1、1课时跟踪检测（二十） 生活中的优化问题举例层级一 学业水平达标1某炼油厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第 x 小时时，原油温度(单位：)为 f(x) x3 x28(0 x5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是( )13A8 B.203C1 D8解析：选 C 瞬时变化率即为 f( x) x22 x 为二次函数，且 f( x)( x1) 21，又 x0,5，故 x1 时， f( x)min1.2某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到大家更多的关注，据有关的统计数据显示，从上午 6 时到 9 时，车辆通过该市某一路段的用时 y(分钟)与车辆进入该路段的时刻 t 之间的关系可近似地用
2、如下函数给出： y t3 t236 t ，则在这段时间内，通过该18 34 6294路段用时最多的时刻是( )A6 时 B7 时C8 时 D9 时解析：选 C y t2 t36 (t12)( t8)38 32 38令 y0，得 t8 或 t12(舍去)，则当 6 t0，当 8400 时， P0；当 0)，x275y x2，由 y0，得 x25， x(0,25)时，250x 225y0， x(25，)时， y0，故当 x(0,80)时，函数 h(x)为减函数，当 x(80,120)时，函数 h(x)为增函数，当 x80 时， h(x)取得最小值，此时 a 取最大值为 a 200.22.51128
3、 000802 880 3805故若油箱有 22.5 升油，则该型号汽车最多行驶 200 千米层级二 应试能力达标1已知某生产厂家的年利润 y(单位：万元)与年产量 x(单位：万件)的函数关系式为 y x381 x234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为( )13A13 万件 B11 万件C9 万件 D7 万件解析：选 C y x281，令 y0，解得 x9 或 x9(舍去)，当 0 x9 时， y0；当 x9 时， y0. 所以当 x9 时， y 取得最大值2某工厂要围建一个面积为 512 m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当墙壁所用的材料最省时，堆料场
4、的长和宽分别为( )A32 m,16 m B30 m,15 mC40 m,20 m D36 m,18 m解析：选 A 要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短，如图所示，设场地宽为 x m，则长为 m，512x因此新墙总长度 L2 x (x0)，512x则 L2 ，令 L0，得 x16.512x2 x0， x16.当 x16 时， Lmin64，堆料场的长为 32(m)512163某商品一件的成本为 30 元，在某段时间内若以每件 x 元出售，可卖出(200 x)件，要使利润最大每件定价为( )A110 元 B115 元C120 元 D125 元解析：选 B 设每件商品定价 x 元，依题意可得
5、利润为 S(x)( x30)(200 x) x2230 x6 000(0 x200)，S( x)2 x230，令2 x2300，得 x115.因为在(0,200)内 S(x)只有一个极值，所以以每件 115 元出售时利润最大4若一球的半径为 r，作内接于球的圆柱，则圆柱侧面积的最大值为( )A2 r2 B r26C4 r2 D. r212解析：选 A 设内接圆柱的底面半径为 r1，高为 t，则 S2 r1t2 r12 4 r1 .r2 r21 r2 r21 S4 . 令( r2r r )0 得 r1 r.r2r21 r41 21 4122此时 S4 r22 r2 (22r)24 r r2 r2
6、.22 225某公司一年购买某种货物 400 吨，每次都购买 x 吨，运费为 4 万元/次，一年的总存储费为 4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x_吨解析：设该公司一年内总共购买 n 次货物，则 n ，400x总运费与总存储费之和 f(x)4 n4 x 4 x，1 600x令 f( x)4 0，解得 x20， x20(舍去)，1 600x2x20 是函数 f(x)的最小值点，故当 x20 时， f(x)最小答案：206.一个帐篷，它下部的形状是高为 1 m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为 3 m 的正六棱锥(如图所示)当帐篷的顶点 O 到底面中心 O1的距离为_ m 时，
7、帐篷的体积最大解析：设 OO1为 x m，底面正六边形的面积为 S m2，帐篷的体积为V m3. 则由题设可得正六棱锥底面边长为 (m)，32 x 1 2 8 2x x2于是底面正六边形的面积为 S6 ( )2 (82 x x2)34 8 2x x2 332帐篷的体积为V (82 x x2)(x1) (82 x x2)13 332 332 (82 x x2) (1612 x x3)，32 x 1 3 32V (123 x2)32令 V0，解得 x2 或 x2(不合题意，舍去)当 1 x2 时， V0；当 2 x4 时， V0.7所以当 x2 时， V 最大答案：27某产品每件成本 9 元，售价
8、 30 元，每星期卖出 432 件如果降低价格，销售量将会增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值 x(单位：元，0 x21)的平方成正比已知商品单价降低 2 元时，一星期多卖出 24 件(1)将一个星期的商品销售利润表示成 x 的函数；(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？解：(1)若商品降低 x 元，则一个星期多卖出的商品为 kx2件由已知条件，得 k2224，解得 k6.若记一个星期的商品销售利润为 f(x)，则有f(x)(30 x9)(4326 x2)6 x3126 x2432 x9 072， x0,21(2)由(1)得， f( x)18 x2252 x432.令 f
9、( x)0，得 x2 或 x12.当 x 变化时， f( x)， f(x)的变化情况如表所示：x 0 (0,2) 2 (2,12) 12 (12,21) 21f( x) 0 0 f(x) 9 072 极小值 极大值 0所以当 x12 时， f(x)取得极大值因为 f(0)9 072， f(12)11 664， f(21)0，所以定价为 301218(元)，能使一个星期的商品销售利润最大8两县城 A 和 B 相距 20 km，现计划在两县城外以 AB 为直径的半圆弧 AB 上选择一点C 建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城 A 和城 B 的总影响度为对城 A 与对城
10、B 的影响度之和记 C 点到城 A 的距离为 x km，建在 C 处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度为 y.统计调查表明：垃圾处理厂对城 A 的影响度与所选地点到城 A 的距离的平方成反比，比例系数为 4；对城 B 的影响度与所选地点到城 B 的距离的平方成反比，比例系数为 k，当垃圾处理厂建在 的中点时，对城 A 和城 B 的总影响度为0.065.(1)将 y 表示成 x 的函数 f(x)；(2)讨论(1)中函数的单调性，并判断 上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响最小？若存在，求出该点到城 A 的距离；若不存在，说明理由8解：(1)根据题意 ACB9
11、0，| AC| x km，| BC| km，且建在 C 处的垃400 x2圾处理厂对城 A 的影响度为 ，对城 B 的影响度为 ，4x2 k400 x2因此，总影响度 y (0 x20)4x2 k400 x2又垃圾处理厂建在 A 的中点时，对城 A 和城 B 的总影响度为 0.065，B故有 0.065，4 102 102 2 k400 102 102 2解得 k9，故 y f(x) (0 x20)4x2 9400 x2(2)f( x) 8x3 18x 400 x2 218x4 8 400 x2 2x3 400 x2 2 . x2 800 10x2 1 600x3 400 x2 2令 f( x)0，解得 x4 或 x4 (舍去)10 10所以当 x(0,4 )时， f( x)0， y 为减函数；10当 x(4 ，20)时， f( x)0， y 为增函数10故在 x4 处，函数 f(x)取得极小值，也是最小值即垃圾场离城 A 的距离为 4 10 10m 时，对城 A 和城 B 的总影响最小
