1、1第 4 讲 功能关系 能量守恒定律一、几种常见的功能关系及其表达式力做功 能的变化 定量关系合力的功 动能变化 W Ek2 Ek1 Ek重力的功 重力势能变化(1)重力做正功，重力势能减少(2)重力做负功，重力势能增加(3)WG Ep Ep1 Ep2弹簧弹力的功 弹性势能变化(1)弹力做正功，弹性势能减少(2)弹力做负功，弹性势能增加(3)WF Ep Ep1 Ep2只有重力、弹簧弹力做功机械能不变化 机械能守恒 E0除 重 力 和 弹 簧 弹 力之 外 的 其 他 力 做 的 功机械能变化(1)其他力做多少正功，物体的机械能就增加多少(2)其他力做多少负功，物体的机械能就减少多少(3)W 其
2、他 E一对相互作用的滑动摩擦力的总功机械能减少内能增加(1)作用于系统的一对滑动摩擦力一定做负功，系统内能增加(2)摩擦生热 Q Ffx 相对自测 1 升降机底板上放一质量为 100kg 的物体，物体随升降机由静止开始竖直向上移动5m 时速度达到 4m/s，则此过程中( g 取 10 m/s2，不计空气阻力)( )A升降机对物体做功 5800JB合外力对物体做功 5800JC物体的重力势能增加 500JD物体的机械能增加 800J答案 A二、能量守恒定律1内容2能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体转移到别的物体，在转化或转移的过程中，能量的总量保
3、持不变2表达式 E 减 E 增3基本思路(1)某种形式的能量减少，一定存在其他形式的能量增加，且减少量和增加量一定相等；(2)某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等自测 2 如图 1 所示，一质量均匀的不可伸长的绳索重为 G， A、 B 两端固定在天花板上，现在最低点 C 施加一竖直向下的力将绳索缓慢拉到 D 点，在此过程绳索 AB 的重心位置将( )图 1A逐渐升高 B逐渐降低C先降低后升高 D始终不变答案 A解析 由题意知外力对绳索做正功，故机械能增加，重心升高，故选 A.命题点一 摩擦力做功与能量转化1静摩擦力做功(1)静摩擦力可以做正功，也可以做负功，
4、还可以不做功(2)相互作用的一对静摩擦力做功的代数和总等于零(3)静摩擦力做功时，只有机械能的相互转移，不会转化为内能2滑动摩擦力做功的特点(1)滑动摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功(2)相互间存在滑动摩擦力的系统内，一对滑动摩擦力做功将产生两种可能效果：机械能全部转化为内能；有一部分机械能在相互摩擦的物体间转移，另外一部分转化为内能(3)摩擦生热的计算： Q Ffx 相对 其中 x 相对 为相互摩擦的两个物体间的相对路程从功的角度看，一对滑动摩擦力对系统做的总功的绝对值等于系统内能的增加量；从能量的角度看，其他形式能量的减少量等于系统内能的增加量例 1 (多选)如图 2 所示，一
5、水平传送带以速度 v 匀速运动，将质量为 m 的小工件轻轻放到水平传送带上，工件在传送带上滑动一段时间后与传送带保持相对静止，在上述过程中( )3图 2A工件对传送带做功为 mv212B传送带与工件间摩擦产生热量为 mv212C传送带因为传送工件需要多做的功为 mv2D传送带对工件做的功为 mv212答案 BCD解析 根据牛顿第二定律知工件的加速度大小为： a g ，工件的速度由零增大到 v mgm用时为： t ，该时间内传送带的位移为： x vt ，所以工件对传送带做功为：va v g v2 gWf Ffx mg mv2，故 A 错误；传送带与工件间相对位移大小为： x vt v2 g vt
6、2，摩擦产生热量为： Q mg x mg mv2，故 B 正确；传送带因为传送工件v22 g v22 g 12需要多做的功为： W Q mv2 mv2，故 C 正确；在运动的过程中只有摩擦力对工件做功，12由动能定理可知，摩擦力对工件做的功等于工件动能的变化，即 mv2，故 D 正确12变式 1 如图 3 甲所示，长木板 A 放在光滑的水平面上，质量为 m2kg 的另一物体 B(可看成质点)以水平速度 v02m/s 滑上原来静止的长木板 A 的上表面由于 A、 B 间存在摩擦，之后 A、 B 速度随时间变化情况如图乙所示，则下列说法正确的是( g 取 10 m/s2)( )图 3A木板获得的动
7、能为 2JB系统损失的机械能为 4JC木板 A 的最小长度为 2mD A、 B 间的动摩擦因数为 0.1答案 D4解析 由题图乙可知，第 1 s 内 A、 B 的加速度大小都为 1 m/s2，根据牛顿第二定律知二者质量相等，木板获得的动能为 1 J，选项 A 错误；系统损失的机械能 E mv 2mv22 J，选项 B 错误；由 v t 图象可求出二者相对位移大小为 1 12 02 12m，选项 C 错误；分析 B 的受力，根据牛顿第二定律，可求出 0.1，选项 D 正确5命题点二 功能关系的理解与应用1只涉及动能的变化用动能定理分析2只涉及重力势能的变化，用重力做功与重力势能变化的关系分析3只
8、涉及机械能的变化，用除重力和弹簧的弹力之外的力做功与机械能变化的关系分析例 2 (2018无锡市期中)如图 4 所示，楔形木块固定在水平面上，斜面 AB、 BC 与水平面的夹角分别为 53、37.质量分别为 2m、 m 的两滑块 P、 Q 通过不可伸长的轻绳跨过轻质定滑轮连接，轻绳与斜面平行已知滑块 P 与 AB 间的动摩擦因数为 ，其他摩擦不计，在两13滑块运动的过程中( )图 4A Q 动能的增加量等于轻绳对 Q 做的功B Q 机械能的增加量等于 P 机械能的减少量C P 机械能的减少量等于系统摩擦产生的热量D P 克服绳子拉力做的功等于绳子拉力对 Q 做的功答案 D解析 在两滑块运动的过
9、程中， Q 沿斜面上升，轻绳的拉力和重力都对 Q 做功，由动能定理知 Q 动能的增加量等于轻绳对 Q 做的功与重力做功的代数和，故 A 错误由于 P 下滑过程中要产生内能，所以 Q 机械能的增加量与系统摩擦产生的内能之和等于 P 机械能的减少量，故B 错误根据能量守恒定律知， P 机械能的减少量等于系统摩擦产生的热量与 Q 机械能的增加量之和，故 C 错误由题图可知， P 与 Q 位移的大小是相等的，绳子对 P 与对 Q 的拉力大小也相等，所以 P 克服绳子拉力做的功等于绳子拉力对 Q 做的功，故 D 正确变式 2 (多选)如图 5 所示，质量为 m 的物体(可视为质点)以某一速度从 A 点冲
10、上倾角为30的固定斜面，其减速运动的加速度为 g，此物体在斜面上能够上升的最大高度为 h，则34在这个过程中物体( )图 5A重力势能增加了 mghB机械能损失了 mgh126C动能损失了 mghD克服摩擦力做功 mgh14答案 AB命题点三 能量守恒定律的应用1两点理解(1)某 种 形 式 的 能 量 减 少 ， 一 定 有 另 外 形 式 的 能 量 增 加 ， 且 减 少 量 和 增 加 量 相 等 ， 即 E 减 E 增 (2)某 个 物 体 的 能 量 减 少 ， 一 定 有 别 的 物 体 的 能 量 增 加 ， 且 减 少 量 和 增 加 量 相 等 ， 即 EA 减 EB 增
11、2解题思路(1)当涉及滑动摩擦力做功，机械能不守恒时，一般应用能的转化和守恒定律(2)解题时，首先确定初末状态，然后分析状态变化过程中哪种形式的能量减少，哪种形式的能量增加，求出减少的能量总和 E 减 和增加的能量总和 E 增 ，最后由 E 减 E 增 列式求解例 3 (2018徐州市期中)如图 6 所示，水平轻质弹簧一端固定在墙壁上的 O 点，另一端自由伸长到 A 点， OA 之间的水平面光滑固定曲面在 B 处与水平面平滑连接 AB 之间的距离 s1m质量 m0.2kg 的小物块开始时静置于水平面上的 B 点，物块与 AB 水平面间的动摩擦因数 0.4.现给物块一个水平向左 v05m/s 的
12、初速度，重力加速度 g 取 10 m/s2.图 6(1)求弹簧被压缩到最短时所具有的弹性势能 Ep；(2)求物块返回 B 点时的速度大小；(3)若物块能冲上曲面的最大高度 h0.2m，求物块沿曲面上滑过程所产生的热量答案 (1)1.7J (2)3m/s (3)0.5J解析 (1)物块从 B 向左经过 A 到将弹簧压到最短的过程，根据功能关系，有： mgs Ep0 mv ，12 02解得： Ep mv mgs 0.252 J0.40.2101 J1.7 J；12 02 12(2)物块从 B 向左开始到向右返回 B 的过程，根据动能定理，有： mg 2s mv mv12 12 12，02解得： v
13、1 m/s3 m/s；v02 4 gs 52 40.4101(3)对物块从向右经过 B 到最高点过程，根据能量守恒定律，有：7mv Q mgh12 12代入数据解得： Q0.5 J.变式 3 (2018扬州市一模)如图 7 所示，在某电视台举办的冲关游戏中， AB 是处于竖直平面内的光滑圆弧轨道半径 R1.6m， BC 是长度为 L13m 的水平传送带， CD 是长度为L23.6m 的水平粗糙轨道， AB、 CD 轨道与传送带平滑连接，参赛者抱紧滑板从 A 处由静止下滑参赛者和滑板可视为质点，参赛者质量 m60kg，滑板质量可忽略，已知滑板与传送带、水平轨道的动摩擦因数分别为 10.4、 20
14、.5， g 取 10m/s2，求：图 7(1)参赛者运动到圆弧轨道 B 处对轨道的压力大小；(2)若参赛者恰好能运动至 D 点，求传送带运转速率及方向；(3)在第(2)问中，传送带由于传送参赛者多消耗的电能答案 (1)1200N (2)6m/s 顺时针转动 (3)720J解析 (1)参赛者从 A 到 B 的过程，由机械能守恒定律得： mgR(1cos60) mv ，12 B2代入数据得： vB4m/s在 B 点，对参赛者，由牛顿第二定律得：FN mg mvB2R代入数据得： FN1200N由牛顿第三定律知参赛者运动到圆弧轨道 B 处对轨道的压力大小为： FN FN1200N(2)参赛者由 C
15、到 D 的过程，由动能定理得： 2mgL20 mv ，解得： vC6m/s vB4 m/s12 C2所以传送带运转方向为顺时针方向假设参赛者在传送带上一直加速，设到达 C 点的速度为 v，由动能定理得： 1mgL1 mv212mv12 B2解得： v2 m/svC6 m/s，108故假设不成立，参赛者在传送带上先匀加速到 6m/s，再做匀速运动，所以传送带速率为 6 m/s.(3)参赛者在传送带上做匀加速运动的时间为：t s0.5svC vBa vC vB 1g 6 40.410此过程中参赛者与传送带间的相对位移大小为： x vCt t t 0.5m0.5mvB vC2 vC vB2 6 42
16、传送带由于传送参赛者多消耗的电能为：E 1mg x (12mvC2 12mvB2)代入数据解得 E720J.1(2018泰州中学期中)如图 8，跳伞员跳伞后最初一段时间降落伞并不张开，跳伞员在重力和空气阻力作用下做加速运动，下落一定高度后，降落伞张开，跳伞员做减速运动，速度降至一定值后便不再降低，跳伞员以这一速度匀速下降在跳伞过程中，下列说法中正确的是( )图 8A降落伞张开后到落地的过程中，跳伞员始终处于超重状态B跳伞员在整个下落过程中机械能一直减小C跳伞员在整个下落过程中机械能先增大后减小D如果在下落过程中，受到水平吹来的风，跳伞员将做平抛运动答案 B2(2018扬州中学月考)如图 9 所
17、示，图甲为水平传送带，图乙为倾斜传送带，两者长度相同，均沿顺时针方向转动，转动速度大小相等，将两个完全相同的物块分别轻放在图甲、乙传送带上的 A 端，两物块均由静止开始做匀加速运动，到 B 端时均恰好与传送带速度相同，则下列说法正确的是( )9图 9A图甲中物块运动时间小于图乙中物块运动时间B图甲、乙中传送带和物块间因摩擦产生的热量相等C图甲、乙中传送带对物块做的功都等于物块动能的增加量D图甲、乙中传送带对物块做的功都等于物块机械能的增加量答案 D解析 设传送带长度为 L，速度为 v，根据 L t，知 t ， L、 v 相等，所以时间 t 相等，v2 2Lv故 A 错误；物块与传送带间的相对位
18、移 x vt L L，可知相对位移大小相等，由 a ，vt知加速度大小相等根据牛顿第二定律得：题图甲中有 Ff1 ma，题图乙中有Ff2 mgsin ma，可得 Ff1v2，已知传送带的速度保持不变，则( )14图 7A物块在 0 t1内运动的位移比在 t1 t2内运动的位移小B若物块与传送带间的动摩擦因数为 ，那么 tanC0 t2内，传送带对物块做功为 W mv mv12 22 12 12D0 t2内物块动能变化量大小一定小于物块与传送带间摩擦而产生的热量答案 D9(2018如皋市模拟四)以一定的初速度从地面竖直向上抛出一小球，小球上升到最高点之后，又落回到抛出点，假设小球所受空气阻力与速
19、度大小成正比，则小球在运动过程中的机械能 E 随离地高度 h 变化关系可能正确的是( )答案 D解析 由于 Ff kv，由能量关系可知：上升过程中，速度减小，故 E h 图象的斜率随 h 的增大而减小；下降过程中，速度增大，故 E h 图象的斜率随 h 的减小而增大；上升过程中平均阻力大于下降过程中的平均阻力，故上升过程中机械能的减少量比下降过程中机械能的减少量大，则图象 D 正确，A、B、C 错误10(多选)(2018江苏百校大联考)如图 8 所示，轻质弹簧一端固定在水平面上的转轴 O 上，另一端与套在粗糙固定直杆 A 处质量为 m 的小球(可视为质点)相连， A 点到水平面的高度为h，直杆
20、的倾角为 30， OA OC， B 为 AC 的中点， OB 等于弹簧原长，小球从 A 处由静止开始下滑，第一次经过 B 处的速度为 v，运动到 C 处速度为零；然后小球获得一初动能 Ek由 C处沿直杆向上滑行，恰好能到达出发点 A，已知重力加速度为 g，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是( )15图 8A Ek2 mghB小球下滑过程中， AB 段与 BC 段摩擦力做功相等C弹簧具有的最大弹性势能为 mv212D撤去弹簧，小球可以在直杆上处于静止状态答案 ABC11.(2018无锡市期中)如图 9 所示，水平地面上有质量分别为 1kg 和 4kg 的物体 A 和 B，两者与地面间
21、的动摩擦因数均为 0.5，非弹性轻绳的一端固定且离 B 足够远，另一端跨过光滑轻质滑轮与 A 相连，滑轮与 B 相连，初始时，轻绳水平，若物体 A 在水平向右的恒力 F31N 作用下运动了 4m，重力加速度 g10m/s 2，求：图 9(1)物体 B 因摩擦而产生的热量；(2)物体 A 运动 4m 时的速度大小；(3)物体 A、 B 间轻绳拉力的大小答案 (1)40J (2)8m/s (3)18N解析 (1) A 运动位移为： xA4 m，则 B 的位移为： xB xA2 m12B 受到的摩擦力为： FfB m Bg0.5410 N20 N由功能关系有： Q FfBxB202 J40 J(2)
22、A 运动 4 m 时速度达到最大，设 A、 B 的速度、加速度大小分别为 vA、 vB、 aA、 aB.则有： vA2 vB、 aA2 aB.对整体，由动能定理可得： FxA FfAxA FfBxBmAv mBv12 A2 12 B2其中 FfA m Ag5 N代入数据解得 A 的速度为： vA8 m/s(3)设轻绳拉力为 FT，由牛顿第二定律对 A 物体有： F FT FfA mAaA对 B 物体有：2 FT FfB mBaB16且 aA2 aB代入数据解得： FT18 N.12(2019运河中学调研)如图 10 甲所示，半径 R0.45m 的光滑 圆弧轨道固定在竖直平14面内， B 为轨道
23、的最低点， B 点右侧的光滑的水平面上紧挨 B 点有一静止的小平板车，平板车质量 M1kg，长度 l1m，小车的上表面与 B 点等高，距地面高度 h0.2m质量 m1kg的物块(可视为质点)从圆弧最高点 A 由静止释放取 g10m/s 2.试求：图 10(1)物块滑到轨道上的 B 点时对轨道的压力大小；(2)若锁定平板车并在上表面铺上一种特殊材料，其动摩擦因数从左向右随距离均匀变化如图乙所示，求物块滑离平板车时的速率；(3)若解除平板车的锁定并撤去上表面铺的材料后，物块与平板车上表面间的动摩擦因数 0.2，物块仍从圆弧最高点 A 由静止释放，求物块落地时距平板车右端的水平距离答案 (1)30N
24、 (2)1m/s (3)0.2m解析 (1)物块从 A 点到 B 点的过程中，其机械能守恒，则有：mgR mv12 B2代入数据解得： vB3 m/s.在 B 点，由牛顿第二定律得： FN mgmvB2R解得： FN3 mg3110 N30 N即物块滑到轨道上 B 点时对轨道的压力 FN FN30 N，方向竖直向下(2)物块在小车上滑行时摩擦力做功为：Wf l lFf 1mg 2mg2代入数据解得： Wf4 J物块从 A 点滑下到滑离平板车过程中，由动能定理得：mgR Wf mv2.12代入数据解得： v1 m/s(3)当解除平板车的锁定并撤去上表面铺的材料后，对物块有： a1 g 2 m/s
25、 2.17对平板车有： a2 m/s22 m/s 2. mgM 0.21101设物块在平板车上运动的时间为 t，则有：( vBt a1t2) a2t2 l12 12代入数据解得： t11 s， t20.5 s因为 v 物 vB a1t13 m/s21 m/s1 m/s， v 车 a2t12 m/s，物块的速度不可能小于平板车的速度，所以时间取： t20.5 s物块滑离平板车时的速度为： v 物 vB a1t23 m/s20.5 m/s2 m/s.此时平板车的速度为： v 车 a2t220.5 m/s1 m/s.物块滑离平板车做平抛运动的时间为： t s0.2 s2hg 20.210物块落地时距平板车右端的水平距离为： x( v 物 v 车 ) t(21)0.2 m0.2 m.
