1、专题检测（九） 三角恒等变换与解三角形A 组“633”考点落实练一、选择题1(2019 届高三益阳、湘潭调研)已知 sin ，则 cos(2 )( )25A. B725 725C. D1725 1725解析：选 D sin ，cos 2 12sin 2 1 ，cos(2 )25 825 1725cos 2 ，故选 D.17252(2018全国卷) ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 ABC 的面积为 ，则 C( )a2 b2 c24A. B. 2 3C. D. 4 6解析：选 C S absin C abcos C，12 a2 b2 c24 2abcos C4 1
2、2sin Ccos C，即 tan C1. C(0，)， C .故选 C. 43若 00，(0， 2)所以 sin ，cos .45 ( 45) 35 ( 35) 45 24254若 ， ，sin ，cos ，则 ( )(0， 2) 55 ( 2 ) 31010A. B. 6 4C. D. 3 12解析：选 B 由 sin ，及 ，得55 (0， 2)cos ，由 cos sin ，255 ( 2 ) 31010及 ，得 cos ，(0， 2) 1010所以 sin( )sin cos cos sin .31010 255 1010 55 22又因为 ，所以 .( 2， 2) 45在 ABC
3、中，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，若 0，cos B0， B， 2 ABC 为钝角三角形6(2018南昌一模)已知台风中心位于城市 A 东偏北 ( 为锐角)的 150 千米处，以 v 千米 /时沿正西方向快速移动， 2.5 小时后到达距城市 A 西偏北 ( 为锐角)的 200 千米处，若 cos cos ，则 v( )34A60 B80C100 D125解析：选 C 如图，台风中心为 B,2.5 小时后到达点 C，则在 ABC 中， ABsin ACsin ，即 sin sin ，43又 cos cos ，34sin 2 cos 2 sin2 cos2 1sin 2 co
4、s 2 ，169 916sin cos ，sin ，cos ，sin ，cos ，34 35 45 45 35cos( )cos cos sin sin 0， ，35 45 45 35 2 BC2 AB2 AC2，(2.5 v)2150 2200 2，解得 v100，故选 C.二、填空题7(2018全国卷)已知 sin cos 1，cos sin 0，则 sin( )_.解析：sin cos 1，cos sin 0， 2 2得 12(sin cos cos sin )11，sin cos cos sin ，12sin( ) .12答案：128在 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a
5、， b， c，若 a23 b23 c22 bcsin A，3则 C 等于_解析：由余弦定理得 a2 b2 c22 bccos A，所以 b2 c22 bccos A3 b23 c22 bcsin A，3即 sin Acos A ，2sin 2 ，因此 b c， A A3b2 c2bc (A 6) b2 c2bc 6 2，23所以 C . 232 6答案： 69(2018长春质检)在 ABC 中，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若其面积S b2sin A，角 A 的平分线 AD 交 BC 于点 D， AD ， a ，则 b_.233 3解析：由面积公式 S bcsin A b
6、2sin A，可得 c2 b，即122.由 a ，并结合角平分线定理可得， BD ， CD ， cb 3 233 33在 ABC 中，由余弦定理得 cos B ，在 ABD 中， 4b2 3 b222b3cos B ，即 ，化简得 b21，解得 b1.4b2 43 4322b233 4b2 3 b222b34b2 43 4322b233答案：1三、解答题10(2018全国卷)在平面四边形 ABCD 中， ADC90 ， A45 ， AB2， BD5.(1)求 cos ADB；(2)若 DC2 ，求 BC.2解：(1)在 ABD 中，由正弦定理得 ，BDsin A ABsin ADB即 ，所以
7、sin ADB .5sin 45 2sin ADB 25由题设知， ADB90，所以 cos ADB .1 225 235(2)由题设及(1)知，cos BDCsin ADB .25在 BCD 中，由余弦定理得BC2 BD2 DC22 BDDCcos BDC258252 25，225所以 BC5.11(2018昆明调研)在 ABC 中， AC2 ， BC6， ACB150 .3(1)求 AB 的长；(2)延长 BC 至 D，使 ADC45 ，求 ACD 的面积解：(1)由余弦定理 AB2 AC2 BC22 ACBCcos ACB，得 AB2123622 6cos 15084，3所以 AB2 .
8、21(2)因为 ACB150 ， ADC45 ，所以 CAD150 45 105 ，由正弦定理 ，得 CD ，又 sin 105sin(60 45 )CDsin CAD ACsin ADC 23sin 105sin 45sin 60 cos 45cos 60 sin 45 ，所以 CD3 ，2 64 3又 ACD180 ACB30 ，所以 S ACD ACCDsin ACD 2 (3 )12 12 3 3 ( 1)12 32 312已知函数 f(x)2sin xcos x2 cos2x .3 3(1)求函数 y f(x)的最小正周期和单调递减区间；(2)已知 ABC 的三个内角 A， B， C
9、 的对边分别为 a， b， c，其中 a7，若锐角 A 满足f ，且 sin Bsin C ，求 bc 的值(A2 6) 3 13314解：(1) f(x)2sin xcos x2 cos2x sin 2 x cos 2x2sin ，3 3 3 (2x 3)因此 f(x)的最小正周期为 T .22由 2k 2 x 2 k (kZ)， 2 3 32得 k x k (kZ)，12 712所以 f(x)的单调递减区间为 (kZ)k 12， k 712(2)由 f 2sin 2sin A ，且 A 为锐角，所以 A .(A2 6) 2(A2 6) 3 3 3由正弦定理可得 2R ，asin A 732
10、 143sin Bsin C ，b c2R 13314则 b c 13，13314 143所以 cos A ，b2 c2 a22bc b c 2 2bc a22bc 12所以 bc40.B 组大题专攻补短练1(2018天津五区县联考)在 ABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，且 8 sin2 2cos 2 C7.A B2(1)求 tan C 的值；(2)若 c ，sin B2sin A，求 a， b 的值3解：(1)在 ABC 中，因为 A B C，所以 ，则 sin cos .A B2 2 C2 A B2 C2由 8sin2 2cos 2 C7，得 8cos2 2
11、cos 2 C7，A B2 C所以 4(1cos C)2(2cos 2C1)7，即(2cos C1) 20，所以 cos C .12因为 0 C，所以 C ， 3于是 tan Ctan . 3 3(2)由 sin B2sin A，得 b2 a.又 c ，由余弦定理得 c2 a2 b22 abcos ，3 3即 a2 b2 ab3.联立，解得 a1， b2.2在 ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别是 a， b， c，满足 a2 c2 b22 bccos A4 c0，且 ccos A b(1cos C)(1)求 c 的值及判断 ABC 的形状；(2)若 C ，求 ABC 的面积 6解：(
12、1)由 a2 c2 b22 bccos A4 c0 及正弦定理得a2 c2 b22 bc 4 c0，b2 c2 a22bc整理，得 c2.由 ccos A b(1cos C)及正弦定理，得sin Ccos Asin B(1cos C)，即 sin Bsin Ccos Asin Bcos Csin(A C)sin Acos Ccos Asin C，所以 sin Bcos Csin Acos C，故 cos C0 或 sin Asin B.当 cos C0 时， C ，故 ABC 为直角三角形； 2当 sin Asin B 时， A B，故 ABC 为等腰三角形(2)由(1)知 c2， A B，则
13、 a b，因为 C ，所以由余弦定理，得 64 a2 a22 a2cos ，解得 a284 ， 6 3所以 ABC 的面积 S a2sin 2 .12 6 33已知 ABC 的三个内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 ABC 的面积为 S accos B.32(1)若 c2 a，求角 A， B， C 的大小；(2)若 a2，且 A ，求边 c 的取值范围 4 3解：由已知及三角形面积公式得S acsin B accos B，12 32化简得 sin B cos B，3即 tan B ，又 0B， B .3 3(1)法一：由 c2 a 及正弦定理得，sin C2sin A，又
14、A C ，23sin 2sin A，(23 A)化简可得 tan A ，而 0A ，33 23 A ， C . 6 2法二：由余弦定理得， b2 a2 c22 accos B a24 a22 a23 a2， b a，3 a b c1 2，3 A ， C . 6 2(2)由正弦定理得， ，asin A bsin B csin C即 c ，asin Csin A 2sin Csin A由 C A，得23c 2sin(23 A)sin A2(32cos A 12sin A)sin A 1.3cos A sin Asin A 3tan A又由 A ，知 1tan A ， 4 3 32 c 1，故边 c
15、 的取值范围为2， 13 34 ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知 sin A cos 3A0， a2 ， b2.7(1)求 c 的值；(2)设 D 为 BC 边上一点，且 AD AC，求 ABD 的面积解：(1)因为 sin A cos A0，3所以 sin A cos A，3所以 tan A .3因为 A(0，)，所以 A .23由余弦定理得 a2 b2 c22 bccos A，代入 a2 ， b2 得 c22 c240，7解得 c4 或 c6(舍去)，所以 c4.(2)由(1)知 c4.因为 c2 a2 b22 abcos C，所以 1628422 2cos C，7所以 cos C ，所以 sin C ，277 217所以 tan C .32在 Rt CAD 中，tan C ，ADAC所以 ，即 AD .32 AD2 3即 S ADC 2 ，12 3 3由(1)知 S ABC bcsin A 24 2 ，12 12 32 3所以 S ABD S ABC S ADC2 .3 3 3
