1、123.1 双曲线的标准方程对 应 学 生 用 书 P25在平面直角坐标系中 A(3,0)， B(3,0)， C(0，3)， D(0，3)问题 1：若动点 M 满足| MA MB|4，设 M 的坐标为( x， y)，则 x， y 满足什么关系？提示： 1.x24 y25问题 2：若动点 M 满足| MC MD|4，设 M 的坐标为( x， y)，则 x， y 满足什么关系？提示： 1.y24 x25双曲线的标准方程焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上标准方程 1( a0， b0)x2a2 y2b2 1( a0， b0)y2a2 x2b2焦点坐标 (c,0) (0， c)a， b， c 的关系 c
2、2 a2 b21双曲线的标准方程与椭圆不同，左边是含 x， y 项的平方差，右边是 1.2在双曲线中， a0 且 b0，但 a 与 b 的大小关系不确定3在双曲线中 a、 b、 c 满足 c2 a2 b2，与椭圆不同对 应 学 生 用 书 P26用待定系数法求双曲线方程例 1 已知双曲线过点 P( ， )， Q 两点，求双曲线的标准方程2 3 (153， 2)思路点拨 解答本题可分情况设出双曲线的标准方程，再构造关于 a、 b、 c 的方程组求解，从而得出双曲线的标准方程也可以设双曲线方程为 mx2 ny21( mn0， b0)，x2a2 y2b2 P( ， )， Q 两点在双曲线上2 3 (
3、153， 2)Error!解得Error! 即 a21， b23，所求双曲线的标准方程为 x2 1.y23当双曲线的焦点在 y 轴上时，设双曲线方程为 1( a0， b0)，y2a2 x2b2 P( ， )， Q 两点在双曲线上，2 3 (153， 2)Error!解得Error! (不符合题意，舍去)综上：所求双曲线的标准方程为 x2 1.y23法二：设双曲线的方程为 mx2 ny21( mn5.所以实数 m 的取值范围是(5，)一点通 给出方程 1( mn0)，当 mn3.答案：(3,2) (3,2)(3，)双曲线的定义及其标准方程的应用例 3 已知 F1， F2是双曲线 1 的两个焦点，
4、 P 是双曲线左支上的点，且x29 y216PF1PF232，试求 F1PF2的面积思路点拨 本题是有关双曲线的焦点三角形问题，解答本题的关键是求得 F1PF2的大小由余弦定理，根据已知条件，结合双曲线的定义即可求得结果精解详析 双曲线的标准方程为 1，可知 a3， b4， c 5.由x29 y216 a2 b25双曲线的定义，得| PF2 PF1|2 a6，将此式两边平方，得 PF PF 2 PF1PF236，21 2 PF PF 362 PF1PF236232100.21 2在 F1PF2中，由余弦定理，得cos F1PF2 0，PF21 PF2 F1F22PF1PF2 100 1002P
5、F1PF2 F1PF290， S F1PF2 PF1PF2 3216.12 12一点通 在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要考虑定义|PF1 PF2|2 a，其次要利用余弦定理(或勾股定理)建立关于 PF1、 PF2、 F1F2的方程，解方程组可求得 PF1、 PF2或 PF1PF2，再解决相关问题5已知双曲线 1 的左焦点为 F，点 P 为双曲线右支上一点，且 PF 与圆x216 y225x2 y216 相切于点 N， M 为线段 PF 的中点， O 为坐标原点，则 MN MO_.解析：如图，设 F是双曲线的右焦点，连接 PF，因为 M， O 分别是 FP， FF的中点，所以 MO
6、 PF，又 FN 5，由双曲线的定义知 PF PF8，故12 OF2 ON2MN MO PF MF FN (PF PF) FN 851.12 12 12答案：16如图所示，已知定圆 F1： x2 y210 x240，定圆F2： x2 y210 x90，动圆 M 与定圆 F1， F2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程解：圆 F1：( x5) 2 y21，圆 F2：( x5) 2 y24 2， F1(5,0)，半径 r11； F2(5,0)，半径 r24.设动圆 M 的半径为 R，则 MF1 R1， MF2 R4， MF2 MF13 F1F210.动圆圆心 M 的轨迹是以 F1、 F2为焦点的双曲线
7、左支，且 a ， c5.326 b225 .94 914动圆圆心 M 的轨迹方程为 1( x )4x29 4y291 321用定义法求双曲线的标准方程时，要注意是一支还是两支2用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出 a， b， c 的方程组对应课时跟踪训练(十) 1双曲线 1 上的点 P 到一个焦点的距离为 11，则它到另一个焦点的距离为x225 y224_解析：设双曲线的左、右焦点分别为 F1， F2，不妨设 PF111，根据双曲线的定义知|PF1 PF2|2 a10， PF21 或 PF221，而 F1F214，当 PF21 时，1110，且焦
8、点在 x 轴上，根据题意知 4 a2 a2，即x2a y22a2 a20，解得 a1 或 a2(舍去)故实数 a1.答案：15已知双曲线的两个焦点为 F1( ，0)， F2( ，0)， M 是此双曲线上的一点，10 10且满足 1MF 20，|M|2，则该双曲线的方程是_解析： 0， 1.| 1|2| 2|240.(| |)2| 1F|22| 1| F| 2|2402236.| 1M| 2|62 a， a3.又 c ， b2 c2 a21，10双曲线方程为 y21.x29答案： y21x296求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)以椭圆 1 的长轴端点为焦点，且经过点 P(5， )；x225 y29 94(2)过点 P1(3，4 )， P2( ，5)294解：(1)因为椭圆 1 的长轴端点为 A1(5,0)， A2(5,0)，所以所求双曲线的焦x225 y29点为 F1(5,0)， F2(5,0)由双曲线的定义知，| PF1 PF2|Error! Error!(5 5)2 (f(9,4) 0)2 (5 5)2 (f(9,4) 0)2Error! Error!8，即 2a8，则 a4.又 c5，所以(f(41,4)2 (f(9,4)2b2 c2 a29.故所求双曲线的标准方程为 1.x216 y29(2)设双曲线的方程为 Ax2 By21( AB )x22 y26 29
