80m，体重 60kg，参加学校运动会成功地越过了 1.90m 的横杆，该同学跳起时刻的动能可能是下列哪个值( )图 9A500JB600JC800JD2000J答案 C2(多选)(2018南京市三模)抛出的铅球在空中的运动轨迹如图 10 所示， A、 B 为轨迹上等高的两点，铅球可视为质点，空气阻力不计用 v、 E、 Ek、 P 分别表示铅球的速率、机械
19、能、动能和重力瞬时功率的大小，用 t 表示铅球在空中从 A 运动到 B 的时间，则下列图象中不正确的是( )图 10答案 ABC3(多选)(2018南通等六市一调)如图 11 所示，一轻弹簧直立于水平面上，弹簧处于原长时上端在 O 点，将一质量为 M 的物块甲轻放在弹簧上端，物块甲下降到 A 点时速度最大，下降到最低点 B 时加速度大小为 g， O、 B 间距为 h.换用另一质量为 m 的物块乙，从距 O 点高为 h 的 C 点由静止释放，也刚好将弹簧压缩到 B 点不计空气阻力，弹簧始终在弹性限度内，重力加速度大小为 g，则上述过程中( )10图 11A弹簧最大弹性势能为 MghB乙的最大速度
20、为 2ghC乙在 B 点加速度大小为 2gD乙运动到 O 点下方 处速度最大h4答案 AD解析 对于物块甲的运动过程，根据机械能守恒定律可知，弹簧压缩到 B 点时的弹性势能等于甲的重力势能的变化即 Mgh，物块乙也刚好将弹簧压缩到 B 点，所以弹簧最大弹性势能为Mgh，故 A 正确；当乙下落到 O 点时，根据动能定理： mgh mv2，解得： v ，此时开12 2gh始压缩弹簧，但弹簧弹力为零，所以物块将继续加速直到弹力等于重力时速度达到最大，所以乙的最大速度大于 ，故 B 错误；根据机械能守恒有 Mgh mg2h，则 m M，在 B 点2gh12对 M 根据牛顿第二定律有： F Mg Mg，
21、对 m 根据牛顿第二定律有： F mg ma，联立可得：a3 g，故 C 错误；设弹簧劲度系数为 k，在最低点有： kh2 Mg4 mg，即 k mg，可得乙h4运动到 O 点下方 处速度最大，故 D 正确h44(2018扬州中学 5 月模拟)如图 12 所示，小球(可视为质点)从静止开始沿光滑曲面轨道AB 滑下，从 B 端水平飞出，撞击到一个与地面呈 37的斜面上，撞击点为 C.已知斜面上端与曲面末端 B 相连， A、 B 间的高度差为 h， B、 C 间的高度差为 H，不计空气阻力，则 h与 H 的比值 为( )hH图 12A. B. C. D.34 43 94 49答案 D5(多选)(2
22、018苏锡常镇二模)如图 13 所示，用铰链将三个质量均为 m 的小球 A、 B、 C 与两根长为 L 的轻杆相连， B、 C 置于水平地面上在轻杆竖直时，将 A 由静止释放， B、 C 在杆的作用下向两侧滑动，三小球始终在同一竖直平面内运动忽略一切摩擦，重力加速度为g.则此过程中( )11图 13A球 A 的机械能一直减小B球 A 落地的瞬时速度为 2gLC球 B 对地面的压力始终等于 mg32D球 B 对地面的压力可小于 mg答案 BD1(多选)下列运动的物体，机械能守恒的有( )A物体沿斜面匀速下滑B物体做自由落体运动C跳伞运动员在空中匀速下降D木块沿光滑曲面自由下滑答案 BD解析 物体
23、沿斜面匀速下滑、跳伞运动员在空中匀速下降，都属于动能不变，重力势能减小的情况，因此机械能不守恒，A、C 错误；物体做自由落体运动，此时它只受重力作用，机械能守恒，木块沿光滑曲面自由下滑时只有重力做功，故机械能守恒，所以 B、D 正确2.(2018常熟市模拟)半径分别为 r 和 R(r0，解得 H2R.故选 B.4(多选)(2018无锡市期中)如图 3 所示，一物体从光滑斜面 AB 底端 A 点以初速度 v0上滑，沿斜面上升的最大高度为 h.假设下列情境中物体从 A 点上滑的初速度仍为 v0，则下列说法中正确的是( )图 3A若把斜面 CB 部分截去，物体冲过 C 点后上升的最大高度仍为 hB若
24、把斜面弯成圆弧 D，物体仍沿圆弧升高 hC若把斜面 AB 变成曲面 AEB，物体沿此曲面上升仍能到达 B 点D若把斜面从 C 点以上部分弯成与 C 相切的圆弧状，物体上升的最大高度有可能仍为 h答案 CD解析 若把斜面 CB 部分截去，物体冲过 C 点后做斜抛运动，物体运动到最高点有水平分速度，速度不为零，由机械能守恒可知，物体不能到达 h 高处，故 A 错误；若把斜面弯成圆弧D，如果能到圆弧最高点，根据机械能守恒定律得知：到达 h 高处的速度应为零，而物体要到达最高点，必须由合力充当向心力，速度不为零，故知物体不可能到达 h 高处，故 B 错误；若把斜面 AB 变成曲面 AEB，物体在最高点
25、速度为零，根据机械能守恒定律，物体沿此曲面上升仍能到达 B 点，故 C 正确；若把斜面从 C 点以上部分弯成与 C 相切的圆弧状，若圆弧的圆心位置低于 h 高度，则物体在最高点速度为零，根据机械能守恒定律，物体沿斜面上升的最大高度仍然为 h，故 D 正确5(2018江苏百校 12 月大联考)一小球在空中从 t0 时刻开始做自由落体运动，如图 4所示以地面为参考平面，关于小球速率 v、重力的瞬时功率 P、小球的动能 Ek和重力势能13Ep随时间 t 变化的图象正确的是( )图 4答案 B6(2018宿迁市上学期期末)如图 5 所示，可视为质点的小球 A、 B 用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在
26、地面上、半径为 R 的光滑圆柱， A 的质量为 B 的两倍当 B 位于地面上时，A 恰与圆柱轴心等高将 A 由静止释放， B 上升的最大高度是( )图 5A2 RB. C. D.5R3 4R3 2R3答案 C解析 设 B 球质量为 m， A 球刚落地时两球速度大小为 v，根据机械能守恒定律得2mgR mgR (2m m)v2，得 v2 gR， B 球继续上升的高度 h ， B 球上升的最大高度12 23 v22g R3为 h R R，故选 C.437(多选)(2018淮安市、宿迁市等期中)如图 6 所示，足够长的光滑斜面固定在水平面上，竖直轻质弹簧与 A、 B 物块相连， A、 C 物块由跨过
27、光滑小滑轮的轻绳连接初始时刻， C 在外力作用下静止，绳中恰好无拉力， B 放置在水平面上， A 静止现撤去外力，物块 C 沿斜面向下运动，当 C 运动到最低点时， B 刚好离开地面已知 A、 B 的质量均为 m，弹簧始终处于弹性限度内，则上述过程中( )图 6A C 的质量 mC可能小于 m14B C 的速度最大时， A 的加速度为零C C 的速度最大时，弹簧弹性势能最小D A、 B、 C 组成的系统的机械能先变小后变大答案 BC解析 C 的速度最大时，加速度为零，因 A 的加速度等于 C 的加速度，则此时 A 的加速度也为零，选项 B 正确；设弹簧的劲度系数为 k，开始时弹簧压缩量为 x1
28、 ，因当 C 运动到mgk最低点时， B 刚好离开地面，此时弹簧伸长量为 x2 ，根据对称性可知，当 A 的加速度mgk为零时，弹簧处于原长状态，则此时弹簧弹性势能为零，设斜面倾角为 ，此时有mCgsin mg，则 C 的质量 mC一定大于 m，选项 A 错误，C 正确；因只有重力和弹力做功，则 A、 B、 C 及弹簧组成的系统的机械能守恒，因弹性势能先减小后增大，则 A、 B、 C 系统的机械能先变大后变小，选项 D 错误8(多选)(2018南京市、盐城市一模)如图 7 所示，光滑细杆上套有两个质量均为 m 的小球，两球之间用轻质弹簧相连，弹簧原长为 L，用长为 2L 的细线连接两球现将质量
29、为 M的物块用光滑的钩子挂在细线上，从细线绷直开始释放，物块向下运动则物块( )图 7A运动到最低点时，小球的动能为零B速度最大时，弹簧的弹性势能最大C速度最大时，杆对两球的支持力为( M2 m)gD运动到最低点时，杆对两球的支持力小于( M2 m)g答案 AC解析 物块从开始释放先做加速运动，后做减速运动直到速度为零即到达最低点，故 A 正确；根据系统机械能守恒可知，物块 M 减小的重力势能转化为弹簧的弹性势能、物块和两小球的动能，当物块运动到最低点时，即速度为零时，弹簧的弹性势能最大，故 B 错误；速度最大时，即此时系统所受合力为零，将两小球和物块看成系统，受重力( M2 m)g 和杆对两
30、球的支持力二力平衡，故 C 正确；运动到最低点时，物块具有向上的加速度，由整体法可知，杆对两球的支持力大于( M2 m)g，故 D 错误9(2018扬州中学月考)如图 8 所示，一轻绳绕过无摩擦的两个轻质小定滑轮 O1、 O2和质量为 m 的小球连接，另一端与套在光滑直杆上质量也为 m 的小物块连接，已知直杆两端固定，15与两定滑轮在同一竖直平面内，与水平面的夹角 60，直杆上 C 点与两定滑轮均在同一高度， C 点到定滑轮 O1的距离为 L，重力加速度为 g，设直杆足够长，小球运动过程中不会与其他物体相碰现将小物块从 C 点由静止释放，当小物块沿杆下滑距离也为 L 时(图中D 处)，求：图
31、8(1)小球下降的最大距离；(2)小物块在 D 处的速度大小答案 见解析解析 (1)当拉物块的绳子与直杆垂直时，小球下降的距离最大，根据几何关系知， h L Lsin 60 L(1 )；32(2)设小物块下滑距离为 L 时的速度大小为 v，此时小球的速度大小为 v1，则 v1 vcos对物块和小球组成的系统根据机械能守恒定律，有：mgLsin mv mv212 12 12解得 v .253gL510(2018南京市三模)如图 9 所示，物块 A、 B、 C 的质量分别为 2m、2 m、 m，并均可视为质点，三个物块用轻绳通过轻质滑轮连接，在外力作用下现处于静止状态，此时物块 A 置于地面，物块
32、 B 与 C、 C 到地面的距离均是 L，现将三个物块由静止释放若 C 与地面、 B 与 C相碰后速度立即减为零， A 距离滑轮足够远且不计一切阻力，重力加速度为 g.求：16图 9(1)刚释放时 A 的加速度大小及轻绳对 A 的拉力大小；(2)物块 A 由最初位置上升的最大高度；(3)若改变 A 的质量使系统由静止释放后物块 C 能落地且物块 B 与 C 不相碰，则 A 的质量应满足的条件答案 见解析解析 (1)设刚释放时 A、 B、 C 的加速度大小为 a，绳子对 A 的拉力大小为 F由受力分析可知对于 A 有 F2 mg2 ma对于 B、 C 整体有 3mg F3 ma联立解得 a ，
33、F mg2.4 mgg5 125(2)C 下落 L 后落地，由 v22 ax 可知此时的速度v25gL由 h 得 h0.2 Lv22g则物块由最初位置上升的最大高度 H2.2 L(3)若改变 A 的质量使系统由静止释放后物块 C 能落地，则 A 的质量需满足 mA3m同时使得 B 与 C 不相碰，即 C 落地后 B 减速下降到地面时速度为 0，从释放到 C 落地的过程中运用系统机械能守恒定律得 3 mgL mAgL (3m mA)v212解得 v23m mAgL3m mA从 C 落地到 B 减速到速度为 0 的过程中运用机械能守恒定律得 2mgL (2m mA)v2 mAgL12解得 mA m
34、6即 A 的质量满足 mmA3m，系统由静止释放后物块 C 能落地且物块 B 与 C 不相碰611(2019海安中学月考)如图 10 所示，长为 L 的轻杆一端连着质量为 m 的小球，另一端与固定于水平地面上 O 点的铰链相连，初始时小球静止于地面上，边长为 L、质量为 M 的正17方体左侧紧靠 O 点现在杆中点处施加一个方向始终垂直杆、大小不变的拉力，当杆转过 45时撤去此拉力，小球恰好能到达最高点，不计一切摩擦，重力加速度为 g.求：图 10(1)拉力做的功 W 和拉力的大小 F；(2)撤去拉力 F 时小球的动能 Ek；(3)小球运动到最高点后向右倾倒，当杆与水平面夹角为 时小球的速度大小 v1(正方体和小球未分开)答案 (1) mgL (2)(1 )mgL8mg 22(3)2mgL1 sin m Msin2解析 (1)根据动能定理得 WF mgL0，且有 W F 4 L2解得力 F 所做的功为： WF mgL，拉力的大小 F8mg(2)根据动能定理有： WF mgLsin Ek0解得： Ek(1 )mgL22(3)当杆与水平面夹角为 时，小球的速度为 v1，正方体的速度为 v2v2 v1sin 对轻杆、小球和正方体组成的系统，根据机械能守恒有：mg(L Lsin ) mv Mv12 12 12 22联立解得： v1 .2mgL1 sin m Msin218
