1、1重点增分专题十 直线与圆全国卷 3 年考情分析年份 全国卷 全国卷 全国卷2018直线方程、圆的方程、点到直线的距离T 6直线与圆的位置关系、点到直线的距离、椭圆的几何性质T 102017圆的性质、点到直线的距离、双曲线的几何性质T 15圆的弦长问题、双曲线的几何性质T 9 直线与圆的方程、直线与抛物线的位置关系T 202016圆的方程、点到直线的距离T 4点到直线的距离、弦长问题T 16(1)圆的方程近几年成为高考全国课标卷命题的热点，需重点关注此类试题难度中等偏下，多以选择题或填空题形式考查(2)直线与圆的方程偶尔单独命题，单独命题时有一定的深度，有时也会出现在压轴题的位置，难度较大，对
2、直线与圆的方程(特别是直线)的考查主要体现在圆锥曲线的综合问题上保分考点练后讲评考 点 一 直 线 的 方 程1. 已知直线 l1：( k3) x(4 k)y10 与直线 l2：2( k3)两 直 线 平 行 x2 y30 平行，则 k 的值是( )A1 或 3 B1 或 5C3 或 5 D1 或 2解析：选 C 当 k4 时，直线 l1的斜率不存在，直线 l2的斜率存在，所以两直线不平行；当 k4 时，两直线平行的一个必要条件是 k3，解得 k3 或 k5，但必须3 k4 k满足 (截距不等)才是充要条件，经检验知满足这个条件1k 4 322两直线垂直已知直线 mx4 y20 与 2x5 y
3、 n0 互相垂直，垂足为 P(1， p)，则 m n p 的值是( )A24 B20C0 D4解析：选 B 直线 mx4 y20 与 2x5 y n0 互相垂直，2 1， m10.m 4 25直线 mx4 y20，即 5x2 y10，将垂足(1， p)代入，得 52 p10， p2.把 P(1，2)代入 2x5 y n0，得 n12， m n p20，故选 B.3. 坐标原点(0,0)关于直线 x2 y20 对称的点的坐标是( )对 称 问 题 A. B.(45， 85) ( 45， 85)C. D.(45， 85) (45， 85)解析：选 A 直线 x2 y20 的斜率 k ，设坐标原点(
4、0,0)关于直线 x2 y2012对称的点的坐标是( x0， y0)，依题意可得Error!解得Error!即所求点的坐标是 .(45， 85)4. 已知直线 l 过直线 l1： x2 y30 与直线两 直 线 的 交 点 与 距 离 l2：2 x3 y80 的交点，且点 P(0,4)到直线 l 的距离为 2，则直线 l 的方程为_解析：由Error!得Error! 所以直线 l1与 l2的交点为(1,2)显然直线 x1 不符合，即所求直线的斜率存在，设所求直线的方程为 y2 k(x1)，即 kx y2 k0，因为P(0,4)到直线 l 的距离为 2，所以 2，所以 k0 或 k .所以直线
5、l 的方程| 4 2 k|1 k2 43为 y2 或 4x3 y20.答案： y2 或 4x3 y20解题方略1两直线的位置关系问题的解题策略求解与两条直线平行或垂直有关的问题时，主要是利用两条直线平行或垂直的充要条件，即斜率相等且纵截距不相等或斜率互为负倒数若出现斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法去研究或直接用直线的一般式方程判断2轴对称问题的两种类型及求解方法点关于直线的对称若两点 P1(x1， y1)与 P2(x2， y2)关于直线 l： Ax By C0 对称，则线段 P1P2的中点在对称轴 l 上，而且连接 P1， P2的直线垂直于对称轴 l.由方程组Error!可得到点 P1
6、关于 l 对称的点 P2的坐标(x2， y2)(其中 B0， x1 x2)直线关于直线的对称有两种情况，一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行一般转化为点关于直线的对称来解决3保分考点练后讲评考 点 二 圆 的 方 程大稳定 常 规 角 度 考 双 基1. 若方程 x2 y2 ax2 ay2 a2 a10 表示圆，则实数 a由 圆 的 方 程 求 参 数 范 围 的取值范围是( )A(，2) B.(23， 0)C(2,0) D.( 2，23)解析：选 D 若方程表示圆，则 a2(2 a)24(2 a2 a1)0，化简得 3a24 a40)，由题意知 ，解得 a2，所以 r |2a|
7、5 455 3，故圆 C 的标准方程为 (x2) 2 y29.22 5 2答案：( x2) 2 y29解题方略 求圆的方程的 2 种方法几何法 通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，从而求得圆的基本量和方程代数法 用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数，从而求得圆的方程小创新 变 换 角 度 考 迁 移1. 已知圆 M： x2 y22 x a0，若 AB 为圆 M 的任意一条直径，且与 平 面 向 量 交 汇 6(其中 O 为坐标原点)，则圆 M 的半径为( )OA OB A. B.5 6C. D27 2解析：选 C 圆 M 的标准方程为( x1) 2 y21 a(a0)截直线
8、 x y0 所得线段的长度是 2 ，则圆 M 与2圆 N：( x1) 2( y1) 21 的位置关系是( )A内切 B相交C外切 D相离解析：选 B 圆 M： x2 y22 ay0( a0)可化为 x2( y a)2 a2，由题意， M(0， a)到直线 x y0 的距离 d ，所以 a2 2，解得 a2.所以圆 M： x2( y2) 24，所以a2 a22两圆的圆心距为 ，半径和为 3，半径差为 1，故两圆相交24(2018全国卷)直线 x y20 分别与 x 轴， y 轴交于 A， B 两点，点 P 在圆(x2) 2 y22 上，则 ABP 面积的取值范围是( )9A2,6 B4,8C ，
9、3 D2 ，3 2 2 2 2解析：选 A 设圆( x2) 2 y22 的圆心为 C，半径为 r，点 P 到直线 x y20 的距离为 d，则圆心 C(2,0)， r ，2所以圆心 C 到直线 x y20 的距离为 2 ，|2 2|2 2可得 dmax2 r3 ， dmin2 r .2 2 2 2由已知条件可得| AB|2 ，2所以 ABP 面积的最大值为 |AB|dmax6，12 ABP 面积的最小值为 |AB|dmin2.12综上， ABP 面积的取值范围是2,65已知圆 O： x2 y24 上到直线 l： x y a 的距离等于 1 的点至少有 2 个，则实数a 的取值范围为( )A(3
10、 ，3 )2 2B(，3 )(3 ，)2 2C(2 ，2 )2 2D3 ，3 2 2解析：选 A 由圆的方程可知圆心为(0,0)，半径为 2.因为圆 O 上到直线 l 的距离等于1 的点至少有 2 个，所以圆心到直线 l 的距离 d0， y1 y2 ， x1 x2 k(y1 y2)2 ，因为 2kk2 1 2k2 1 OM ，故 M ，又点 M在圆 C上，故 4，解得OA OB ( 2k2 1， 2kk2 1) 4 k2 1 2 4k2 k2 1 2k 0.法二：由直线与圆相交于 A， B 两点， ，且点 M 在圆 C 上，得圆心OM OA OB 10C(0,0)到直线 x ky10 的距离为
11、半径的一半，为 1，即 d 1，解得 k0.11 k2二、填空题7已知直线 l： x my30 与圆 C： x2 y24 相切，则 m_.解析：因为圆 C： x2 y24 的圆心为(0,0)，半径为 2，直线 l： x my30 与圆C： x2 y24 相切，所以 2 ，解得 m .31 m2 52答案：528过点 C(3,4)作圆 x2 y25 的两条切线，切点分别为 A， B，则点 C 到直线 AB 的距离为_解析：以 OC 为直径的圆的方程为 2( y2) 2 2， AB 为圆 C 与圆(x32) (52)O： x2 y25 的公共弦，所以 AB 的方程为 x2 y2 5 ，化简得(x3
12、2)2 y 2 2 2543x4 y50，所以 C 到直线 AB 的距离 d 4.|33 44 5|32 42答案：49(2018贵阳适应性考试)已知直线 l： ax3 y120 与圆 M： x2 y24 y0 相交于 A， B 两点，且 AMB ，则实数 a_. 3解析：直线 l 的方程可变形为 y ax4，所以直线 l 过定点13(0,4)，且该点在圆 M 上圆的方程可变形为 x2( y2) 24，所以圆心为 M(0，2)，半径为 2.如图，因为 AMB ，所以 AMB 是等 3边三角形，且边长为 2，高为 ，即圆心 M 到直线 l 的距离为 ，所3 3以 ，解得 a .| 6 12|a2
13、 9 3 3答案： 3三、解答题10已知圆( x1) 2 y225，直线 ax y50 与圆相交于不同的两点 A， B.(1)求实数 a 的取值范围；(2)若弦 AB 的垂直平分线 l 过点 P(2,4)，求实数 a 的值解：(1)把直线 ax y50 代入圆的方程，消去 y 整理，得( a21) x22(5 a1) x10，由于直线 ax y50 交圆于 A， B 两点，11故 4(5 a1) 24( a21)0，即 12a25 a0，解得 a 或 a0， b0)，即 bx ay ab0，xa yb由直线 l 与圆 O 相切，得 ，即 ，则| DE|2 a2 b22( a2 b2)| ab|
14、b2 a2 2 1a2 1b2 124 8，当且仅当 a b2 时取等号，此时直线 l 的方程为(1a2 1b2) 2b2a2 2a2b2x y20.B 组大题专攻补短练1已知点 M(1,0)， N(1,0)，曲线 E 上任意一点到点 M 的距离均是到点 N 的距离的倍3(1)求曲线 E 的方程；(2)已知 m0，设直线 l1： x my10 交曲线 E 于 A， C 两点，直线l2： mx y m0 交曲线 E 于 B， D 两点当 CD 的斜率为1 时，求直线 CD 的方程解：(1)设曲线 E 上任意一点的坐标为( x， y)，由题意得 ， x 1 2 y2 3 x 1 2 y2整理得 x
15、2 y24 x10，即( x2) 2 y23 为所求(2)由题意知 l1 l2，且两条直线均恒过点 N(1，0)设曲线 E 的圆心为 E，则 E(2,0)，设线段 CD 的中点为 P，连接 EP， ED， NP，则直线EP： y x2.设直线 CD： y x t，由Error! 解得点 P ，(t 22 ， t 22 )由圆的几何性质，知| NP| |CD| ，12 |ED|2 |EP|2而| NP|2 2 2，| ED|23，(t 22 1) (t 22 )|EP|2 2，(|2 t|2 )所以 2 23 ，整理得 t23 t0，(t2) (t 22 ) t 2 22解得 t0 或 t3，1
16、3所以直线 CD 的方程为 y x 或 y x3.2在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(0,3)，直线 l： y2 x4，设圆 C 的半径为 1，圆心在 l 上(1)若圆心 C 也在直线 y x1 上，过点 A 作圆 C 的切线，求切线的方程；(2)若圆 C 上存在点 M，使| MA|2| MO|，求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围解：(1)因为圆心在直线 l： y2 x4 上，也在直线 y x1 上，所以解方程组Error!得圆心 C(3,2)，又因为圆的半径为 1，所以圆的方程为( x3) 2( y2) 21，又因为点 A(0,3)，显然过点 A，圆 C 的切线的斜率存在，设所求的切线
17、方程为 y kx3，即 kx y30，所以 1，解得 k0 或 k ，|3k 2 3|k2 12 34所以所求切线方程为 y3 或 y x3，34即 y30 或 3x4 y120.(2)因为圆 C 的圆心在直线 l： y2 x4 上，所以设圆心 C 为( a,2a4)，又因为圆 C 的半径为 1，则圆 C 的方程为( x a)2( y2 a4) 21.设 M(x， y)，又因为| MA|2| MO|，则有2 ，x2 y 3 2 x2 y2整理得 x2( y1) 24，其表示圆心为(0，1)，半径为 2 的圆，设为圆 D，所以点 M 既在圆 C 上，又在圆 D 上，即圆 C 与圆 D 有交点，所
18、以 21 21，a2 2a 4 1 2解得 0 a ，125所以圆心 C 的横坐标 a 的取值范围为 .0，1253在直角坐标系 xOy 中，曲线 y x2 mx2 与 x 轴交于 A， B 两点，点 C 的坐标为(0,1)，当 m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现 AC BC 的情况？说明理由；(2)证明过 A， B， C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值解：(1)不能出现 AC BC 的情况，理由如下：设 A(x1,0)， B(x2,0)，则 x1， x2满足 x2 mx20，14所以 x1x22.又 C 的坐标为(0,1)，故 AC 的斜率与 BC 的斜率之积为 ， 1x1 1x
19、2 12所以不能出现 AC BC 的情况(2)证明：由(1)知 BC 的中点坐标为 ，(x22， 12)可得 BC 的中垂线方程为 y x2 .12 (x x22)由(1)可得 x1 x2 m，所以 AB 的中垂线方程为 x .m2联立Error! 可得Error!所以过 A， B， C 三点的圆的圆心坐标为 ，半径 r .(m2， 12) m2 92故圆在 y 轴上截得的弦长为 2 3，即过 A， B， C 三点的圆在 y 轴上截得的弦r2 (m2)2长为定值4(2018广州高中综合测试)已知定点 M(1,0)和 N(2,0)，动点 P 满足| PN| |PM|.2(1)求动点 P 的轨迹
20、C 的方程；(2)若 A， B 为(1)中轨迹 C 上两个不同的点， O 为坐标原点设直线 OA， OB， AB 的斜率分别为 k1， k2， k.当 k1k23 时，求 k 的取值范围解：(1)设动点 P 的坐标为( x， y)，因为 M(1,0)， N(2,0)，| PN| |PM|，2所以 . x 2 2 y2 2 x 1 2 y2整理得， x2 y22.所以动点 P 的轨迹 C 的方程为 x2 y22.(2)设点 A(x1， y1)， B(x2， y2)，直线 AB 的方程为 y kx b.由Error! 消去 y，整理得(1 k2)x22 bkx b220.(*)由 (2 bk)24(1 k2)(b22)0，得 b2 .33 33要使 k1， k2， k 有意义，则 x10， x20，所以 0 不是方程(*)的根，所以 b220，即 k1 且 k1.由，得 k 的取值范围为 ，1) (1， 3 ( 1， 33) (33， 1) 3
