1、113.2 极大值与极小值对应学生用书 P16极 值已知 y f(x)的图象(如图)问题 1：当 x a 时，函数值 f(a)有何特点？提示：在 x a 的附近， f(a)最小， f(a)并不一定是 y f(x)的最小值问题 2：当 x b 时，函数值 f(b)有何特点？提示：在 x b 的附近， f(b)最大， f(b)并不一定是 y f(x)的最大值1观察下图中的函数图象，发现函数图象在点 P 处从左侧到右侧由“上升”变为“下降”(函数由单调递增变为单调递减)，这时在点 P 附近，点 P 的位置最高，亦即 f(x1)比它附近点的函数值都要大，我们称 f(x1)为函数 f(x)的一个极大值2
2、类似地，上图中 f(x2)为函数的一个极小值3函数的极大值、极小值统称为函数的极值极值与导数的关系观察图()问题 1：试分析在函数取得极大值的 x1的附近左右两侧导数的符号有什么变化？提示：左侧导数大于 0，右侧导数小于 0.问题 2：试分析在函数取得极小值的 x2的附近左右两侧导数的符号有什么变化？提示：左侧导数小于 0，右侧导数大于 0.1极大值与导数之间的关系如下表：2x x1左侧 x1 x1右侧f( x) f( x)0 f( x)0 f( x)0f(x) 减 极小值 f(x2) 增1极值是一个局部概念，它只是某个点的函数值与它附近的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在整个定义域内是最
3、大或最小2函数的极值并不惟一(如图所示)3极大值和极小值之间没有确定的大小关系，如图所示， f(x1)是极大值， f(x4)是极小值，而 f(x4)f(x1)对 应 学 生 用 书 P17求函数的极值例 1 求下列函数的极值：(1)f(x) x33 x29 x5；(2)f(x) .ln xx思路点拨 按求函数极值的步骤求解，要注意函数的定义域精解详析 (1)函数 f(x) x33 x29 x5 的定义域为 R，且 f( x)3 x26 x9.解方程 3x26 x90，得 x11， x23.当 x 变化时， f( x)与 f(x)的变化情况如下表：x (，1) 1 (1,3) 3 (3，)f(
4、x) 0 0 3f(x) 极大值 10 极小值22 因此，函数 f(x)的极大值为 f(1)10；极小值为 f(3)22.(2)函数 f(x) 的定义域为(0，)，ln xx且 f( x) .1 ln xx2令 f( x)0，解得 xe.当 x 变化时， f( x)与 f(x)的变化情况如下表：x (0，e) e (e，)f( x) 0 f(x) 极大值1e因此函数 f(x)的极大值为 f(e) ，没有极小值1e一点通 (1)求可导函数极值的步骤：求导数 f( x)；求方程 f( x)0 的根；检查 f( x)的值在方程 f( x)0 的根左右的符号，如果左正右负，那么 f(x)在这个根处取得
5、极大值；如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小值(2)注意事项：不要忽视函数的定义域；要正确地列出表格，不要遗漏区间和分界点1函数 f(x)的定义域为开区间( a， b)，导函数 f( x)在( a， b)内的图象如图所示，则函数 f(x)在开区间( a， b)内有_个极小值解析：由图可知，在区间( a， x1)，( x2,0)，(0， x3)内 f( x)0；在区间( x1， x2)，( x3， b)内 f( x)0；当 x(0,2)时， f( x)0.所以 f(x)的单调增区间是(，0)和(2，)，减区间是(0,2)；极大值为 f(0)，极小值为 f(2)答案：3设 f(x) al
6、n x x1，其中 aR，曲线 y f(x)在点(1， f(1)处的切线垂12x 32直于 y 轴(1)求 a 的值；(2)求函数 f(x)的极值解：(1)因 f(x) aln x x1，12x 32故 f( x) .ax 12x2 32由于曲线 y f(x)在点(1， f(1)处的切线垂直于 y 轴，故该切线斜率为 0，即 f(1)0，从而 a 0，12 32解得 a1.(2)由(1)知 f(x)ln x x1( x0)，12x 32f( x) .1x 12x2 32 3x2 2x 12x2 (3x 1)(x 1)2x2令 f( x)0，解得 x11， x2 (因 x2 不在定义域内，舍去)
7、13 13当 x(0,1)时， f( x)0，故 f(x)在(1，)上为增函数5故 f(x)在 x1 处取得极小值 f(1)3.已知函数极值求参数例 2 已知 f(x) x33 ax2 bx a2在 x1 时有极值 0.求 a， b 的值思路点拨 解答本题可先求 f( x)，利用 x1 时有极值 0 这一条件建立关于a， b 的方程组解方程组可得 a， b 的值，最后将 a， b 代入原函数验证极值情况精解详析 f(x)在 x1 时有极值 0 且 f( x)3 x26 ax b，Error! 即Error!解得Error! 或Error!当 a1， b3 时，f( x)3 x26 x33( x
8、1) 20，所以 f(x)在 R 上为增函数，无极值，故舍去当 a2， b9 时，f( x)3 x212 x93( x1)( x3)当 x(，3)时， f(x)为增函数；当 x(3，1)时， f(x)为减函数；当 x(1，)时， f(x)为增函数所以 f(x)在 x1 时取得极小值，因此 a2， b9.一点通 已知函数极值情况，逆向应用确定函数的解析式，进而研究函数性质时，注意两点：(1)常根据取极值点处导数为 0 和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解(2)因为导数值等于零不是此点取极值的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性4已知函数 f(x) x3 ax2 bx a2在
9、 x1 处有极值为 10，则 ab_.解析： f( x)3 x22 ax b，由题意可知：Error!即Error!得Error! 或Error!当 a3， b3 时，f( x)3 x26 x33( x1) 2，易知在 x1 的左右两侧都有 f( x)0，即函数 f(x)在 R 上是单调递增的，因此 f(x)在 x1 处并不存在极值，6故 Error!ab44.答案：445已知函数 y3 x x3 m 的极大值为 10，则 m 的值为_ .解析： y33 x23(1 x)(1 x)，令 y0 得 x11， x21，经判断知极大值为 f(1)2 m10， m8.答案：86已知函数 f(x) ax
10、3 bx23 x 在 x1 处取得极值讨论 f(1)和 f(1)是函数f(x)的极大值还是极小值解： f( x)3 ax22 bx3，依题意， f(1) f(1)0，即Error!解得 a1， b0， f(x) x33 x， f( x)3 x233( x1)( x1)，令 f( x)0，得 x1， x1，x (，1) 1 (1,1) 1 (1，)f( x) 0 0 f(x) 极大值 极小值 所以 f(1)2 是极大值， f(1)2 是极小值极值的综合应用例 3 已知 a 为实数，函数 f(x) x33 x a.(1)求函数 f(x)的极值，并画出其图象(草图)；(2)当 a 为何值时，方程 f
11、(x)0 恰好有两个实数根？精解详析 (1)由 f(x) x33 x a，得 f( x)3 x23，令 f( x)0，得 x1 或 x1.当 x(，1)时， f( x)0；当 x(1，)时， f( x)0 时，曲线 y f(x)与 x 轴仅有一个交点，所以所求实数 a 的范围是 a2.8已知 x3 是函数 f(x) aln(1 x) x210 x 的一个极值点(1)求 a；(2)求函数 f(x)的单调区间；(3)若直线 y b 与函数 y f(x)的图象有 3 个交点，求 b 的取值范围解：(1)因为 f( x) 2 x10，a1 x所以 f(3) 6100，因此 a16.a4(2)由(1)知
12、，f(x)16ln(1 x) x210 x， x(1，)f( x) ，当 x(1,1)(3，)时，2(x2 4x 3)1 xf( x)0，当 x(1,3)时， f( x)f ，33 ( 33)排除；取函数 f(x)( x1) 2，则 x1 是 f(x)的极大值点，但1 不是 f( x)的极小值点，排除； f(x)( x1) 2，1 不是 f(x)的极小值点，排除， f( x)的图象与 f(x)的图象关于原点对称，由函数图象的对称性可得 x0应为函数 f( x)的极小值点，填.答案：二、解答题6已知函数 f(x) x34 x4，求函数的极值，并画出函数的大致图象13解：(1) f( x) x24
13、.解方程 x240，得 x12， x22.当 x 变化时， f( x)、 f(x)的变化情况如下表：x (，2) 2 (2,2) 2 (2，)f( x) 0 0 f(x) 283 43从上表看出，当 x2 时，函数有极大值，且极大值为 f(2) ；283而当 x2 时，函数有极小值，且极小值为 f(2) .4310函数 f(x) x34 x4 的图象如图所示137已知函数 f(x) x33 ax1， a0.(1)求 f(x)的单调区间；(2)若 f(x)在 x1 处取得极值，直线 y m 与 y f(x)的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围解：(1) f( x)3 x23 a3( x2 a
14、)当 a0，当 a0 时，由 f( x)0 解得 x ，a a由 f( x)0 时， f(x)的单调增区间为(， )，( ，)， f(x)的单调减区间为a a( ， )a a(2) f(x)在 x1 处取得极值，f(1)3(1) 23 a0. a1. f(x) x33 x1， f( x)3 x23.由 f( x)0 解得 x11， x21，由(1)中 f(x)的单调性可知，f(x)在 x1 处取得极大值 f(1)1，在 x1 处取得极小值 f(1)3.直线 y m 与函数 y f(x)的图象有三个不同的交点，结合 f(x)的单调性可知 m 的取值范围是(3,1)8(重庆高考)已知函数 f(x)
15、 ae2x be2 x cx(a， b， cR)的导函数 f( x)为偶函数，且曲线 y f(x)在点(0， f(0)处的切线的斜率为 4 c.(1)确定 a， b 的值；(2)若 c3，判断 f(x)的单调性；(3)若 f(x)有极值，求 c 的取值范围解：(1)对 f(x)求导得 f( x)2 ae2x2 be2 x c，11由 f( x)为偶函数，知 f( x) f( x)，即 2(a b)(e2xe 2 x)0，所以 a b.又 f(0)2 a2 b c4 c，故 a1， b1.(2)当 c3 时， f(x)e 2xe 2 x3 x，那么 f( x)2e 2x2e 2 x32310，2
16、e2x2e 2x故 f(x)在 R 上为增函数(3)由(1)知 f( x)2e 2x2e 2 x c，而 2e2x2e 2 x2 4，2e2x2e 2x当 x0 时等号成立下面分三种情况进行讨论当 c0，此时 f(x)无极值；当 c4 时，对任意 x0， f( x)2e 2x2e 2 x40，此时 f(x)无极值；当 c4 时，令 e2x t，注意到方程 2t c0 有两根 t1,2 0，2t cc2 164即 f( x)0 有两个根 x1 ln t1或 x2 ln t2.12 12当 x1x2时， f( x)0，从而 f(x)在 x x2处取得极小值综上，若 f(x)有极值，则 c 的取值范围为(4，)
