1、124.2 抛物线的几何性质对 应 学 生 用 书 P33太阳能是最清洁的能源，太阳能灶是日常生活中应用太阳能的典型例子太阳能灶接受面是抛物线的一部分绕其对称轴旋转一周形成的曲面它的原理是太阳光线(平行光束)射到抛物镜面上，经镜面反射后，反射光线都经过抛物线的焦点，这就是太阳能灶把光能转化为热能的理论依据问题 1：抛物线有几个焦点？提示：一个问题 2：抛物线有点像双曲线的一支，抛物线有渐近线吗？提示：没有问题 3：抛物线的顶点与椭圆、双曲线有什么不同？ 提示：椭圆有四个顶点，双曲线有二个顶点，抛物线只有一个顶点抛物线的简单几何性质标准方程y22 px(p0)y22 px(p0)x22 py(p
2、0)x22 py(p0)图像范围 x0， yR x0， yR xR， y0 xR， y0对称轴 x 轴 y 轴顶点 原点性 质开口方向向右 向左 向上 向下抛物线的性质特点：(1)抛物线只有一个焦点，一个顶点，一条对称轴，一条准线，无对称中心，因此，抛物线又称为无心圆锥曲线(2)抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它可以无限延伸，但它没有渐近线2(3)抛物线的离心率定义为抛物线上的点到焦点的距离和该点到准线的距离的比，所以抛物线的离心率是确定的，为 1.(4)抛物线的焦点在对称轴上，准线垂直于对称轴，焦点到准线的距离为 p，它是一个不变量，不随抛物线位置的变化而变化，焦点与准线分别在顶点的两侧，且
3、它们到顶点的距离相等，均为 .p2对 应 学 生 用 书 P33求抛物线的标准方程与几何性质例 1 求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)顶点在原点，准线是 y4；(2)顶点在原点，通过点( ，6)，且以坐标轴为轴3思路点拨 可先根据条件确定抛物线的焦点位置，从而设出抛物线的标准方程，再利用待定系数法求出标准方程精解详析 (1)顶点在原点，准线是 y4 的抛物线的标准方程可设为x22 py(p0)因为准线是 y4，所以 p8.因此，所求抛物线的标准方程是 x216 y.(2)若 x 轴是抛物线的轴，则设抛物线的标准方程为 y22 px，因为点( ，6)在抛3物线上，所以(6) 22 p ，解
4、得 2p12 ，故所求抛物线的标准方程为 y212 x.3 3 3若 y 轴是抛物线的轴，同理可得抛物线的标准方程为 x2 y.12一点通 利用待定系数法求抛物线的标准方程，往往与抛物线的几何性质相联系，这就要求对抛物线的标准方程的四种形式及其对应的性质的比较、辨析、应用做到熟练，特别是开口方向、焦点坐标、准线方程等1已知双曲线方程是 1，求以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程及x28 y29抛物线的准线方程解：双曲线 1 的右顶点坐标是(2 ，0)，x28 y29 2 2 ，且抛物线的焦点在 x 轴的正半轴上p2 23所求抛物线的标准方程为 y28 x，准线方程为2x2 .22抛物线的顶
5、点在原点，对称轴重合于椭圆 9x24 y236 的短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为 3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程解：椭圆的方程可化为 1，x24 y29其短轴在 x 轴上，抛物线的对称轴为 x 轴，设抛物线的方程为 y22 px 或 y22 px(p0)抛物线的焦点到顶点的距离为 3，即 3， p6，p2抛物线的标准方程为 y212 x 或 y212 x，其准线方程分别为 x3 和 x3.抛物线几何性质的应用例 2 已知抛物线的焦点 F 在 x 轴上，直线 l 过 F 且垂直于 x 轴， l 与抛物线交于A、 B 两点， O 为坐标原点，若 AOB 的面积为 4，求此抛物线的标
6、准方程思路点拨 设出抛物线的方程，表示出 AOB 的面积，利用面积列方程求解精解详析 由题意，设抛物线方程为 y22 mx(m0)，焦点 F( ，0)，直线m2l： x ，m2 A、 B 两点坐标为( ， m)、( ， m)m2 m2 AB2| m|. AOB 的面积为 4， | |2|m|4，12 m2 m2 ，抛物线方程为 y24 x.2 2一点通 抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题时具有广泛的应用，但是在解题的过程中又容易忽视这些隐含条件例 2 的关键是根据对称性求出线段| AB|的长，进而通过面积求出 m.3抛物线 y24 x 的焦点为 F，点 P 为抛物线上的动点，点 M 为其准
7、线上的动点，当 FPM 为等边三角形时，其面积为_解析：据题意知， FPM 为等边三角形， PF PM FM， PM抛物线的准线设 P4，则 M(1， m)，等边三角形边长为 1 ，又由 F(1,0)， PM FM，得 1 (m24， m) m24 m24，得 m2 ，等边三角形的边长为 4，其面积为 4 .(1 1)2 m2 3 3答案：4 34(江西高考)抛物线 x22 py(p0)的焦点为 F，其准线与双曲线 1 相交于x23 y23A， B 两点，若 ABF 为等边三角形，则 p_.解析：由 x22 py(p0)得焦点 F ，准线 l 为 y ，所以可求得抛物线的准线(0，p2) p2
8、与双曲线 1 的交点 A ， B ，所以 AB ，x23 y23 ( 12 p22 ， p2) (12 p22 ， p2) 12 p2则 AF AB ，所以 sin ，即 ，解得 p6.12 p2pAF 3 p12 p2 32答案：65已知 A、 B 是抛物线 y22 px(p0)上两点， O 为坐标原点，若 OA OB，且 ABO 的垂心恰是此抛物线的焦点 F，求直线 AB 的方程解： ABO 是等腰三角形， A、 B 关于 x 轴对称， AB 垂直于 x 轴设直线 AB 方程为 x a，则 y22 pa.可设 A(a， )， B(a， )2pa 2pa而焦点 F 为 (p2， 0) kFA
9、 ， kOB .2paa p2 2paa kFAkOB1， 1.2pa( r(2pa)(a p2)a a p.52 AB 的方程为 x p.52抛物线中的最值问题例 3 求抛物线 y24 x 上到焦点 F 的距离与到点 A(3,2)的距离之和最小的点的坐标，并求出这个最小值5思路点拨 可以设抛物线上的点为 P，要求 PA PF 的最小值，可利用抛物线定义，把 PF 转化为 P 到准线的距离求解精解详析 设 P是抛物线 y24 x 上的任意一点，如图，过 P作抛物线的准线 l的垂线，垂足为 D，连结 P F，由抛物线定义可知 P F P D. P A P F P A P D.过 A 作准线 l
10、的垂线，交抛物线于 P，垂足为 Q，显然，直线段AQ 的长小于折线段 AP D 的长，因而 P 点即为所求的 AQ 与抛物线的交点直线 AQ 平行于 x 轴，且过 A(3,2)，直线 AQ 的方程为 y2.代入 y24 x，得 x1. P(1,2)与 F、 A 的距离之和最小，最小距离为 4.一点通 与抛物线有关的最值问题，常利用抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化成到准线的距离，利用几何法求解；另外，也可以根据条件转化为求函数的最值问题，但应注意抛物线的范围，同时注意设点技巧6已知抛物线 y22 x 的焦点 F，点 P 是抛物线上的动点，求点 P 到点 A 的距(12， 1)离与点
11、P 到直线 x 的距离 d 之和的最小值12解：由于直线 x 即抛物线的准线，12故 PB d PB PF BF.当且仅当 B、 P、 F 共线时取等号，而 BF ，(12 12)2 12 2 PB d 的最小值为 .27已知直线 l 经过抛物线 y24 x 的焦点 F，且与抛物线相交于 A， B 两点(1)若| AF|4，求点 A 的坐标；(2)求线段 AB 的长的最小值解：由 y24 x，得 p2，其准线方程为 x1，焦点 F(1,0)设 A(x1， y1)，6B(x2， y2)(1)由抛物线的定义可知，| AF| x1 ，p2从而 x1413.代入 y24 x，解得 y12 .3点 A
12、的坐标为(3, 2 )或(3，2 )3 3(2)当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y k(x1)与抛物线方程联立，得Error!消去 y，整理得k2x2(2 k24) x k20.直线与抛物线相交于 A， B 两点，则 k0，设其两根为 x1， x2， x1 x22 .4k2由抛物线的定义可知，| AB| x1 x2 p4 4.4k2当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x1，与抛物线相交于 A(1,2)， B(1，2)，此时| AB|4，| AB|4，即线段 AB 的长的最小值为 4.1涉及抛物线的焦点弦问题时，可以优先考虑利用定义将点到焦点的距离转化为点到准线的距离
13、2若 A(x1， y1)， B(x2， y2)是抛物线 y22 px(p0)的过焦点 F 的一条直线与抛物线的两个交点，则 AB x1 x2 p， x1x2 ， y1y2 p2.p24对应课时跟踪训练(十三) 1抛物线 y28 x 的焦点到准线的距离是_解析：这里 p4，焦点(2,0)，准线 x2，焦点到准线的距离是 4.答案：472抛物线 y22 x 上的两点 A， B 到焦点的距离之和是 5，则线段 AB 的中点到 y 轴的距离是_解析：抛物线 y22 x 的焦点为 F ，准线方程为 x ，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，(12， 0) 12则 AF BF x1 x2 5，解
14、得 x1 x24，故线段 AB 的中点横坐标为 2.故线段 AB 的12 12中点到 y 轴的距离是 2.答案：23过点(0,1)且与抛物线 y24 x 只有一个公共点的直线有_条解析：过点(0,1)，斜率不存在的直线为 x0，满足与抛物线 y24 x 只有一个公共点当斜率存在时，设直线方程为 y kx1，再与 y24 x 联立整理得 k2x2(2 k4)x10，当 k0 时，方程是一次方程，有一个解，满足一个交点；当 k0 时，由 0可得 k 值有一个，即有一个公共点，所以满足题意的直线有 3 条答案：34已知直线 l 过抛物线 C 的焦点，且与 C 的对称轴垂直， l 与 C 交于 A，
15、B 两点，|AB|12， P 为 C 的准线上一点，则 ABP 的面积为_解析：设抛物线方程为 y22 px，则焦点坐标为( ，0)，将 x 代入 y22 px 可得p2 p2y2 p2，| AB|12，即 2p12，故 p6.点 P 在准线上，到 AB 的距离为 p6，所以 PAB的面积为 61236.12答案：365已知点 A(2,0)，抛物线 C： x24 y 的焦点为 F，射线 FA 与抛物线 C 相交于点 M，与其准线相交于点 N，则 FM MN_.解析：如图所示， ，过点 M 作 MM垂直于准线 y1 于点M，则由抛物线的定义知 MM FM，所以 ，由于 MM N FOA，则FMM
16、N MMMN ，则 MM MN1 ，MMM N OFOA 12 5即 FM MN1 .5答案：1 56已知抛物线的顶点在原点，焦点在 x 轴的正半轴上，抛物线上的点 M(3， m)到焦点的距离等于 5，求抛物线的方程和 m 的值解：法一：设抛物线方程为 y22 px(p0)，8则焦点 F( ，0)，由题设可得Error!p2解得Error! 或Error!故所求的抛物线方程为 y28 x， m 的值为2 .6法二：设抛物线方程为 y22 px(p0)，焦点 F ，准线方程 x ，根据抛物线(p2， 0) p2定义，点 M 到焦点的距离等于 M 到准线方程的距离，则 3 5， p4.p2因此抛物
17、线方程为 y28 x.又点 M(3， m)在抛物线上，于是 m224， m2 .67已知顶点在原点，焦点在 y 轴上的抛物线被直线 x2 y10 截得的弦长为 ，15求此抛物线方程解：设抛物线方程为： x2 ay(a0)，由方程组Error!消去 y 得：2 x2 ax a0，直线与抛物线有两个交点， ( a)242 a0，即 a8.设两交点坐标为 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1 x2 ， x1x2 ，a2 a2弦长为| AB| 54(x1 x2)2 54(x1 x2)2 4x1x2 .14 5(a2 8a)| AB| ， ，1514 5(a2 8a) 15即 a28 a4
18、80，解得 a4 或 a12，所求抛物线方程为： x24 y 或 x212 y.8已知抛物线 y22 x.(1)设点 A 的坐标为 ，求抛物线上距离点 A 最近的点 P 的坐标及相应的距离(23， 0)|PA|；(2)在抛物线上求一点 P，使 P 到直线 x y30 的距离最短，并求出距离的最小9值解：(1)设抛物线上任一点 P 的坐标为( x， y)，则| PA|2 2 y2 22 x(x23) (x 23) 2 .(x13) 13 x0，且在此区间上函数单调递增，故当 x0 时，|PA|min ，故距点 A 最近的点的坐标为(0,0)23(2)法一：设点 P(x0， y0)是 y22 x 上任一点，则 P 到直线 x y30 的距离为d .|x0 y0 3|2 |y202 y0 3|2 |(y0 1)2 5|22当 y01 时， dmin .522 524点 P 的坐标为 .(12， 1)法二：设与直线 x y30 平行的抛物线的切线为 x y t0，与 y22 x 联立，消去 x，得 y22 y2 t0，由 0，得 t ，此时 y1， x ，12 12点 P 坐标为 ，两平行线间的距离就是点 P 到直线 x y30 的最小距离，即(12， 1)dmin .52410
