1、1第 2 课时 平面向量的综合应用题型一 平面向量与数列例 1(2018浙江名校协作体考试)设数列 xn的各项都为正数且 x11. ABC 内的点Pn(nN *)均满足 PnAB 与 PnAC 的面积比为 21，若 xn1 (2 xn1) 0，PnA 12 PnB PnC 则 x4的值为( )A15B17C29D31答案 A解析 因为 xn1 (2 xn1) 0，所以 (2 xn1) xn1 ，如图，PnA 12 PnB PnC PnA PnC 12 PnB 设(2 xn1) ，以 PnA 和 PnD 为邻边作平行四边形 PnDEA，所以PnC PnD xn1 ，所以 ，所以 nPEABS ，
2、又PnA PnD PnE 12 PnB |PnE |PnB | xn 12 xn 12 ，所以 nnPACDES ，所以 nPACBS ，所以|PnC |PnD | 12xn 1|PnC |AE | 12xn 1 xn 14xn 2 12xn1 2 xn1，又 x11，所以 x23， x37， x415，故选 A.思维升华向量与其他知识的结合，多体现向量的工具作用，利用向量共线或向量数量积的知识进行转化， “脱去”向量外衣，利用其他知识解决即可跟踪训练 1 (1)已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn，若 a1 a2018 ，且 A， B， C 三点OB OA OC 共线(该直线不过点 O)
3、，则 S2018等于( )A1009 B1008C2017 D2018答案 A解析 因为 a1 a2018 ，且 A， B， C 三点共线，OB OA OC a1 a20181，又数列 an是等差数列，2S2018 1009.a1 a201820182(2)(2018浙江新高考预测)角 A， B， C 为 ABC 的三个内角，向量 m 满足| m| ，且 m62，当角 A 最大时，动点 P 使得| |，| |，| |成等差数列，则(2sin B C2 ， cos B C2 ) PB BC PC 的最大值是_|PA |BC |答案 233解析 设 BC2 a， BC 的中点为 D.由题意得| m
4、|2 2 2(2sin B C2 ) (cos B C2 )1cos( B C) 1cos( B C)12 cosBcosC sinBsinC ，32 12 32 32则 cosBcosC sinBsinC，化简得 tanBtanC ，12 32 13则 tanAtan( B C)tanB tanC1 tanBtanC (tanBtan C) 2 ，32 32 tanBtanC 3当且仅当 tanBtan C 时，等号成立，33所以当角 A 最大时， A ， B C ，23 6则易得 AD .3a3因为| |，| |，| |成等差数列，PB BC PC 所以 2| | | |，则点 P 在以
5、B， C 为焦点，以 2| |4 a 为长轴的椭圆上，由图BC PB PC BC (图略)易得当点 P 为椭圆的与点 A 在直线 BC 的异侧的顶点时，| |取得最大值，此时PA | | a，PD 2a2 a2 33则| | | | ，PA PD AD 43a3所以 .|PA |BC |43a32a 233题型二 和向量有关的最值问题命题点 1 与平面向量基本定理有关的最值问题例 2 (1)(2018浙江镇海中学测试)已知 ABC 内接于圆 O，且 A60，若 x y (x， yR)，则 x2 y 的最大值是( )AO AB AC A. B1C. D223 12 223答案 D解析 设 ABC
6、 的三个内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c.由 x y ，AO AB AC 得 x 2 y ，AO AB AB AC AB x y 2，AC AO AC AB AC 所以Error!解得Error!所以 x2 y2 2 213(bc 2cb) 13 22 (当且仅当 b c 时取等号)，223 2故选 D.(2)(2018温州模拟)如图，在矩形 ABCD 中， AB3， AD4， M， N 分别为线段 BC， CD 上的点，且满足 1，若 x y ，则 x y 的最小值为_1CM2 1CN2 AC AM AN 4答案 54解析 连接 MN 交 AC 于点 G.由勾股定理，知
7、MN2 CM2 CN2，所以 1 ，即 MN CMCM，1CM2 1CN2 MN2CM2CN2所以 C 到直线 MN 的距离为定值 1，此时 MN 是以 C 为圆心，1 为半径的圆的一条切线(如图所示)， x y ( x y) .AC AM AN ( xx yAM yx yAN )由向量共线定理知， ( x y) ，AC AG 所以 x y ，|AC |AG |5|AG |又因为| |max514，所以 x y 的最小值为 .AG 54命题点 2 与数量积有关的最值问题例 3 (1)(2017浙江)如图，已知平面四边形 ABCD， AB BC， AB BC AD2， CD3， AC与 BD 交
8、于点 O，记 I1 ， I2 ， I3 ，则( )OA OB OB OC OC OD A I1 I2 I3 B I1 I3 I2C I3 I1 I2 D I2 I1 I3答案 C5解析 I1 I2 OA OB OB OC ( ) ，OB OA OC OB CA 又 与 所成角为钝角， I1 I20，即 I1 I2.OB CA I1 I3 OA OB OC OD | | |cos AOB| | |cos CODOA OB OC OD cos AOB(| | | | |)，OA OB OC OD 又 AOB 为钝角， OA OC， OB OD， I1 I30，即 I1 I3. I3 I1 I2，故
9、选 C.(2)(2018绍兴市柯桥区质检)已知向量 a， b， c 满足| b| c|2| a|1，则(c a)(c b)的最大值是_，最小值是_答案 3 18解析 由题意得| a| ，| b| c|1，则( c a)(c b)12| c|2 cb ca ab| c|2 ( a b c)2 (|a|2| b|2| c|2)12 12 ( a b c)2，则当向量 a， b， c 同向共线时，( c a)(c b)取得最大值18 12 23，当 a b c0 时，( c a)(c b)取得最小值 .18 12(12 1 1) 18命题点 3 与模有关的最值问题例 4 (1)(2018浙江金华一中
10、考试)已知 ， ， 是空间两两垂直的单位向量，OA OB OC x y z ，且 x2 y4 z1，则| |的最小值为_OP OA OB OC OP OA OB 答案 22121解析 方法一 由题意可设 (1,0,0)， (0,1,0)， (0,0,1)由 x2 y4 z1，OA OB OC 得 x12 y4 z.由 x y z ( x， y， z)，OP OA OB OC 则| |OP OA OB x 12 y 12 z2 2y 4z2 y 12 z2 5y2 17z2 16yz 2y 16 (17z 817y)2 (2117y 1721)2 421 421 ，22121(当 且 仅 当 y
11、 1721， z 821时 等 号 成 立 )所以| |的最小值为 .OP OA OB 22121方法二 由方法一得| | ，又 x2 y4 z1 表示一个平OP OA OB x 12 y 12 z2面，所以| | 的最小值 d 为定点(1,1,0)到平面OP OA OB x 12 y 12 z2x2 y4 z1 的距离，即 d .|11 21 40 1|12 22 42 22121(2)(2018浙江学军中学模拟)已知平面向量 a， b， c 满足| a|3，| b| c|5,00，当 2|b|C| b|a b|答案 A解析 设向量 a， b 的夹角为 ，则由| a b|2 a b|，得(
12、a b)2(2 a b)2，即|a|22| a|b|cos | b|24| a|24| a|b|cos | b|2，化简得| a|2| b|cos .因为向11量 a， b 不共线，所以 cos (0,1)，所以| a|a b|，此时，| a b|2|a|2| b|2；当 a， b 夹角为钝角时，|a b|a|2| b|2；当 a b 时，| a b|2| a b|2| a|2| b|2，故选 D.5(2018台州市三区三校适应性考试)已知 a， b 为单位向量，且a b，| c a| c2 b| ，则| c2 a| c b|的最小值是( )5A5B. C. D.5355 95答案 B解析 在
13、平面直角坐标系 xOy 中，不妨令 a(1,0)， b(0,1)，设 c( x， y)，则OC |c a| c2 b| ，易知 C(x， y)的轨迹为线段x 12 y2 x2 y 22 52x y20(0 x1)，| c2 a| c b| ，所以问题转化为x 22 y2 x2 y 12求点(2,0)，(0,1)与线段上点的距离之和的最小值，易知最小值为点(2,0)与点(0,1)之间的距离，为 .56.如图，在扇形 OAB 中， AOB ， C 为弧 AB 上与 A， B 不重合的一个动点，且 3 x y ，若 u x y ( 0)存在最大值，则 的取值范围为( )OC OA OB 12A(1,
14、3) B.(13， 3)C. D.(12， 1) (12， 2)答案 D解析 设 BOC ，则 AOC ， 3因为 x y ，OC OA OB 所以Error!即Error!解得 x cos cos sin ，23 43 ( 3 ) 233ycos sin ，33所以 u sin 233 (cos 33sin ) sin cos(233 33 ) sin( )，(233 33 )2 2其中 tan ，233 33因为 0 ， 3 6所以 ，233 33 33整理得 0，解得 0)，CO (CA 2 CB 6) m n ， m， nR，且 n ，则| |的取值范围是_OC OA OB 14 12
15、0 OC 15答案 34， 334解析 以 C 为坐标原点， CB 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系不妨假设 A 在 x 轴上方，则 B(6,0)， A(1， )3由 可得直线 CO 的方程为 y x.CO (CA 2 CB 6) 33设 O ，其中 x0.(x，33x)由 m n ，得OC OA OB ( x， 33x) m n ，(1 x， 333x) (6 x， 33x)所以Error!解得 n .x4x 9由 n ，14 120可得 x ，38 98所以| | x .OC 233 34， 33413如图所示，已知点 D 为 ABC 的边 BC 上一点， 3 ， En(nN *)为边
16、 AC 上的一系列BD DC 点，满足 an1 (3 an2) ，其中实数列 an中， an0， a11，则数列 an的EnA 14 EnB EnD 通项公式为 an_.答案 23 n1 1解析 因为 3 ，BD DC 所以 EnC EnB BC EnB 43BD ( )EnB 43BEn EnD 16 .13EnB 43EnD 设 m ，EnC EnA 则由 an1 (3 an2) ，EnA 14 EnB EnD 得 0，(14an 1 13m)EnB (43m 3an 2)EnD 即 m an1 ， m(3 an2)，13 14 43所以 an1 (3an2)，14 14所以 an1 13
17、( an1)因为 a112，所以数列 an1是以 2 为首项，3 为公比的等比数列，所以 an123 n1 ，所以 an23 n1 1.14(2018浙江重点中学考试)已知在 ABC 中， AC AB， AB3， AC4.若点 P 在 ABC 的内切圆上运动，则 ( )的最小值为_PA PB PC 答案 2解析 因为 AC AB，所以以 A 为坐标原点，以 AB， AC 所在的直线分别为 x 轴， y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，则 A(0,0)， B(3,0)， C(0,4)由题意可知 ABC 内切圆的圆心为 D(1,1)，半径为 1.因为点 P 在 ABC 的内切圆上运动，所以可设 P
18、(1cos ，1sin )(0 2)所以 (1cos ，1sin )， PA PB PC (12cos ，22sin )，所以 ( )PA PB PC (1cos )(12cos )(1sin )(22sin )1cos 2cos 2 22sin 21cos 112，当 cos 1，即 P(0,1)时， ( )取到最小值，且最小值为2.PA PB PC 15(2018浙江杭州二中考试)如图，在边长为 1 的正方形 ABCD 中， E 为 AB 的中点， P 为以 A 为圆心， AB 为半径的圆弧(在正方形内，包括边界点)上的任意一点，则 的取值AP BP 17范围是_若向量 ，则 的最小值为_
19、AC DE AP 答案 0,1 12解析 以点 A 为坐标原点，分别以 AB， AD 所在的直线为 x 轴， y 轴建立平面直角坐标系，则易得 A(0,0)， B(1,0)， C(1,1)， D(0,1)， E ， P(cos ，sin ) ，(12， 0) (0 2)则 (cos ，sin )(cos 1，sin )cos 2 cos sin 2 1cos ，又AP BP 因为 0 ， 2所以 1cos 0,1AP BP 由 ，AC DE AP 得(1,1) (cos ，sin )(12， 1) ，(12 cos ， sin )所以Error! 解得Error!则 2sin 2cos2cos
20、 sin 32cos sin ，2sin 2cos 32cos sin当 时， 5， 2 2sin 2cos 32cos sin当 时， 2 2sin 2cos 32cos sin ，2tan 2 3tan2 12 tan设 f(x) (x0)，2x 2 3x2 12 x则 f( x)(2 3xx2 1)2 x 2x 2 3x2 12 x218 0(x0)，6x2 1 6x 32 x2x2 1所以函数 f(x) 在0，)上单调递增；2x 2 3x2 12 x则当 tan 0 时， 取得最小值 .综上所述， 的最2tan 2 3tan2 12 tan 12小值为 .1216已知非零向量 a， b
21、， c 满足| a| b|2 ab1，且 a c 和 b c 的夹角为 ，则23(a c)(b c)的最小值是_答案 12解析 由题可知，单位向量 a 和 b 的夹角为 ，23又 a c 和 b c 的夹角为 ，23所以点 C 的轨迹是以 O 为圆心，1 为半径的圆的劣弧 AB和劣弧 关于直线 AB 对称的弧，即过点 A， O， B 的弧(如图)以 O 为坐标原点，垂直于 AB 的直线为 x 轴(向右为正方向)，建立平面直角坐标系(图略)，则 A ， B .(12， 32) (12， 32)当点 C 在劣弧 上时，设 C(cos ，sin ) ，(其 中 3 3)则有 a c ，(cos 12， sin 32)b c ，(cos 12， sin 32)所以( a c)(b c) (cos 12) (cos 12) (sin 32) (sin 32) cos .12 (1， 3219当点 C 在过点 A， O， B 的弧上时，设 C(1cos ，sin ) ，(其 中23 43)则有 a c ，(cos 32， sin 32)b c ，(cos 32， sin 32)所以( a c)(b c) (cos 32) (cos 32) (sin 32) (sin 32) 3cos ，52 12， 1)当且仅当 时，取最小值 .12故( a c)(b c)的最小值为 .12
