1、12.3数学归纳法第一课时 利用数学归纳法证明等式、不等式问题对应学生用书 P48在学校，我们经常会看到这样的一种现象：排成一排的自行车，如果一个同学将第一辆自行车不小心弄倒了，那么整排自行车就会倒下问题 1：试想要使整排自行车倒下，需要具备哪几个条件？提示：(1)第一辆自行车倒下；(2)任意相邻的两辆自行车，前一辆倒下一定导致后一辆倒下问题 2：利用这种思想方法能解决哪类数学问题？提示：一些与正整数 n有关的问题 数学归纳法一般地，对于某些与正整数有关的数学命题，我们有数学归纳法公理：如果(1)当 n取第一个值 n0(例如 n01,2 等)时结论正确；(2)假设当 n k(kN *，且 k
2、n0)时结论正确，证明当 n k1 时结论也正确那么，命题对于从 n0开始的所有正整数 n都成立数学归纳法的两个步骤之间的联系：第一步是验证命题递推的基础，第二步是论证命题递推的依据，这两个步骤缺一不可，只完成步骤(1)而缺少步骤(2)就作出判断，可能得不出正确的结论，因为单靠步骤(1)，无法递推下去，即 n取 n0以后的数时命题是否正确，我们无法判断同样只有步骤(2)而缺少步骤(1)时，也可能得出不正确的结论，缺少步骤(1)这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤(2)也就没有意义了对 应 学 生 用 书 P48用数学归纳法证明恒等式例 1 用数学归纳法证明：21 .12 13 14 12n
3、1 12n 1n 1 1n 2 12n思路点拨 等式的左边有 2n项，右边共有 n项， f(k)与 f(k1)相比左边增二项，右边增一项，而且左右两边的首项不同因此，从 n k到 n k1 时要注意项的合并精解详析 (1)当 n1 时，左边1 ，12 12右边 ，命题成立12(2)假设当 n k时命题成立，即1 ，12 13 14 12k 1 12k 1k 1 1k 2 12k那么当 n k1 时，左边1 12 13 14 12k 1 12k 12k 1 12k 2 1k 1 1k 2 12k 12k 112k 2 .1k 2 1k 3 12k 12k 1 12k 2右边 ，1k 2 1k 3
4、 12k 12k 1 12k 2左边右边，上式表明当 n k1 时命题也成立由(1)和(2)知，命题对一切非零自然数均成立一点通 (1)用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式命题，关键在于“先看项” ，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，项的多少与 n的取值是否有关由 n k到 n k1 时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项(2)证明 n k1 时成立，必须用到假设 n k成立的结论1用数列归纳法证明：当 nN *时，135 (1) n(2n1)(1) nn.证明：(1)当 n1 时，左边1，右边1，所以左边右边，等式成立(2)假设当 n k(k1， kN *)时等式成立，即135
5、 (1) k(2k1)(1) kk.那么当 n k1 时，135 (1) k(2k1)(1) k1 (2k1)(1) kk(1) k1 (2k1)3(1) k1 ( k)(1) k1 (2k1)(1) k1 (2k1 k)(1) k1 (k1)这就是说 n k1 时等式也成立，由(1)(2)可知，对任何 nN *等式都成立2用数学归纳法证明：122 23 24 2(2 n1) 2(2 n)2 n(2n1)证明：(1)当 n1 时，左边1 22 23，右边1(211)3，所以左边右边，等式成立(2)假设当 n k时等式成立，即 122 23 24 2(2 k1) 2(2 k)2 k(2k1)成立
6、则当 n k1 时，左边1 22 23 24 2(2 k1) 2(2 k)22( k1)1 22( k1) 2 k(2k1)(2 k1) 2(2 k2) 2(2 k1)( k1)4( k1) 2( k1) 2 k14( k1)( k1)(2 k3)( k1)2( k1)1右边，所以当 n k1 时，等式成立由(1)(2)可知对于任意正整数 n，等式都成立用数学归纳法证明不等式例 2 求证： (n2， nN *)1n 1 1n 2 13n56思路点拨 运用数学归纳法证明，证明时仔细观察不等式的结构特征，在第二步证明当 n k1 时，如何进行不等式的变换是关键另外，要注意本题 n的初始值为 2.精
7、解详析 (1)当 n2 时，左边 ，不等式成立13 14 15 16 576056(2)假设当 n k(k2， kN *)时不等式成立，即 ，1k 1 1k 2 13k56则当 n k1 时， 1(k 1) 1 1(k 1) 2 13k 13k 1 13k 2 13k 3 Error!Error! 1k 1 1k 2 13k 56 ( 13k 1 13k 2 13k 3 1k 1)564 ，(313k 3 1k 1) 56所以当 n k1 时不等式也成立由(1)(2)可知原不等式对一切 n2， nN *都成立一点通 利用数学归纳法证明与 n有关的不等式是数学归纳法的主要应用之一，应用过程中注意
8、：(1)证明不等式的第二步即从 n k到 n k1 的推导过程中要应用归纳假设，有时需要对目标式进行适当的放缩来实现；(2)与 n有关的不等式的证明有时并不一定非用数学归纳法不可，还经常用到不等式证明中的比较法、分析法、配方法、放缩法等3用数学归纳法证明不等式 的过程中，由 n k推导1n 1 1n 2 1n n 1324n k1 时，不等式的左边增加的式子是_解析： n k，左边 ，1k 1 1k 2 1k kn k1 时，左边 1k 2 1k 3 1k 1 k 1k 1 k 1 1k 1 1k 2 1k 3 1k k 12k 1 12(k 1) 1k 1 .1k 1 1k 2 1k k 1
9、(2k 1)(2k 2)答案：1(2k 1)(2k 2)4求证 (n2 且 nN *)12 13 14 12n 1 n 22证明：当 n2 时，左边 ，右边 0，左边右边，此时不等式成立12 13 56 2 22假设当 n k(k2 且 kN *)时，不等式成立，即 .12 13 14 12k 1 k 22当 n k1 时， 12 13 14 12k 1 12k 12k 1 12k 1 1 k 22 12k 12k 1 122k 1 k 22 12k 1 12k 1 12k 1 k 22 2k2k 1 k 22 12 ，k 12 (k 1) 225即当 n k1 时，不等式也成立综上所述，对任
10、何 n2 且 nN *，不等式都成立5证明不等式 1 n3，就需要验证 n10 时不等式成立(2)n k1 时式子的项数，特别是寻找 n k与 n k1 的关系时，项数发生什么变化容易被弄错因此对 n k与 n k1 这两个关系式的正确分析是应用数学归纳法成功证明问题的保障(3)“假设 n k(k1)时命题成立，利用这一假设证明 n k1 时命题成立” ，这是应用数学归纳法证明问题的核心环节，因此在第二步的证明过程中一定要用上归纳假设，否则这样的证明就不再是数学归纳法了另外在推导过程中要把步骤写完整，注意证明过程中的严谨性、规范性对应课时跟踪训练(十八) 一、填空题1用数学归纳法证明：“1 a
11、 a2 an1 (a1， nN *)”，在验证1 an 21 a6n1 成立时，左边_.解析：因为左边式子中 a的最高指数是 n1，所以当 n1 时， a的最高指数为 2，根据左边式子规律可得，当 n1 时，左边1 a a2.答案：1 a a22用数学归纳法证明关于 n的恒等式，当 n k时，表达式为1427 k(3k1) k(k1) 2，则当 n k1 时，表达式为_答案：1427 k(3k1)( k1)(3 k4)( k1)( k2) 23用数学归纳法证明不等式 1 (nN *)成立，其初始值至少12 14 12n 1 12764应取_解析：左边1 2 代入验证可知 n的最小值为 8.12
12、 14 12n 11 (12)n1 12 12n 1答案：84对于不等式 (113)(1 15) (1 12n 1)均成立2n 12证明：(1)当 n2 时，左边1 ；右边 .13 43 52左边右边，不等式成立(2)假设 n k(k2，且 kN *)时，不等式成立，即 .(113)(1 15) (1 12k 1) 2k 12则当 n k1 时，(113)(1 15) (1 12k 1)1 12(k 1) 1 2k 12 2k 22k 1 2k 22 2k 1 4k2 8k 42 2k 1 4k2 8k 32 2k 1 .2k 32k 12 2k 1 2(k 1) 12所以当 n k1 时，不等式也成立由(1)(2)知，对于一切大于 1的自然数 n，不等式都成立8
