1、1难点自选专题四 “函数与导数”压轴大题的抢分策略全国卷 3 年考情分析年份 全国卷 全国卷 全国卷2018利用导数研究函数的单调性、函数极值与不等式证明T 21函数的单调性、不等式的证明、函数的零点问题T 21导数在研究不等式及极值问题的应用T 212017利用导数研究函数的单调性、函数的零点问题T 21利用导数研究函数的单调性及极值、函数的零点、不等式的证明T 21导数在研究函数单调性中的应用、不等式的放缩T 212016利用导数解决函数的零点问题、不等式的证明T 21利用导数判断函数的单调性、不等式证明及值域问题T 21三角函数的导数运算、最值问题及不等式证明T 21导数日益成为解决问题
2、必不可少的工具，利用导数研究函数的单调性与极值(最值)是高考的常见题型，而导数与函数、不等式、方程等的交汇命题，是高考的热点和难点解答题的热点题型有：(1)利用导数研究函数的单调性、极值、最值；(2)利用导数证明不等式或探讨方程根；(3)利用导数求解参数的范围或值考法策略(一) 利用分类讨论思想探究函数的性质典例 设 f(x) xln x ax2(2 a1) x， aR.(1)令 g(x) f( x)，求 g(x)的单调区间；(2)已知 f(x)在 x1 处取得极大值，求实数 a 的取值范围解 (1)由 f( x)ln x2 ax2 a，可得 g(x)ln x2 ax2 a， x(0，)所以
3、g( x) 2 a .1x 1 2axx当 a0， x(0，)时， g( x)0，函数 g(x)单调递增；当 a0， x 时， g( x)0，函数 g(x)单调递增， x 时， g( x)(0，12a) (12a， )0，函数 g(x)单调递减所以当 a0 时， g(x)的单调增区间为(0，)；当 a0 时， g(x)的单调增区间为 ，单调减区间为 .(0，12a) (12a， )(2)由(1)知， f(1)0.2当 a0 时， f( x)单调递增，所以当 x(0,1)时， f( x)0， f(x)单调递减；当 x(1，)时， f( x)0， f(x)单调递增所以 f(x)在 x1 处取得极小
4、值，不合题意当 0 a 时， 1，由(1)知 f( x)在 内单调递增，可得当 x(0,1)时，12 12a (0， 12a)f( x)0，当 x 时， f( x)0.(1，12a)所以 f(x)在(0,1)内单调递减，在 内单调递增，所以 f(x)在 x1 处取得极小(1，12a)值，不合题意当 a 时， 1， f( x)在(0,1)内单调递增，在(1，)内单调递减，所以当12 12ax(0，)时， f( x)0， f(x)单调递减，不合题意当 a 时，0 1，当 x 时， f( x)0， f(x)单调递增，当12 12a (12a， 1)x(1，)时， f( x)0， f(x)单调递减所以
5、 f(x)在 x1 处取极大值，符合题意综上可知，实数 a 的取值范围为 .(12， )题后悟通 分类讨论思想解决有关函数性质问题的策略(1)何时讨论参数？在求解中，若参数的取值影响所求结果，就要分类讨论如本例(1)中由 g( x)确定单调区间时，对 a 的取值要分类讨论1 2axx(2)如何讨论参数？解答此类问题的关键是如何分类，分类时要结合题目条件，对参数取值范围进行划分，进而研究其问题如本例(2)中分类的依据是 与 1 的大小比较12a应用体验1(2018全国卷)已知函数 f(x) x aln x.1x(1)讨论 f(x)的单调性；(2)若 f(x)存在两个极值点 x1， x2，证明：
6、2，令 f( x)0，得 x 或 x .a a2 42 a a2 42当 x 时，(0，a a2 42 ) (a a2 42 ， )f( x)0.(a a2 42 ， a a2 42 )所以 f(x)在 ， 上单调递减，在(0，a a2 42 ) (a a2 42 ， )上单调递增(a a2 42 ， a a2 42 )(2)证明：由(1)知，当且仅当 a2 时， f(x)存在两个极值点由于 f(x)的两个极值点 x1， x2满足 x2 ax10，所以 x1x21，不妨设 x11.由于 1 af x1 f x2x1 x2 1x1x2 ln x1 ln x2x1 x22 a 2 a ，ln x1
7、 ln x2x1 x2 2ln x21x2 x2所以 0)，f(1) a10，解得 a1，当 a1 时， f(x) x xln x，即 f( x)ln x，令 f( x)0，解得 x1；令 f( x)1，即 m2，当 00 且 x0 时， f(x)0；当 x时，显然 f(x).如图，由图象可知， m12 时， f( x)0.所以 f(x)的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2，)(2)证明：当 a 时， f(x) ln x1.1e exe设 g(x) ln x1，则 g( x) .exe exe 1x可知 g( x)在(0，)上单调递增，且 g(1)0，所以当 01 时， g( x)0.所以 x1 是 g(x)的最小值点故当 x0 时， g(x) g(1)0.因此，当 a 时， f(x)0.1e8
