1、1安徽省六安市第一中学 2019 届高三数学下学期模拟考试试题（三）文考试时间：120 分钟；满分：150一、选择题本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设复数 （i 为虚数单位），z 则的虚部为（ ）123zA. i B. -i C. -1 D. 12. 函数 y=ln（2-| x|）的大致图象为（ ）A. B. C. D.3. 已知 ， 为不重合的两个平面，直线 m，那么“ m”是“”的（ ）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件4. 圆心在曲线 上，与直线 x+y+1
2、=0 相切，且面积最小的圆的方程为（ )1(xy）A. x2+（ y-1） 2=2 B. x2+（ y+1） 2=2 C. （ x-1） 2+y2=2 D. （ x+1） 2+y2=25.执行下面的程序框图，如果输入的 N4，那么输出的 S() A. 2B. C. D. 6.已知实数 x， y 满足不等式组 ,则 的取值范围是（ ）xy021xyA. （-1，-2 B. C. D. 45,3)345,217.已知数列 an的前 n 项和为 Sn，若 3Sn=2an-3n，则 （ ）2018A. B. 12086C. D. 7)( 3)(20188.在圆的一条直径上，任取一点作与该直径垂直的弦，
3、则其弦长超过该圆的内接等边三角形的边长概率为（ ）A. B. C. D. 413121239.已知 O 为坐标原点，F 是双曲线 的左焦点， A， B 分别)0,(:2bayx为 的左、右顶点， P 为 上一点，且 PF x 轴，过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点M，与 y 轴交于点 E，直线 BM 与 y 轴交于点 N，若| OE|=2|ON|，则 的离心率为（ ）A. 3 B. 2 C. D. 233410.在 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 ， ，则 BCbcaosb3的面积的最大值为 ABCA. B. C. 2 D. 3432 311.在平行四边形 ABCD
4、中， ， ， ，若将其沿 BD 折成直二0BDA1AD面角 A-BD-C，则三棱锥 A-BDC 的外接球的表面积为（ ）A. 16 B. 8 C. 4 D. 212.已知函数 f（ x）= ，若方程 f（ x）= a 有四个不同的解x1， x2， x3， x4，且 x1 x2 x3 x4，则 的取值范围是（ ）42313)(A. （-1，+） B. （-1，1 C. （-，1） D. -1，1）二、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)13.在矩形 ABCD 中， AB=4， BC=3，沿 AC 将矩形 ABCD 折叠，其正视图和俯视图如图所示，此时连接顶点 B、 D 形成三
5、棱锥 B-ACD，则其侧视图的面积为_14.一般情况下，过二次曲线 Ax2+By2=C（ ABC0）上一点 M（ x0， y0）的切线方程为Ax0x+By0y=C，若过双曲线 上一点 M（x0，y0）（x00）作双),0(12bayx曲线的切线 1，已知直线 1 过点 N ，且斜率的取值范围是 ，则该双曲线离),( 5,2心率的取值范围是_15.已知 x1， x2是函数 f（ x）=2sin2 x+cos2x-m 在 内的两个零点，则 sin（ x1+x2）2,0=_16.如图，点 F 是抛物线 y2=8x 的焦点，点 A， B 分别在抛物线及圆（ x-2）2+y2=16 的实线部分上运动，且
6、 AB 总是平行于 x 轴，则 FAB 的周长的取值范围是_4三、解答题：(本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分 12 分）已知正数数列 an的前 n 项和为 Sn，满足 )2(12nSan， （1）求数列 an的通项公式；a（2）设 ，若 是递增数列，求实数 a 的取值范围)1()(2nbnb18.(本小题满分 12 分）如图，三棱柱 中，侧棱垂1CBA直于底面, , ， 是棱 的中09ACB12D1点（1）证明：平面 平面 ；1DC（2）平面 分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.1BC19.(本小题满分 12 分）某市电视台为了宣传举
7、办问答活动，随机对该市 1565 岁的人群抽样了 x46%=230 人，回答问题统计结果如图表所示5组号 分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的概率第 1 组 15，25） 5 0.5第 2 组 25，35） a 0.9第 3 组 35，45） 27 x第 4 组 45，55） b 0.36第 5 组 55，65） 3 y（）分别求出 a， b， x， y 的值；（）从第 2，3，4 组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取 6 人，则第 2，3，4 组每组应各抽取多少人？（）在（）的前提下，电视台决定在所抽取的 6 人中随机抽取 2 人颁发幸运奖，求：所抽取的人中第 2 组至少有 1 人获得幸
8、运奖的概率20.(本小题满分 12 分）已知圆 A： x2+y2+2x-15=0 和定点 B（1，0）， M 是圆 A 上任意一点，线段 MB 的垂直平分线交 MA 于点 N，设点 N 的轨迹为 C（）求 C 的方程；（）若直线 y=k（ x-1）与曲线 C 相交于 P， Q 两点，试问：在 x 轴上是否存在定点 R，使当 k 变化时，总有 ORP= ORQ？若存在，求出点 R 的坐标；若不存在，请说明理由621. (本小题满分 12 分）已知 （m，n 为常数），在 x=1 处的切线方程xxfl1)(为 x+y-2=0（）求 f（ x）的解析式并写出定义域；（）若x ，使得对 t 上恒有 f
9、（ x） t3-t2-2at+2 成立，求实数 a 的取1,e2,1值范围；（）若 有两个不同的零点 x1， x2，求证： x1x2 e2)(1)(Raxfxg请考生在第 22、23 两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分22.(本小题满分 10 分)【选修 44：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （ 为参数）它与tyx423曲线 C： 交于 A、B 两点1)2(xy（1）求| AB|的长；（2）在以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点 P 的极坐标为 ，)43,2(求点 P 到线段 AB 中点 M
10、 的距离723.(本小题满分 10 分)【选修 4-5：不等式】（）已知 c0，关于 x 的不等式： x+|x-2c|2 的解集为 R求实数 c 的取值范围；（）若 c 的最小值为 m，又 p、 q、 r 是正实数，且满足 p+q+r=3m，求证： p2+q2+r238文科数学模拟卷答案1.【答案】 D 解： ，iiiiiiz 12)1(2123z 的虚部为 1故选 D2. 【答案】 A 解：函数 y=ln（2-|x|）是偶函数，排除选项 D，当 x= 时，函数 y=ln（2- ）0，排除选项 C，2121当 x= 时，函数 y=ln 0，排除选项 B，故选：A33.【答案】 A解：平面垂直的
11、判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，则两平面垂直 直线 m，那么“m”成立时，一定有“”成立 反之，直线 m，若“”不一定有“m”成立 所以直线 m，那么“m”是“”的充分不必要条件 故选 A4.【答案】 A 解：设与直线 x+y+1=0 平行与曲线 相切的直线方程为：x+y+m=0，切点)1(xy为 ),(0yxP2 )1(x ， ，解得 1)(2000可得切点 P（0，1）两条平行线之间的距离为：面积最小的圆的半径；半径 2r圆心在曲线 上，且与直线 x+y+1=0 相切的面积最小的圆的方程为：)1(xyx2+（y-1） 2=2 故选：A95. 【答案】 B【解析】由程序框图依次可
12、得，输入 N4， T1， S1， k2； ， ， k3； ， S ， k4； ， ， k5； 输出 . 6. 【答案】 D解：设 k= ，则 k 的几何意义为区域内的点21xy（x，y）到定点 D（-2，-1）的斜率，作出不等式组对应的平面区域如图，由图象可知 AD 的斜率最大，O，B，D，三点共线，OD 的斜率最小，即最小值为 k= ，21由 ，解得 ，即 A（ ， ），02yx 32则 AD 的斜率 ，故 ，故选：D4531k452k7.【答案】 A10解：数列a n的前 n 项和为 Sn，3S n=2an-3n， ，)32(11aS解得 a1=-3， ，)32(aS当 n2 时， ，)(
13、11nn-，得 ， ， ，321nna321na21na 1+1=-2，a n+1是以-2 为首项，以-2 为公比的等比数列， ，a 2018=（-2） 2018-1=22018-1 故选：A)2(,)(nna8.【答案】 C解：如图所示，BCD 是圆内接等边三角形，过直径 BE 上任一点作垂直于直径的弦，设大圆的半径为 2，则等边三角形 BCD 的内切圆的半径为 1，显然当弦为 CD 时就是BCD 的边长，要使弦长大于 CD 的长，就必须使圆心 O 到弦的距离小于|OF|，记事件 A=弦长超过圆内接等边三角形的边长=弦中点在内切圆内，由几何概型概率公式得 ，21)(AP即弦长超过圆内接等边三
14、角形边长的概率是 故选 C9【答案】 A解：PFx 轴，设 M（-c，t），则 A（-a，0），B（a，0），AE 的斜率 k= ，则 AE 的方程为ca11y= （x+a），cat令 x=0，则 y= ，即 E（0， ），tcatBN 的斜率 ，则 BN 的方程为 ，catk)(axcty令 x=0，则 y= ，即 N（0， ），tcat|OE|=2|ON|，2| |=| |，即 = ，tt2ac1则 2（c-a）=a+c，即 c=3a，则离心率 e= =3，故选：A10.【答案】 A解：在ABC 中 ，（2 a-c）cos B=bcosC，BCbcaos2（2sin A-sinC）cos
15、B=sinBcosC，2sin AcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（ B+C）=sin A，约掉 sinA 可得 cosB= ，即 B= ，由余弦定理可得 16=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac2 ac-213ac， ac16，当且仅当 a=c 时取等号， ABC 的面积 S= acsinB= ac 故选 A214311.【答案】 C解：在平行四边形 ABCD 中，ABBD， ， 1B，若将其沿 BD 折成直二面角 A-BD-C， 3AD三棱锥 A-BDC 镶嵌在长方体中， 即得出：三棱锥 A-BDC 的外接球与长方体的外接球相同， 2R=2，R=1， 13外接
16、球的表面积为 41 2=4， 故选：C1212.【答案】 B解：作函数 f（x）= ，的图象如下，由图可知，x 1+x2=-2，x 3x4=1；1x 42；故 ，其在 1x 42 上是增函数，433)(故-2+1 -1+2；即-1 1； 故选：B42x4213.【答案】 257解：由题意可知几何体是三棱锥，底面是直角三角形，直角边长为 4，3，一个侧面是直角三角形与底面垂直，AB=4，BC=3，B 到 AC 的距离为：侧视图如图：是等腰直角三角形，直角边长为： 512 512所以侧视图的面积为： 故答案为： 27512714.【答案】 ,解：由双曲线的在 M（x 0，y 0）切线方程： ，将
17、N 代入切线方程，解得：120byaxy0=-2b，代入双曲线方程解得： ，5则切线方程： ，即 y= x+ ，125byaxa2由斜率的取值范围是 ， ，即 ，1 2，5b5ab由双曲线的离心率 e= = ，1 4，ac21b2a双曲线离心率的取值范围 ，5,1315.【答案】 52解：x 1，x 2是函数 f（x）=2sin2x+cos2x-m 在0， 内的两个零点，2可得 m=2sin2x1+cos2x1=2sin2x2+cos2x2，即为 2（sin2x 1-sin2x2）=-cos2x 1+cos2x2，即有 4cos（x 1+x2）sin（x 1-x2）=-2sin（x 2+x1）
18、sin（x 2-x1），由 x1x 2，可得 sin（x 1-x2）0，可得 sin（x 2+x1）=2cos（x 1+x2），由 sin2（x 2+x1）+cos 2（x 1+x2）=1，可得 sin（x 2+x1）= ，5由 x1+x20，即有 sin（x 2+x1）= 5另解：由对称性可知 =2sin（x2+x 1）+cos（x 1+x2），5由 sin2（x 2+x1）+cos 2（x 1+x2）=1，由 x1+x20，即有 sin（x 2+x1）= 故答案为： 5516.【答案】（8，12） 解：抛物线的准线 l：x=-2，焦点 F（2，0），由抛物线定义可得|AF|=x A+2，F
19、AB 的周长=|AF|+|AB|+|BF|=x A+2+（x B-xA）+4=6+x B，由抛物线 y2=8x 及圆（x-2） 2+y2=16，得交点的横坐标为 2，x B（2，6）6+x B（8，12）三角形 ABF 的周长的取值范围是（8，12）抛物线的准线 l：x=-2，焦点 F（2，0），由抛物线定义可得|AF|=xA+2，可得FAB 的周长=|AF|+|AB|+|BF|=x A+2+（x B-xA）+4=6+x B，由抛物线 y2=8x及圆（x-2） 2+y2=16，解出交点坐标即可得出17.解：（1） ， =Sn-1+Sn-2，（ n3）)2(1nSan21a相减可得： ， an0
20、， an-10， an-an-1=1，（ n3）2n14n=2 时， =a1+a2+a1， =2+a2，a20，a 2=2因此 n=2 时， an-an-1=1 成立2a2a数列 an是等差数列，公差为 1 an=1+n-1=n（2） =（ n-1） 2+a（ n-1），)()1(2b bn是递增数列， bn+1-bn=n2+an-（ n-1） 2-a（ n-1）=2 n+a-10，即 a1-2 n 恒成立， a-1实数 a 的取值范围是（-1，+）18.证明：（1）由题意知 BC CC1， BC AC， CC1 AC=C， BC平面 ACC1A1，又 DC1平面 ACC1A1， DC1 BC
21、由题设知 A1DC1= ADC=45， CDC1=90，即 DC1 DC，又 DC BC=C， DC1平面 BDC，又 DC1平面 BDC1，平面 BDC1平面 BDC；（2）设棱锥 B-DACC1的体积为 V1， AC=1，由题意得 = ，1V213又三棱柱 ABC-A1B1C1的体积 V=1，（ V-V1）： V1=1：1，平面 BDC1分此棱柱两部分体积的比为 1：119.解：（）第 1 组人数 50.5=10，所以 n=100.1=100，（1 分）第 2 组人数 1000.2=20，所以 a=200.9=18，（2 分）第 3 组人数 1000.3=30，所以 x=2730=0.9，
22、（3 分）第 4 组人数 1000.25=25，所以 b=250.36=9（4 分）第 5 组人数 1000.15=15，所以 y=315=0.2（5 分）（）第 2，3，4 组回答正确的人的比为 18：27：9=2：3：1，所以第 2，3，4 组每组应各依次抽取 2 人，3 人，1 人（8 分）（）记抽取的 6 人中，第 2 组的记为 a1， a2，第 3 组的记为 b1， b2， b3，第 4 组的记为c，则从 6 名学生中任取 2 名的所有可能的情况有 15 种，它们是：（ a1， a2），（ a1， b1），（ a1， b2），（ a1， b3），（ a1， c），（ a2， b1），
23、（ a2， b2），（ a2， b3），（ a2， c），（ b1， b2），（ b1， b3），（ b1， c），（ b2， b3），（ b2， c），（ b3， c）（10 分）其中第 2 组至少有 1 人的情况有 9 种，15它们是：（ a1， a2），（ a1， b1），（ a1， b2），（ a1， b3），（ a1， c），（ a2， b1），（ a2， b2），（ a2， b3），（ a2， c）故所求概率为 （12 分）51920.解：（）圆 A：（ x+1） 2+y2=16，圆心 A（-1，0），由已知得| NM|=|NB|，又| NM|+|NB|=4，所以| NA|+|NB
24、|=4| AB|=2，所以由椭圆的定义知点 N 的轨迹是以 A， B 为焦点的椭圆，设其标准方程 C： ，则 2a=4，2c=2，所以 a2=4， b2=3，12byax所以曲线 C： ；342（）设存在点 R（ t，0）满足题设，联立直线 y=k（ x-1）与椭圆方程 ，1342yx消去 y，得（4 k2+3） x2-8k2x+（4 k2-12）=0，设 P（ x1， y1）， Q（ x2， y2），则由韦达定理得 ， ，38213421k由题设知 OR 平分 PRQ直线 RP 与直 RQ 的倾斜角互补，即直线 RP 与直线 RQ 的斜率之和为零，即 ，即021txyt，即 2kx1x2-（
25、1+ t） k（ x1+x2）+2 tk=0，0)(2121ytxy把、代入并化简得 ，即（t-4）k=0，34(2kt所以当 k 变化时成立，只要 t=4 即可，所以存在定点 R（4，0）满足题设.21.解：（）由 f（x）= +nlnx 可得 ，1mxnmxf2 )1()由条件可得 ，把 x=-1 代入 x+y=2 可得， y=1，4)1( n16 ，m=2， ， ，x（0，+），12)(mf 21nxxfln21)(（）由（）知 f（x）在 上单调递减， f（x）在 上的最小值为 f（1）=1，,e,e故只需 t3-t2-2at+21，即 对任意的 上恒成立，ta122,1t令 ，易求得
26、 m（ t）在 单调递减，1，2上单调递增，tm1)(,而 ， ，2am（t）max= g（2）， ，即 a 的取值范围为47)2(25)( 45,5（） ，不妨设 x1 x20，bxgln21)( g（ x1）= g（ x2）=0， ， ，相加可得 ，相减可得1lnb2lnbx，由两式易得： ；要证 ，即证明 ，即证：21121lnlnxx21e2ln1x，需证明 成立，令 ，则 t1，于是要证明l211x212lx2，构造函数 ， ，故)(lnt )(ln)(tt 0)()(4)22 ttt（ t）在（1，+）上是增函数， （ t） （1）=0， ，故原不等式成立1)(2lnt22.解：（
27、）把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简得 7t2-12t-5=0，17设 A， B 对应的参数分别为 t1 和 t2，则 t1+t2= ，t1t2 = 71275所以| AB|= 104)(5)4(32121212 ttt（）易得点 P 在平面直角坐标系下的坐标为（-2，2），根据中点坐标的性质可得 AB 中点 M 对应的参数为 7621t所以由 t 的几何意义可得点 P 到 M 的距离为|PM|= 30)4(3223解：（ I）不等式 x+|x-2c|2 的解集为 R 函数 y=x+|x-2c|在 R 上恒大于或等于2，x+|x-2c|= ，函数 y=x+|x-2c|，在 R 上的最小值为cx2,2c，2 c2 c1所以实数 c 的取值范围为1，+）；（）证明：由（1）知 p+q+r=3，又 p， q， r 是正实数，所以（ p2+q2+r2）（1 2+12+12）（ p1+q1+r1） 2=（ p+q+r） 2=9，即 p2+q2+r23当且仅当 p=q=r=1 等号成立18
