1、1阶段质量检测（三） 导数及其应用(时间： 120 分钟 满分：150 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1若 f(x)sin cos x，则 f( x)等于( )Asin x Bcos xCcos sin x D2sin cos x解析：选 A 函数是关于 x 的函数，因此 sin 是一个常数2曲线 y f(x) x33 x21 在点(2，3)处的切线方程为( )A y3 x3 B y3 x1C y3 D x2解析：选 C 因为 y f( x)3 x26 x，则曲线 y x33 x21 在点(2，3)处的切线
2、的斜率 k f(2)32 2620，所以切线方程为 y3.3函数 f(x)的定义域为开区间( a， b)，导函数 f( x)在( a， b)内的图象如图所示，则函数 f(x)在开区间( a， b)内有极小值点( )A1 个 B2 个 C3 个 D4 个解析：选 A 设极值点依次为 x1， x2， x3且 a x1 x2 x3 b，则 f(x)在( a， x1)，(x2， x3)上递增，在( x1， x2)，( x3， b)上递减，因此， x1， x3是极大值点，只有 x2是极小值点4函数 f(x) x2ln x 的单调递减区间是( )A. (0， 22B.22， )C. ，( ， 22 (0，
3、 22)D. ，22， 0) (0， 222解析：选 A f( x)2 x ，当 0 x 时， f( x)0，1x 2x2 1x 22故 f(x)的单调递减区间为 .(0，225函数 f(x)3 x4 x3(x0,1)的最大值是( )A1 B. 12C0 D1解析：选 A f( x)312 x2，令 f( x)0，则 x (舍去)或 x ，12 12f(0)0， f(1)1， f 1，(12) 32 12 f(x)在0,1上的最大值为 1.6函数 f(x) x3 ax23 x9，已知 f(x)在 x3 处取得极值，则 a( )A2 B3 C4 D5解析：选 D f( x)3 x22 ax3，
4、f(3)0.3(3) 22 a(3)30， a5.7已知物体的运动方程是 S(t) t2 (t 的单位：s， S 的单位：m)，则物体在时刻1tt2 时的速度 v 与加速度 a 分别为( )A. m/s， m/s2 B. m/s， m/s2154 94 152 92C. m/s， m/s2 D. m/s， m/s292 154 94 154解析：选 A S( t)2 t ，1t2 v S(2)22 (m/s)14 154令 g(t) S( t)2 t ， g( t)22 t3 ，1t2 a g(2) (m/s2)948.已知函数 f(x)的导函数 f( x) a(x b)2 c 的图象如图所示
5、，则函数 f(x)的图象可能是( )3解析：选 D 由导函数图象可知，当 x0，函数 f(x)递增因此，当 x0 时， f(x)取得极小值，故选D.9定义域为 R 的函数 f(x)满足 f(1)1，且 f(x)的导函数 f( x) ，则满足 2f(x)121 D x|x1解析：选 B 令 g(x)2 f(x) x1， f( x) ，12 g( x)2 f( x)10， g(x)为单调增函数， f(1)1， g(1)2 f(1)110，当 x2130， 25 f(2) f(1)f(3)，即 c0)ax(1)若 a1，求函数 f(x)的单调区间；(2)若以函数 y f(x)(x(0,3)图象上任意
6、一点 P(x0， y0)为切点的切线的斜率 k6恒成立，求实数 a 的最小值12解：(1)当 a1 时， f(x)ln x ，1x定义域为(0，)， f( x) ，1x 1x2 x 1x2当 x(0,1)时， f( x)0，所以 f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，)(2)由(1)知 f( x) (00， f(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增，故 f(x)的最小值为 f(0)1.(2)若 k1，则 f(x)e x x2 x，定义域为 R.12 f( x)e x x1，令 g(x)e x x1，则 g( x)e x1，由 g( x)0 得 x0， g(x)在0，
7、)上单调递增，由 g( x)0 得 x0， g(x)在(，0)上单调递减， g(x)min g(0)0，即 f( x)min0，故 f( x)0. f(x)在 R 上单调递增21(本小题满分 12 分)已知函数 f(x) x2 aln x(xR)12(1)求 f(x)的单调区间；(2)当 x1 时， x2ln x x3是否恒成立，并说明理由12 23解：(1) f(x)的定义域为(0，)，由题意得 f( x) x (x0)，ax当 a0 时， f( x)0 恒成立，8 f(x)的单调递增区间为(0，)当 a0 时， f( x) x ，ax x2 ax x a x ax当 0 x 时， f( x
8、)0；a当 x 时， f( x)0.a当 a0 时，函数 f(x)的单调递增区间为( ，)，单调递减区间为(0， )a a(2)当 x1 时， x2ln x x3恒成立，理由如下：12 23设 g(x) x3 x2ln x(x1)，23 12则 g( x)2 x2 x 0，1x x 1 2x2 x 1x g(x)在(1，)上是增函数， g(x) g(1) 0.即 x3 x2ln x0，16 23 12 x2ln x x3，12 23故当 x1 时， x2ln x x3恒成立12 2322(本小题满分 12 分)若函数 f(x) ax3 bx4，当 x2 时，函数 f(x)有极值 .43(1)求
9、函数的解析式；(2)若方程 f(x) k 有 3 个不同的根，求实数 k 的取值范围解：(1) f( x)3 ax2 b.由题意知Error!即Error!解得Error! 所以 f(x) x34 x4.13(2)由(1)可得 f( x) x24( x2)( x2)令 f( x)0，得 x2 或 x2.当 x 变化时， f( x)， f(x)的变化情况如表所示：x (，2) 2 (2,2) 2 (2，)f( x) 0 0 f(x) 283 43因此，当 x2 时， f(x)有极大值 ，当 x2 时， f(x)有极小值 ，283 43所以函数 f(x) x34 x4 的图象大致如图所示139若 f(x) k 有 3 个不同的根，则直线 y k 与函数 f(x)的图象有 3 个交点，所以 k .所以实数 k 的取值范围为 .43 283 ( 43， 283)
