1、110.3 二项式定理最新考纲 考情考向分析1.了解二项式定理.2.理解二项式系数的性质.以理解和应用二项式定理为主，常考查二项展开式，通项公式以及二项式系数的性质，赋值法求系数的和也是考查的热点；本节内容在高考中以选择、填空题的形式进行考查，难度中档.1.二项式定理二项式定理 (a b)nC anC an1 b1C an kbkC bn(nN *)0n 1n kn n二项展开式的通项公式Tk1 C an kbk，它表示第 k1 项kn二项式系数 二项展开式中各项的系数 C (k0，1，2， n)kn2.二项式系数的性质(1)C 1，C 1.0n nC C C .mn 1 m 1n mn(2)
2、C C .mn n mn(3)当 n 是偶数时， 12nT项的二项式系数最大；当 n 是奇数时， 12nT与 1项的二项式系数相等且最大.(4)(a b)n展开式的二项式系数和：C C C C 2 n.0n 1n 2n n概念方法微思考1.(a b)n与( b a)n的展开式有何区别与联系？提示 ( a b)n的展开式与( b a)n的展开式的项完全相同，但对应的项不相同而且两个展开式的通项不同.2.二项展开式形式上有什么特点？提示 二项展开式形式上的特点(1)项数为 n1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数 n，即 a 与 b 的指数的和为 n.2(3)字母 a 按降幂排列，从第一项开始，
3、次数由 n 逐项减 1 直到零；字母 b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增 1 直到 n.(4)二项式的系数从 C ，C ，一直到 C ，C .0n 1n n 1n n3.二项展开式中二项式系数最大时该项的系数就最大吗？提示 不一定最大，当二项式中 a， b 的系数为 1 时，此时二项式系数等于项的系数，否则不一定.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)C an kbk是二项展开式的第 k 项.( )kn(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.( )(3)(a b)n的展开式中某一项的二项式系数与 a， b 无关.( )(4)(a b)n的
4、展开式第 k1 项的系数为 C an kbk.( )kn(5)(x1) n的展开式二项式系数和为2 n.( )题组二 教材改编2.P31 例 2(2)(12 x)5的展开式中， x2的系数等于( )A.80B.40C.20D.10答案 B解析 Tk1 C (2x)kC 2kxk，当 k2 时， x2的系数为 C 2240.k5 k5 253.P31 例 2(2)若 n展开式的二项式系数之和为 64，则展开式的常数项为( )(x1x)A.10B.20C.30D.120答案 B解析 二项式系数之和 2n64，所以 n6， Tk1 C x6 k kC x62 k，当 62 k0，k6 (1x) k6
5、即当 k3 时为常数项， T4C 20.364.P41B 组 T5若( x1) 4 a0 a1x a2x2 a3x3 a4x4，则 a0 a2 a4的值为( )A.9B.8C.7D.6答案 B解析 令 x1，则 a0 a1 a2 a3 a40，令 x1，则 a0 a1 a2 a3 a416，两式相加得 a0 a2 a48.题组三 易错自纠5.(x y)n的二项展开式中，第 m 项的系数是( )A.C B.Cmn m 1n3C.C D.(1) m1 Cm 1n m 1n答案 D解析 ( x y)n二项展开式第 m 项的通项公式为TmC ( y)m1 xn m1 ，m 1n所以系数为 C (1)
6、m1 .m 1n6.已知( x1) 10 a1 a2x a3x2 a11x10.若数列 a1， a2， a3， ak(1 k11， kN *)是一个单调递增数列，则 k 的最大值是( )A.5B.6C.7D.8答案 B解析 由二项式定理知， anC (n1，2，3，11).n 110又( x1) 10展开式中二项式系数最大项是第 6 项，所以 a6C ，则 k 的最大值为 6.5107.(x y )4的展开式中， x3y3项的系数为_.y x答案 6解析 二项展开式的通项是 Tk1 C (x )4 k( y )k 42(1Ckkxy，令k4 y x4 2 3，解得 k2，故展开式中 x3y3的
7、系数为(1) 2C 6.k2 k2 24题型一 二项展开式命题点 1 求指定项(或系数)例 1 (1) (1 x)6的展开式中 x2的系数为( )(11x2)A.15B.20C.30D.35答案 C解析 因为(1 x)6的通项为 C xk，所以 (1 x)6的展开式中含 x2的项为 1C x2和k6 (11x2) 26C x4.1x2 46因为 C C 2C 2 30，26 46 2665214所以 (1 x)6的展开式中 x2的系数为 30.(11x2)故选 C.(2)(2018温州市高考适应性测试)在 9的展开式中，常数项是( )(1x 2x)A.C B.C39 39C.8C D.8C39
8、 39答案 D解析 二项式 9的展开式的通项公式为 C 9 k(2 x)k392(Ckx，令(1x 2x) k9(1x)0，得 k3，则二项式 9的展开式中的常数项为(2) 3C 8C ，故选 D.3k 92 (1x 2x) 39 39(3)(x2 x y)4的展开式中， x3y2的系数是_.答案 12解析 方法一 ( x2 x y)4( x2 x) y4，其展开式的第 k1 项的通项公式为 Tk1 C (x2 x)4 kyk，k4因为要求 x3y2的系数，所以 k2，所以 T3C (x2 x)42 y26( x2 x)2y2.24因为( x2 x)2的展开式中 x3的系数为 2，所以 x3y
9、2的系数是 6212.方法二 ( x2 x y)4表示 4 个因式 x2 x y 的乘积，在这 4 个因式中，有 2 个因式选 y，其余的 2 个因式中有一个选 x，剩下的一个选 x2，即可得到含 x3y2的项，故 x3y2的系数是 C C C 12.24 12 1命题点 2 求参数例 2 (1)若( x2 a) 10的展开式中 x6的系数为 30，则 a 等于( )(x1x)A. B. C.1D.213 12答案 D解析 由题意得 10的展开式的通项公式是(x1x)Tk1 C x10 k kC x102 k， 10的展开式中含 x4(当 k3 时)， x6(当 k2 时)k10 (1x) k
10、10 (x 1x)项的系数分别为 C ，C ，因此由题意得 C aC 12045 a30，由此解得 a2，故310 210 310 210选 D.5(2)若 6的展开式中常数项为 ，则实数 a 的值为( )(x21ax) 1516A.2B. C.2D.12 12答案 A解析 6的展开式的通项为 Tk1 C (x2)6 k kC kx123 k，令 123 k0，(x21ax) k6 (1ax) k6(1a)得 k4.故 C 4 ，即 4 ，解得 a2，故选 A.46 (1a) 1516 (1a) 116思维升华求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数
11、为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数 k1，代回通项公式即可.跟踪训练 1 (1)(2018浙江七彩阳光联盟联考) (1 x)6的展开式中 x3的系数为(11x2)_.答案 14解析 在(1 x)6的展开式中 x3的系数为 C 20， (1 x)6的展开式中 x3的系数为361x2C 6，所以 (1 x)6的展开式中 x3的系数为 20614.56 (11x2)(2)(2018丽水、衢州、湖州三地教学质量检测)若 6的展开式中 x3的系数为12，(xax2)则 a_；常数项是_.答案 2 60解析 由于二项展开式的通项 Tk1 C x6 k k( a)kC x63 k，令 63 k3，则
12、k6 (ax2) k6k1，所以( a)C 6 a12， a2；令 63 k0，则 k2，所以常数项是(2)162C 41560.26题型二 二项式系数的和与各项的系数和问题例 3 (1)( a x)(1 x)4的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32，则 a_.答案 3解析 设( a x)(1 x)4 a0 a1x a2x2 a3x3 a4x4 a5x5，令 x1，得 16(a1) a0 a1 a2 a3 a4 a5，令 x1，得 0 a0 a1 a2 a3 a4 a5.，得 16(a1)2( a1 a3 a5)，即展开式中 x 的奇数次幂的系数之和为 a1 a3 a58( a1)，所
13、以 8(a1)32，解得a3.6(2)若( x2 m)9 a0 a1(x1) a2(x1) 2 a9(x1) 9，且( a0 a2 a8)2( a1 a3 a9)23 9，则实数 m 的值为_.答案 1 或3解析 令 x0，则(2 m)9 a0 a1 a2 a9，令 x2，则 m9 a0 a1 a2 a3 a9，又( a0 a2 a8)2( a1 a3 a9)2( a0 a1 a2 a9)(a0 a1 a2 a3 a8 a9)3 9，(2 m)9m93 9， m(2 m)3， m3 或 m1.(3)若 n的展开式中含 x 的项为第 6 项，设(13 x)n a0 a1x a2x2 anxn，则
14、(x21x)a1 a2 an的值为_.答案 255解析 n展开式的第 k1 项为(x21x)Tk1 C (x2)n k kC (1) kx2n3 k，kn (1x) kn当 k5 时，2 n3 k1， n8.对(13 x)8 a0 a1x a2x2 a8x8，令 x1，得 a0 a1 a82 8256.又当 x0 时， a01， a1 a2 a8255.思维升华 (1)“赋值法”普遍适用于恒等式，对形如( ax b)n，( ax2 bx c)m (a， b， cR)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法.(2)若 f(x) a0 a1x a2x2 anxn，则 f(x)展开式中各项系数之和
15、为 f(1)，奇数项系数之和为 a0 a2 a4 ，偶数项系数之和为 a1 a3 a5 .f1 f 12 f1 f 12跟踪训练 2 已知(12 x)7 a0 a1x a2x2 a7x7.求：(1) a1 a2 a7；(2)a1 a3 a5 a7；(3)a0 a2 a4 a6；(4)|a0| a1| a2| a7|.解 令 x1，则 a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a71.令 x1，则 a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a73 7.7(1) a0C 1， a1 a2 a3 a72.07(2)()2，得 a1 a3 a5 a7 1094. 1 372(3)()2，得 a0 a2
16、 a4 a6 1093. 1 372(4)方法一 (12 x)7展开式中， a0， a2， a4， a6大于零，而 a1， a3， a5， a7小于零，| a0| a1| a2| a7|( a0 a2 a4 a6)( a1 a3 a5 a7)1093(1094)2187.方法二 | a0| a1| a2| a7|即为(12 x)7展开式中各项的系数和，令 x1，| a0| a1| a2| a7|3 72187.题型三 二项式定理的应用例 4 (1)设 aZ 且 0 a13，若 512012 a 能被 13 整除，则 a 等于( )A.0B.1C.11D.12答案 D解析 51 2012 a(5
17、21) 2012 aC 522012C 522011C 52(1)0212 1202 201122011C (1) 2012 a，2012C 522012C 522011C 52(1) 2011能被 13 整除且 512012 a 能被0212 1202 2011213 整除，C (1) 2012 a1 a 也能被 13 整除，因此 a 的值为 12.2012(2)设复数 x (i 是虚数单位)，则 C xC x2C x3C x2017等于( )2i1 i 1207 22017 32017 2017A.i B.iC.1i D.1i答案 C解析 x 1i，2i1 i 2i1 i1 i1 iC x
18、C x2C x3C x20171207 22017 32017 2017(1 x)20171i 20171i1.思维升华 (1)逆用二项式定理的关键根据所给式子的特点结合二项展开式的要求，使之具备二项式定理右边的结构，然后逆用二项式定理求解.(2)利用二项式定理解决整除问题的思路8观察除式与被除式间的关系；将被除式拆成二项式；结合二项式定理得出结论.跟踪训练 3 (1)190C 90 2C 90 3C (1) k90kC 90 10C 除以 88 的余10 210 310 k10 10数是( )A.1B.1C.87D.87答案 B解析 190C 90 2C 90 3C (1) k90kC 90
19、 10C (190)10 210 310 k10 101089 10(881) 1088 10C 889C 881，10 910前 10 项均能被 88 整除，余数是 1.(2)若(12 x)2018 a0 a1x a2x2 a2018x2018，则 _.a12 a222 a201822018答案 1解析 当 x0 时，左边1，右边 a0， a01.当 x 时，左边0，右边 a0 ，12 a12 a222 a20182201801 ，a12 a222 a201822018即 1.a12 a222 a2018220181.在 6的展开式中，常数项为( )(x22x)A.240B.60C.60D.
20、240答案 D解析 6的展开式中，通项公式为 Tk1 C (x2)6 k k(2) kC x123 k，令(x22x) k6 ( 2x) k6123 k0，得 k4，故常数项为 T5(2) 4C 240，故选 D.462.(2018杭州质检)二项式 5的展开式中含 x3项的系数是( )(2x1x)A.80B.48C.40D.80答案 D解析 5展开式的通项为 Tk1 C (2x)5 k k(1)(2x1x) k5 ( 1x)9k25 kC x52 k， 52 k3，则 k1，含 x3的项为 T2(1) 124C x380 x3，其中系数为k5 1580，故选 D.3.(x y)(2x y)6的
21、展开式中 x4y3的系数为( )A.80B.40C.40D.80答案 D解析 (2 x y)6的展开式的通项公式为 Tk1 C (2x)6 k( y)k，当 k2 时， T3240 x4y2，k6当 k3 时， T4160 x3y3，故 x4y3的系数为 24016080，故选 D.4.(13 x)n的展开式中 x5与 x6的系数相等，则 x4的二项式系数为( )A.21B.35C.45D.28答案 B解析 Tk1 C (3x)k3 kC xk，由已知得 35C 3 6C ，即 C 3C ， n7，因此， x4的kn kn 5n 6n 5n 6n二项式系数为 C 35，故选 B.475.(20
22、18浙江省考前热身联考) 3展开式的常数项为( )(1x2 4x2 4)A.120B.160C.200D.240答案 B解析 3 6，展开式的通项为 Tk1 C 6 k(2x)kC 2kx2k6 ，令(1x2 4x2 4) (1x 2x) k6 (1x) k62k60，可得 k3，故展开式的常数项为 160.6.若在( x1) 4(ax1)的展开式中， x4项的系数为 15，则 a 的值为( )A.4B. C.4D.52 72答案 C解析 ( x1) 4(ax1)( x44 x36 x24 x1)( ax1)， x4项的系数为4a115， a4.7.(2018浙江省重点中学高三调研) 9的展开
23、式中，除常数项外，各项系数的和为( )(1x 2x2)A.671B.671C.672D.673答案 B解析 令 x1，可得该二项展开式各项系数之和为1.因为该二项展开式的通项公式为Tk1 C 9 k(2 x2)kC (2) kx3k9 ，令 3k90，得 k3，所以该二项展开式中k9(1x) k9的常数项为 C (2) 3672，所以除常数项外，各项系数的和为1(672)671，故39选 B.8.若(13 x)2018 a0 a1x a2018x2018， xR，则 a13 a232 a201832018的值为( )10A.220181B.8 20181C.2 2018D.82018答案 B解
24、析 由已知，令 x0，得 a01，令 x3，得a0 a13 a232 a201832018(19) 20188 2018，所以a13 a232 a2018320188 2018 a08 20181，故选 B.9.(2018绍兴诸暨期末)已知(2 x1) 6 a6(x1) 6 a5(x1) 5 a4(x1) 4 a1(x1) a0，则 a0 a1 a2 a6_， a2_.答案 1 60解析 令 x0，即得 16 a6 a5 a1 a0，又(2 x1) 62( x1)1 6的展开式的通项为 Tk1 C 2(x1) 6 k(1) k，k6则 a2C 22(1) 460.4610.(2018杭州四校联
25、考)已知 n的展开式中只有第 7 项的二项式系数最大，则(ax 13x)n_；若含 x8项的系数为 ，则常数项为_.55128答案 12 552解析 因为展开式中只有第 7 项的二项式系数最大，所以展开式共有 13 项， n12，则二项展开式的通项 Tk1 141212332CCkkkaxax ，令 12 k8，得 k3，所以43C a9 ，得 a9 ，得 a9 ，即 a .31255128 1211106 55128 1512 12令 12 k0，得 k9，43故常数项为 T10C a3 3 .9121211106 (12) 55211.9192除以 100 的余数是_.答案 81解析 91
26、 92(901) 92C 9092C 9091C 902(C 90C )092 192 902 912 92 k10092901 k1008210081( k 为正整数)，所以 9192除以 100 的余数是81.12.若(1 x x2)6 a0 a1x a2x2 a12x12，则 a2 a4 a12_.(用数字作答)答案 364解析 令 x1，得 a0 a1 a2 a123 6，令 x1，得 a0 a1 a2 a121，11 a0 a2 a4 a12 .36 12令 x0，得 a01， a2 a4 a12 1364.36 1213.(2014浙江)在(1 x)6(1 y)4的展开式中，记 x
27、myn项的系数为 f(m， n)，则 f(3，0) f(2，1) f(1，2) f(0，3)等于( )A.45B.60C.120D.210答案 C解析 因为 f(m， n)C C ，m6n4所以 f(3，0) f(2，1) f(1，2) f(0，3)C C C C C C C C 120.3604 2614 1624 063414.已知 n(nN *)的展开式中所有项的二项式系数之和、系数之和分别为 p， q，则(x12x)p64 q 的最小值为_.答案 16解析 显然 p2 n.令 x1，得 q .12n所以 p64 q2 n 2 16，642n 2n642n当且仅当 2n ，642n即 n
28、3 时取等号，此时 p64 q 的最小值为 16.15.(2018金华模拟)若(32 x)10 a0 a1x a2x2 a3x3 a10x10，则a12 a23 a34 a410 a10_.答案 20解析 对原等式两边求导，得20(32 x)9 a12 a2x3 a3x210 a10x9，令 x1，得a12 a23 a34 a410 a1020.16.若 n展开式中前三项的系数和为 163，求：(x 24x)(1)展开式中所有 x 的有理项；(2)展开式中系数最大的项.解 易求得展开式前三项的系数为 1，2C ，4C .1n 2n12由题意得 12C 4C 163，可得 n9.1n 2n(1)设展开式中的有理项为 Tk1 ，由 Tk1 C ( )9 k k8349Ckx，k9 x (24x)又0 k9， k2，6.故有理项为 T3183249144 x3，18664792C5 7.x (2)设展开式中 Tk1 项的系数最大，则Error! k ，173 203又 kN， k6，故展开式中系数最大的项为 T75376.
